PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE VI

tité X. Si dans cette série on fait la somme des n premiers termes, on trouvera

et, comme pour des valeurs croissantes de n, la valeur numérique de la fraction ~ — converge vers la limite zéro, ou croît au delà de toute

limite, suivant qu'on suppose la valeur numérique de x inférieure ou supérieure à l'unité, on doit conclure que, dans la première hypothèse, la progression

■ <X y ^Ay y lAy y • • •

est une série convergente qui a pour somme — --— , tandis que, dans la seconde hypothèse, la même progressionVst une série divergente qui n'a plus de somme.

D'après les principes ci-dessus établis, pour que la série

soit convergente, il est nécessaire et il suffît que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme

•'>■« = «0 + «1 + «2 + • • • + "fl-\

vers une limite fixe 5; en d'autres termes, il est nécessaire et il suffit que, pour des valeurs infiniment grandes du nombre n, les sommes

diffèrent de la limite s, et par conséquent entre elles, de quantités infiniment petites. D'ailleurs, les différences successives entre la première somme s,i et chacune des suivantes sont respectivement déterminées

par les équations

•^/( + 3 "~ ^/t ^^ "« ~t~ ll)l + \ + "«+2»

Donc, pour que la série (i) soit convergente, il est d'abord nécessaire

que le terme général u„ décroisse indéfiniment, tandis que n augmente ; mais cette condition ne suffît pas, et il faut encore que, pour des valeurs croissantes de n, les différentes sommes

c'est-à-dire les sommes des quantités

prises, à partir de la première, en tel nombre que l'on voudra, finissent par obtenir constamment des valeurs numériques inférieures à toute limite assignable. Réciproquement, lorsque ces diverses conditions sont remplies, la convergence de la série est assurée. Prenons pour exemple la progression géométrique

Si la valeur numérique de x est supérieure à l'unité, celle du terme général x'^ croîtra indéfiniment avec n, et cette seule remarque suffira pour constater la divergence de la série. La série sera encore divergente si l'on suppose a? == dz i, parce qu'alors la valeur numérique du terme général x", se réduisant à l'unité, ne décroîtra pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de Ji. Mais, si la valeur numérique de x est inférieure à l'unité, les sommes des termes de la série pris à partir de cd' en tel nombre que l'on voudra, savoir : "

X'^ | jjre + 1 — ^n ,

se trouvant toutes comprises entre les limites