I, U, US ..., U", U"+', U

et, comme cette progression est convergente (à cause de U«<i), on peut, de la remarque précédente, conclure a fortiori \a convergence de la série (i).

Supposons, en second lieu, ^> i, et plaçons encore entre les deux nombres i et i^ un troisième nombre U, en sorte qu'on ait

Si n vient à croître au delà de toute limite, les plus grandes valeurs

de {u^y , en s'approchant indéfiniment de k, finiront par devenir supérieures à U. On pourra donc satisfaire à la condition

ou, ce qui revient au même, à la suivante

par des valeurs de n aussi considérables que l'on voudra; et par suite, on trouvera dans la série

"o> "iJ '^2> • • •? ''/(» "«-1-1» '^«-+-2» • • •

un nombre indéfini de termes supérieurs aux termes correspondants de la progression géométrique