PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE V

puis, en extrayant de part et d'autre les racines positives,

Kr)=^^'''"^''^'^'

Par des raisonnements semblables, on obtiendra successivement les formules

et en général, n désignant un nombre entier quelconque,

Si l'on opère sur la valeur précédente de çf-^aj, pour en déduire celle de of — aj, comme on a opéré sur la valeur de ç(a), pour en déduire celle ^(ma), on trouvera

puis, en supposant que la fraction — varie de manière à s'approcher indéfiniment du nombre [Jt., et passant aux limites, on obtiendra l'équa-

tion

(5) {p(pa)= - (/•!^+/-!^).

De plus, si dans la formule (i) on fait

X =: |jt.a, y = o,

on en conclura

cp(— f/a) = [2cp(o) — i] cp(fjia) — - (/— !^-h rV-).

L'équation (5) subsistera donc, lorsqu'on y remplacera [x par — a. En d'autres termes, on aura, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable x,

(6) (f{(xx)~ ~{r^~^ r-^).

Si dans cette dernière formule on change x en - ^ elle donnera

il) ?(^'

Lorsqu'on fait, dans l'équation (4), ± - =«, et, dans l'équation (7), ^ 1

r *=A, ces équations prennent respectivement les formes suivantes :

(8) (p(jr) = cosaj7,

Si donc l'on désigne par a une quantité constante, et par A un nombre constant, toute fonction ç(^) qui, demeurant continue entre des limites quelconques de la variable, vérifiera l'équation (i), sera nécessairement comprise sous l'une des deux formes qu'on vient de rapporter. Il est d'ailleurs facile de s'assurer que les valeurs de 9(^) fournies par les équations (8) et (9) résolvent la question proposée, quelles que soient les valeurs attribuées à la quantité a et au nombre A. Ce nombre et cette quantité sont donc deux constantes arbitraires, dont l'une ne peut admettre que des valeurs positives. D'après ce qu'on vient de dire, les deux fonctions

cosaj?, -(A^+A--^)

ont la propriété commune de satisfaire à l'équation (1), ce qui établit entre elles une analogie remarquable. L'une et l'autre de ces deux