Œuvres complètes d'Augustin Cauchy
CALCUL INTÉGRAL. — Sur les intégrales multiples. C. R., t. XI, p. 1008 (21 décembre 1840).
Parmi les méthodes qui peuvent être employées à la détermination des intégrales simples ou multiples, l'une des plus fécondes est celle que j'ai appliquée à la détermination et à la transformation des intégrales simples dans la première Partie d'un Mémoire présenté à l'Institut le 2 janvier i8i5. Cette méthode consiste à remplacer, dans une intégrale donnée, relative à certaines variables x, y, z, . . ., un facteur de la fonction sous le signe / par une intégrale définie, choisie de manière qu'après ce remplacement les intégrations relatives aux variables oc, y, z, ... puissent être facilement effectuées. On doit surtout remarquer le cas où l'un des facteurs de la fonction sous le signe / est une puissance négative d'une autre fonction. Souvent alors, pour rendre exécutables les intégrations relatives a x^ y, z, ..., il suffit de remplacer les puissances négatives dont il s'agit par une intégrale eulérienne de première espèce. Entrons à ce sujet dans quelques détails.
Considérons une intégrale multiple § de la forme
(i) ■ S=J j J ...—da^dydz...,
P, Q étant des fonctions réelles ou imaginaires des variables œ, y, z, ... et s une constante positive, ou même une constante imaginaire dont la partie réelle soit positive. Désignons d'ailleurs par r(^), avec M. Legendre, l'intégrale eulérienne de première espèce
t^^^e-^dt.
Si la fonction Q, ou du moins sa partie réelle, reste toujours positive entre les limites des intégrations relatives aux variables x, y, z-, . . ., on aura
et, par suite,
(3) S = ^fff-.'l t'-'Ve-^'...dxdydz...dt.
Concevons maintenant que, P, et Q, étant des fonctions de la seule variable X, V,, et Q,, des fonctions de la seule variable j, P^^, et Q^,^ des fonctions de la seule variable z, . .., on ait
(3) P==PJ\P,,... et Q = Q^+Q +0 +.... Alors, en posant, pour abréger,
U =r. ^P^ e-Q' djc, V = j\\^ e-0"' dy, W = j\\,^ e-O-' dz,
on tirera de la formule (2)
(4) s = ^ ( i-^-^\]v\\...dt.
Donc alors, si Ton peut obtenir en termes finis les valeurs de U, V, W, ... considérés comme fonctions de t, la détermination de l'inté-
grale multiple S se trouvera réduite à la détermination de l'intégrale simple
ls-i[]YW...dt.
Si l'on supposait la fonction Q liée aux fonctions
non plus par la seconde des équations (3), mais par la suivante
(5) Q = i + Q, + Q,+ Q,,+ ..., alors, au lieu de la formule (4), on obtiendrait celle-ci
(6) S = ^^f\^'-^UYW...e'UiL
Première application . — Supposons
P t= x-'y z". . . e^-^e'-re" ... cl Q = i + a.r + S j + y ; . .
/, m, n, ... désignant des nombres entiers, et a, b, c, . . ., x, ê des constantes réelles ou imaginaires; en sorte qu'on ait
Supposons d'ailleurs, pour fixer les idées, les intégrations relativesaux variables^, r, z, ... effectuées par rapport à a:-, à partir d'une certaine origine x = \\ par rapport à y, à partir de l'origine y =: r,; par rapport à ::, à partir de l'origine :; = "C, .... Enfin, concevons que, dans le second membre de la formule (7), la fonction
ofTre toujours une partie réelle positive; ce qui arrivera, par exemple, si, les deux limites de chaque intégration étant des quantités positives, chacune des constantes a, ê, y, . . . acquiert, ou une valeur positive, ou
une valeur imaginaire dont la partie réelle soit positive. On trouvera
JC^ p{a-<xt)x f,(a-y.l)\ f e(«-a/)a; ^^ ^ \)l f ^ ç " a — a ^
et, par suite,
8) ^S^r.-T-DiD;;'D:!... / ^ '- t J^ '-...i^'^e-^dt.
On se trouve ainsi amené à cette conclusion remarquable, que la fonctions de X, y, z, . .., représentée, en vertu de la formule (7), par une intégrale multiple, peut être réduite à une intégrale définie simple relative à une nouvelle variable /, quelles que soient d'ailleurs les valeurs attribuées aux premières variables £f,j, g, ... ou à leurs origines ;, Ti, 'C, . . ., pourvu que la somme
ou du moins sa partie réelle, reste positive entre les limites des intégrations.
Si, en attribuant aux constantes a, b,c, . .. des valeurs négatives ou du moins des valeurs dont la partie réelle fût négative, on supposait chaque intégration effectuée, dans la formule (7), entre les limites o, oD , on trouverait
""oit—a {oct — ay+'' et, par suite,
t'-^e-'dt
^ ~ r(.) "/ {oct-a]
'+\&t — b)"'+\yt — c)"+K..
