fj'ii | ff^m ^ ^ Q(n-l)m ^ '

fjm ,

s'évanouit pour toute valeur de m non divisible par n, les formules (6), respectivement multipliées par les facteurs

I, B-"\ 0--"', ..., rj-{u-i),n^

puis combinées entre elles par voie d'addition, reproduiront évidemment l'équation (5).

L'équation (5) peut encore s'écrire comme il suit

la somme indiquée par le signe C s'étendant à toutes les valeurs entières

de l'exposant /, qui fournissent des valeurs distinctes de f/. En substituant la valeur précédente de«,^, dans l'équation (t), on trouvera

m = n — 1 l — /i — 1 OEiurcs ot r. — S. I, t. VI. n

ou, co qui revient au même,

f'-)=rs

^ ^fji

^/f(OV)

Cette dernière équation eoïiicide avec la formule (4)- Soit maintenant

(lo) F(.^) =Ao+ Ai^ + A.^- + . . .+ A„-.i^"-'

une nouvelle fonction entière de la variables. Le terme indépendant de X, dans le développement du produit

sera la somme .s, déterminée par la formule

(il) >) = Aoao+ AjaiH- A^aa^- ■ • + A„i«„i.

Or, en vertu de l'équation (7), la formule (11) donnera

OU, ce qui revient au même,

A la formule (r3) on pourrait substituer encore celle que nous allons indiquer.

Soient

n — I expressions réelles ou imaginaires, choisies de manière à vérifier la condition

ou, ce qui revient au même, de manière à vérifier les formules

a -hS -h y -a-...— (/i i) ('4 i y ! ^^^

Ao 11 sera facile d'obtenir l'équation qui aura pour racines

Or, après avoir tiré de cette équation les valeurs de a, €, y, • • • , on aura évidemment, en vertu des formules (i i), (i4) et (i),

Nous joindrons ici une observation importante. Supposons que, les fonctions f(^), F(^) étant, non plus du degré n — \, mais du degré n, les équations (i) et(]o) se trouvent remplacées par les suivantes

(17) F(.r) — Ao-f- Ai.z- + Aa-r^H-. . . -f- A„i.r«-' + A„.r" ;

le terme indépendant de x, dans le développement du produit

sera la valeur de s déterminée par la formule

('^) ^ = Aoao + A,«i + A2«, + . . . + A„irt„,4- A,,rt,j.

Or, pour que cette dernière valeur de 8 puisse encore se calculer \\ l'aide de la formule (12), 0 désignant toujours une racine primitive de l'équation binôme

il suffira que l'on choisisse convenablement la valeur de /•. En eflet, si

l'on substitue la formule (i6) à la formule (i), l'équation (7) continuera évidemment de subsister pour les valeurs

I, 2, 3, . . . , Il — I

du nombre m; mais, pour une valeur nulle de m, cette même équation se trouvera remplacée par la suivante :

On aura donc alors

(20) XoClo + \nCln=y^ ^ [Aof(/-).K

pourvu que l'on choisisse r de manière à vérifier la formule

et sous cette condition on obtiendra de nouveau la formule (12).

Dans les diverses formules ci-dessus établies, la racine primitive H de l'équation binôme

peut être réduite à

Si d'ailleurs on fait croître indéfiniment le nombre n, on verra ces formules se convertir en d'autres équations déjà connues. Par exemple, en prenant pour r une quantité positive supérieure au module de .r et posant

on tirera de la formule (9)

Observons encore que les diverses formules établies dans ce para-

graphe peuvent être facilement étendues au cas où les fonctions

se trouveraient remplacées par des fonctions entières de deux ou de plusieurs variables

Ainsi, en particulier, si l'on désigne par

une fonction entière des variables x, y, qui soit du degré n — i par rapport à x, et du degré n' - i par rapport à j; alors, en nommant /•une valeur particulière de x, s une valeur particulière de y, et

des racines primitives des équations on tirera de la formule (8)

/n' = 0 t — o in = 0 l~o

et de la formule (9

§ II. — Formules d'interpolation qui déterminent la valeur générale d'une fonction entière des sinus et cosinus d'un même arc.

Diverses formules d'interpolation, par exemple celles que Lagrange a obtenues dans le Tome III des anciens Mémoires de l'Académie de Turin, et celles que j'ai données à mon tour dans un Mémoire sur la xMécanique céleste, présenté à la même Académie le n octobre i83i.

fournissent le moyen de développer une fonction entière des sinus et cosinus d'un arc suivant les sinus et les cosinus des multiples de cet arc. Or ces diverses formules d'interpolation se déduisent immédiatement de celles qui, dans le premier paragraphe, servent à déterminer la valeur générale d'une fonction entière de la variable x. C'est ce que je vais expliquer en peu de mots.

Soient

une fonction entière de sin^ et de cos^, et k le degré de cette fonction. Le produit

considéré comme fonction de l'exponentielle trigonométrique

sera évidemment une fonction entière du degré 2A h- i. Donc, si l'on désigne par n un nombre entier égal ou supérieur à 2X- -f- i , et par

n valeurs particulières de la variable /, on aura, en vertu de la formule d'interpolation de Lagrange, ,

Cette dernière formule subsistera, par exemple, si l'on prend

n z=z 2A' -\- \ ou « = 2 /i- -i- 2.

D'ailleurs, comme on aura généralement

on pourra facilement transformer en produits de sinus les deux termes de chacune des fractions comprises dans le second membre de l'équation (i); et, si l'on suppose en particulier

l'équation (i) donnera

sin sin — • • • sin

sin sin -

1^1 Cl , C,i fcj

sin — sin —

sin — sin — • • • sin

Hii)

sin

Si l'on pose, pour abréger,

on verra l'équation (i), divisée par l'cxponentielb'

se réduire simplement à la formule

ou, ce qui revient au même, à

9(^'^) e^-(.„-Ov^ f(^"^

gk{ti-l)\J-

9'(e'iV^)J

A l'aide de la formule (5), le coefficient d'une puissance donnée de l'exponentielle

ians le développement de la fonction f(/), se déduira sans peine du

coefficient qui affecte la même puissance dans le développement du produit

et, par suite, des coefficients qui affectent les diverses puissances de x dans le développement de la fonction

En etfet, supposons

(6) 9(^') = .-r«+ ai^''-' + a2.2?''-- + . . .4- a,j i^ + a„.

On en conclura

et, comme on a d'ailleurs

— ^^ =^ :^e-^v'^ri^e(<i-<)v'=^4-e2(<i-0v'-'Ï4. . . ]

on trouvera définitivement

D'ailleurs, si l'on considère

Cil, a=i, . . . , (x,i

comme des inconnues déterminées par le système des équations que l'on déduit de la formule (7), quand on attribue successivement à la variable t les diverses valeurs

on pourra, en vertu des principes établis dans V Analyse algéhiique,

obtenir facilement les valeurs de ces inconnues, lorsque les coefficients (le chacune d'elles, dans les équations dont il s'agit, formeront une progression géométrique, ou, ce qui revient au même, lorsque les quantités

formeront une progression arithmétique. Donc alors aussi l'on pourra aisément tirer de la formule (5) le coefficient qui affecte une puissance donnée de l'exponentielle

dans le développement de ï[t).

Concevons, pour fixer les idées, que les quantités

se confondent avec les divers termes

d'une progression arithmétique dont la raison serait—. On trouvera, dans ce cas,

et, en posant

on tirera de la formule (5