I. (VI !
sera nécessairement positive. Il peut même arriver que cette limite soit assujettie à demeurer comprise entre les valeurs extrêmes o et i, ou bien entre les suivantes i et ce. Concevons, par exemple, que chacune des variables x et y converge vers la limite ce. Dans ce cas, la
limite du rapport
as
étant une quantité positive quelconque, celle dey' — A ^ ne pourra être qu'une quantité moyenne entre i et co. Cette moyenne sera d'ailleurs indéterminée, tant que l'on n'établira pas entre les variables infiniment grandes x et y de relatipn particulière. Mais, si l'on suppose
/(y) désignant une fonction qui croisse indéfiniment avec la variable X, alors la moyenne dont il s'agit, n'étant autre chose que la
limite de
obtiendra une valeur déterminée, que l'on pourra souvent calculer à l'aide du théorème II.
Si, au lieu de la fonction y', on eût considéré la suivante
on aurait trouvé que cette dernière devient indéterminée : i" lorsque la variable y converge vers la limite i et la variable x vers l'une des suivantes — co, -h ce; 2" lorsque, la variable x ayant zéro pour limite, y converge vers zéro ou vers l'infini positif.
Quelquefois on rencontre dans le calcul des expressions singulières qui ne peuvent être considérées que comme des limites vers lesquelles convergent des fonctions de plusieurs variables, tandis que ces mêmes
variables deviennent infiniment petites ou infiniment grandes, ou même, plus généralement, convergent vers des limites fixes. Telles sont, par exemple, les expressions
o X o, -■> oc X oc, —5 O X X, o", I"", ..., o ce
parmi lesquelles on doit regarder les deux premières comme les limites vers lesquelles convergent le produit et le rapport de deux variables infiniment petites, les deux suivantes comme les limites du produit et du rapport de deux variables positives infiniment grandes, etc. Si l'on considère en particulier les expressions singulières que produisent les fonctions
oc + Y, XY, -> y^, y-^,
on trouvera que les valeurs de ces mêmes expressions, lorsque les variables restent indépendantes, peuvent être aisément fixées par ce qui précède. Les équations qui serviront à déterminer ces valeurs seront respectivement
Pour
les fonctions
a; -h Y 00 -h oc z=z ce, oc — oo tz: M ( ( — oc, + oc ) ) ;
o X o r=: o, O X 00 -- O X — oc =z: M((— 00, -f- oc)),
.ry
ocXoc= — OCX — ocrroo, oox
O ,»// XV o O 00 — 00
- — M((— GC, +00)), -— — o, - = =±00,
,j- 1 o oc - — oc OU
y I ce — 'X> ,.., , 00 — 00 ,,
( 0»rz:a)''=M((0, oc)), O^ =i oc~ " = O ,
i o"=:oc"rj:0 OU 00, O" — OC"' " = M (( O, l)),
.-*z=oc*z--M((i,oc)), i"=M((o, oc)).