Enfin, si dans les formules (7) et (9) on remplace /, 7n, n, ... par / — I , w — I , w — r , . . . , et «, by c, ... par —a, —b, — c, . . . , elles donneront
, ^=0 ^00 ^=c a;'-''y"'-'z"-' . . .e-"-«e-"ye-''- . . . , , , If / / • • 7^— ^ 7:^ — a.r ar dz ,
;./— 1 y/« — ] -« — 1 Q—axQ~byç—cz
j ^r(/)r(m)r(/i)... r^ t^-^e-^dt
Cette dernière formule subsistera toujours, d'après ce qu'on vient de dire, quand, /, m, n, ... étant des nombres entiers, a, b, c, .. ., a, ^:, y, . . . désigneront des constantes positives ou même des constantes imaginaires dont les parties réelles seront positives. Ce n'est pas tout : on verra dans un instant que la formule (lo) peut être étendue à des cas où les exposants /, m, /?, ... ne représentent plus des nombres entiei's.
Deuxième application. — Supposons, dans l'équation (i),
/, m, n, ... désignant des constantes positives ou même des constantes imaginaires dont les parties réelles soient positives; et prenons d'ailleurs pour limites des intégrations relatives à chacune des variables x, y, z, . . . les deux quantités
o, oo ,
en sorte que l'on ait
Jo ^0 'K ( I + a.i- -+- C7 -f 7 c -f- . . . Y -^
On trouvera
'0 [Cl + OLtY
et, par suite, on tirera de la formule (G)
r(.y) J^ {a + y.ty{b^Bt)"' {c + yt)"...'
Donc la formule (lo) subsistera certainement, pour des valeurs réelles ou imaginaires des constantes
toutes les fois que ces constantes ou leurs parties réelles seront positives.
CoroUairel. — Si, dans la formule (lo), on réduit les variables .r, r,
OEuvres de C. — S. I. t. VI. 2
::,... à une seule, et si l'on pose, de plus, d — i , on trouvera
Donc, en écrivant /au lieu de /, et .v au lieu de /, on auia
(]ette dernitîre formule, qui devient identique, dans le cas où l'on prend s = r, est précisément l'une de celles auxquelles j'étais parvenu par la méthode ci-dessus exposée dans le IMémoire du 2 janvier 181.K On pourrait de cette formule en déduire plusieurs autres dignes de remarque, en différentiant les deux membres une ou plusieurs fois de suite par rapport à /•. Les nouvelles intégrales, comprises dans les formules ainsi obtenues, seraient les dérivées relatives à rdes intégrales comprises dans la formule (i3); et, pour passer des unes aux autres, il suffirait de multiplier une ou plusieurs fois de suite la fonction sous le signe / par \{.t) ou par — l(i4-a,r), la lettre caractéristique I indiquant un logarithme népérien.
La formule (i3}, et celles que l'on en déduira par des dillerentiations relatives à /-, subsisteront certainement toutes les fois que les constantes /•, s offriront des valeurs positives, ou des valeurs imaginaires dont les parties réelles seront positives.
Corollaire If. — Si, dans la formule (10), on réduit à zéro les constantes a, h, c, . . . , elle donnera
dx dy dz . . .
Cette dernière équation subsistera certainement lorsque
s, l, ni, II, . . ., a, c, y, ...
seront, ou des constantes positives, ou des constantes imaginaires dont
KXTHMT N' 11-2. 11
la pallie réelle sera positive, el (|iie la partie positive de la eoiislaiite s surpassera la partie positive de ehaeniie des eouslaïUcs /, m, //.... Si, pour fixer les idées, on prend /^^^^ '-"^'^Î^J^
on trouvera
\rr.(
l\l) l\/ii) V{/i). . A\s / -m II
i;é(|iiation (i5) est l'iiiie de ecdhîs aiix(|iielles est arrivé .M. IJiiiet dans sou Méuioin^ sur les intégrales eiilérieiiiies. Cette iiiéuu! écjuatioii. de laqu(dl<'oii déduit aisément la valeur de l'inté^rali^
<b <ly (h..
