CHAPITRE m

DKS F0NCTIO>'S SYMÉTRIQUES ET DES FONCTIONS ALTERNÉES. L'SAGE DE CES FONCTIONS POUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A UN NOMBRE QUELCONQUE d'inconnues, des FONCTIONS HOMOGÈNES.

§ I. — Des fondions symétriques. /

Une fonction symétrique de plusieurs quantités est celle qui conserve la même valeur et le même signe après un échange quelconque opéré entre ces quantités. Ainsi, par exemple, chacune des fonctions

x-\-y, xy-\-y^, ^y^i sin^ 4- sin/ + sin^,

est symétrique par rapport aux variables qu'elle renferme, tandis que

sont des fonctions non symétriques des variables x et r. De même encore

b -\- c, h- + C', bc,

sont des fonctions symétriques des deux quantités h, c;

b -\- c -\- d, Z>- + c^ 4- d', bc -\- bd -\- cd, bcd

sont des fonctions symétriques des trois quantités />, c, d;

Parmi les fonctions symétriques de plusieurs quantités ^, c, ..., g, h, on doit distinguer celles qui servent de coefficients aux diverses puissances de a dans le développement du produit

{a— b){a — c). ..{a — g){a — II),

et dont les propriétés conduisent à une solution très élégante de plu-

sieurs équations du premier degré entre n variables x, y, z, . . . , u, c, lorsque ces équations sont de la forme

oc -\- y + z + . . . 4- u 4- t' = A'o, a .T -\- b y -i- c z -+- . . .-\- g u -\- h i> ^- A'i, (i) ' (7-^ -T- b-y -hc-^ +... + ^^« +A-(' = A-2,

En effet, soient

A„3 = bc -h . . . ■+- bg + b/i + . . . -h cg + ch -^ . . . -Jr g/i,

Ao —±bc...gh

les fonctions symétriques dont il s'agit, en sorte qu'on ait

a"-'4- A„2a'*-2 4-. .. 4- A,r/4- Au=(« — ^')(rt — c)(a — ^/)

Si, dans cette dernière formule, on remplace successivement a par h, par c, ... , par g, par h, on trouvera

Z^"-' 4- A„2 6"— -4-. . . + Ajè + A0--0, f.n-1 | ^^^^ c"-- 4-. . .4- A,c 4- A0--0,

g"-' + A„2 ^"- - 4- . . . 4- Al 5' 4- Ao= o, h"-^ 4- A„ ,/<"-' 4-. . .4- AiA 4- A„=:o.

Si l'on ajoute ensuite membre à membre les équations (i), après avoir multiplié la première par Ao, la seconde par A, , . . . , l'avant-dernière par A„o, et la dernière par l'unité, on obtiendra la suivante

(«"-•4-A„2a"-"^4-. . .+ A,« 4-Ao)^== A'„,4- A„2Â-,,2 4-. . . + A,/., 4- Ao^o»

et l'on en conclura

A- „ 1 — ( /^ 4- r -f- . . . ^- ^' H- /^ ^ n -2 ■+- ( ic -<- . . • -*- ^^ 4- f»// 4- . . . 4- c^ 4- cA 4- . . . 4- g'// ) A-,, 3 — - . . . ± /; 6' . . . g // . A 0