PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VI

ce qu'on peut vérifier à l'inspection de la valeur de s donnée par l'équation

§ II. — Des séries dont tous les termes sont positifs. Lorsque la série

(l) «0, «1, «2, ••-, Un, ••■

a tous ses termes positifs, on peut ordinairement décider si elle est convergente ou divergente, à l'aide du théorème suivant :

TnÉ0RÈ3iE I. — Cherchez la limite ou les limites vers lesquelles converge,

tandis que n croît indéfiniment, l' expression (m,^)", et désignez par k la plus grande de ces limites, ou, en d'autres termes, la limite des plus grandes valeurs de l'expression dont il s'agit. La série (r) sera convergente si l'on a k <^\ , et divergente si l'on a k^\.

Démonstration. — Supposons d'abord k<^i, et choisissons à volonté

entre les deux nombres i et k un troisième nombre U, en sorte qu'on

ait

n venant à croître au delà de toute limite assignable, les plus grandes

valeurs de {u,^)" ne pourront s'approcher indéfiniment de la limite k, sans finir par être constamment inférieures à U. Par suite, il sera possible d'attribuer au nombre entier n une valeur assez considérable pour que, n obtenant cette même valeur ou une valeur plus grande encore, on ait constamment

. («)''<U, ih,<\}'^.

Il en résulte que les termes de la série

//fl, lli, If-i, ..., ««-(-Ij l'n-hif ••■ OEuvres de C. — S. U, t. UI. l6

finiront par être toujours inférieurs aux ternies correspondants de la progression géométrique