lie dillere pas au fond d'une loruiule (|ne j'avais ohteiiiie dans le tciiips de uKîs prcMniiîres reeluïrclKiS sur les intégrales délinies. Je la retrouve sous div(M'S(îs tonnes, non s(îuloin(;nt dans un ealiiei- de eelte ép()(|iie, mais aussi dans l'un de ceux sur les(iU(ds j'écrivais les Leçons (|ue j'ai données au (lolli'^c de Krauccî. J'étais parvenu :i traiislormer l'intégrale multiple (|u'elle renleruK! en un produit d'intégrales eulérieiines d(! seconde espèce;, c'est-ii-dir(; de la lorine
en remar(iuanl, par (exemple, (|u'il sullit de poser successivement
2 = (i-+-a.-+/)"' <■'• .r = (i-f-.'r)c, pour établir l'écjuation
'" / • ' /• * x'~ ' j'" ~ ' -" " ' dx dy dz
(lO)
et cette remarque m'avait fait d'abord espérer qu'on pourrait tirer dv la formule ([5) des relations nouvelles entre les deux espèces d'intégrales eulériennes. Mais cette espérance ne s'est pas réalisée, .l'ai pu seulement, en partant de la formule (i5), arriver à des relations que l'on sait exister entre les intégrales eulériennes de première et de seconde espèce. Ainsi, en particulier, si l'on réduit les variables ■r, y, ::,... à une seule, et si l'on remplace la lettre /par la lettre r, on reviendra de la formule (i 5) à l'équation déjà connue
^«-'i/x rir)T{s—r
[rouble résumé des Leçons données à l'Ecole Polytecbnique sur le Calcul infinitésimal, p. i3i). Dans le cas où l'on prend ^= i, l'éffuation (i6) se transforme, comme on le sait, en la formule
siu-/" que l'on peut encore écrire comme il suit :
D'ailleurs ce que nous avons dit précédemment suffit pour prouver que l'on peut, dans les équations (17) et (18), attribuera r, non seulement des valeurs positives, mais encore des valeurs imaginaires dont les parties réelles soient positives.
Si, dans l'équation (18), on pose en particulier
r = a V — I , a désignant une quantité réelle, cette équation donnera
e •^cos(« Ix') du
Hf.
e"'^ siii {alx) cl.z
Il est bon d'observer que, pour revenir de l'équation (i5) à l'éipiation (r4), il suffirait de remplacer x par y.x, y par €v, z- par yr
J'ajouterai que des transformations semblables à celles qui nous ont conduit à l'équation (i6) fournissent, comme l'on sait, une formule de M. Dirichlet, analogue à l'équation (r5), et d'autres formules du même genre, que divers géomètres ont obtenues en prenant pour point de départ celle de M. Diricblet.
Troisième application. — Supposons que, dans la formule (i), on prenne
l>^9(.z-)x(7)'|(--)--. et Q=[,(a.r + gj + y3+...)N/=^J, .
a, €, •% . . . étant des constantes positives, et o(x), / (/), <^(s), . . . des fonctions rationnelles, réelles ou imaginaires, mais tellement choisies
que les produits
s'évanouissent pour des valeurs infinies de x, y, :;, Si, d'ailleurs,
on suppose les intégrations effectuées par rapport à chacune des variables X, y, z, . . . entre les limites
la valeur de l'intégrale multiple s, déterminée par la formule (i), deviendra
Mais alors, en adoptant les notations du calcul des résidus, on trouvera [] - f o{x)e'"-^\l^^ dx = 2T:^^^ T (( o(a:) e"'-*^ v'^ )),
Donc, si l'on nomme k le nombre des variables x, y, z, ..., la formule (6) donnera
et, si dans l'équation (21) on eff'ectue l'intégration relative à /, on tirera
dx cl y dz
de cette équation, jointe à la formule (20),
L'équation (22), comme toutes les équations imaginaires, se décomposera généralement en deux autres, qui fourniront les valeurs réelles de deux intégrales multiples. Lorsque les fonctions
deviendront réelles, ainsi que l'exposant s, ces deux intégrales multiples seront les deux suivantes :
^■. ^=c ^oc 9(^) y (y) '^tjz) .. ■cos[5arctang(gj?4-Sy H- yz-j-.. ■)] ,
/ / / ■ ■ ' ~ '-^^ du: df dz
et
/ / / ■ ■ ' ~ "'"' ' '' '^ ^-^ —^ '■ '-^ dx dy dz .
?('^) X(j) '-]^(-) • • • sin[^ arc tang(g.r + 87 + 7^ + . . .)]
Si l'on réduit les variables a;, y, 5, ... à une seule, la formule (22) donnera simplement
Lorsque la fonction 9(^) et la quantité s seront réelles, l'équation (23) fournira en même temps les valeurs des deux intégrales
/'" 9(.a:)cos(^arctang«j7) ^^ /^" o{x') sin(5 arc tangaj:) Si, pour fixer les idées, on prend
la formule (23) donnera
dx
puis on en conclura, si l'exposant .9 est réel, (25) / "'^"' '■■-^"•^\^
/" °° cos(.ç nrc tanj2:a.î^)
Au reste, on prouverait aisément que la formule (24) n'est pas altérée quand on y remplace le binôme \ ~ y-xsi—i par le binôme n-aa?v~: et cette remarque entraîne dans tous les cas l'équation (25). Cela posé, rien n'empêcbe d'attribuer à s dans la formule (23), aussi bien que dans la formule (2/4), une valeur imaginaire dont la partie réelle soit positive, ou même nulle.
Si, dans la formule (23), on pose
/■ étant une quantité réelle, on obtiendra deux nouvelles formules, savoir.
/ l(e'-a.'Cta»8-ax^e-;a,Ttangax)coj, i | ( i ^. ^,2 ^^2 )
et
