C. R., t. Xir, p. 283 (8 février
Je me propose de réunir dans ce Mémoire diverses formules d'Analyse, spécialement applicables au problème de l'interpolation, et dont la plupart se déduisent, soit de la formule d'interpolation de Lagrange, soit des propriétés connues des racines de l'unité. Le premier paragraphe sera principalement relatif aux formules à l'aide desquelles on peut déterminer la valeur générale d'une fonction entière d'une variable X. Dans le second paragraphe, je déduirai de ces formules celles qui fournissent le moyen de développer les fonctions entières des sinus et cosinus d'un arc en séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples de cet arc.
§ I. — Formules d'interpolation qui déterminent la valeur générale d'une fonction entière d'une variable x.
Soit
une fonction entière de x du degré Ai — i. Si l'on donne n valeurs particulières de ï{x) représentées par
et correspondantes aux valeurs
•3"i, X.2, • • • , JCfl
de la variable x, on pourra toujours obtenir les valeurs générales de f(a7) à l'aide de la formule d'interpolation de Lagrange, c'est-à-dire à l'aide de l'équation
Si d'ailleurs on pose, pour abréger,
9(.r ) =r (.r — Jc^) (jr — .r.) . . .{a? — a-„),
la formule (2) se trouvera re'^cluite à
(3) f(x) = -7- — - — \ — - — H. . .H TT :
La formule (2) ou (3) subsiste, quelles que soient les valeurs particulières de .r représentées par
Concevons maintenant que les valeurs particulières dex se réduisent aux divers termes de la progression géométrique
On aura
/•, Or, 0-r, ..., 0"-h-.
9(^)=:(,r — /•)(^ — 5/'). . .(^■— ^"-'/•); et, si Ton prend pour 0 une racine primitive de l'équation binôme
on trouvera simplement
(r>{je)=z a" — /■" , o'{.r) = n .r " - ' .
Donc alors la formule (3) donnera
OnOr
Comme on aura d'ailleurs généralement
Kt
le coetBcient a,n de x"\ dans le second membre de l'équation [\) ou (4)»
EXTRA IT N" 118. Go
sera évidemment déterminé par la formule
V '' / ^^/ll — ~ — — — 1 .
On arrivera directement aux mêmes conclusions en partant de l'équation (i) de laquelle on tire
En effet, puisque la somme
fiinn ,
