C. II., t. XII, p. 4ii (8 mars iSfi

: L'équation finale, produite par réiiminalion de plusieurs variables entre des équations linéaires et présentée sous la forme la plus simple, a pour premier membre une fonction alternée. On peut même en dire autant do l'équation finale qui résulte de l'élimination d'une seule variable entre deux équations algébriques de degrés quelconques, puisque les méthodes de Bézout et d'Euler réduisent ce dernier problème au premier. Il importe donc de parvenir à former aisément les fonctions alternées. Telle est la question dont nous allons nous occuper.

Considérons, pour fixer les idées, la fonction alternée qui, égalée à zéro, produit l'équation finale, résultante de l'élimination de x entre // équations linéaires de la forme

An n J: + An , >'+...-!- A. .. » « + A,,

»^o,o ^ -1- ^"^o,\ r + . . . -I- Aft^ „.

li -h A,

A„-2,0^' + A„2,l J' + . . . + -^n-i,>l—2li + A„. 2,«~1»'= O,

A„,.o.r 4- A„.,,, 7' + . . . + A„.,^,j 2/< -h A„^,,„it'=r. o.

Pour obtenir cette fonction alternée que nous appellerons .s, on disposera d'abord en carré sur n lignes horizontales, et sur autant de lignes verticales, les coefficients que contiennent les équations linéaires données, comme on le voit ici

Ao,o A

Ao,i»

-*«-2,0> *« — 2,1> -'^rt -1,0» »/j 1,1,

puis 0)1 cherchera tous les produits que l'on peut former, en combinant ces coefficients n à n, de manière que les n facteurs de chaque produit appartiennent tous à des lignes horizontales différentes et à des lignes verticales différentes. Les produits formés, comme on vient de le dire, se réduiront à celui dont les facteurs sont les coefficients situés sur l'une des diagonales du carré, savoir au produit

et à ceux que l'on peut en déduire à l'aide d'une ou de plusieurs opérations dont chacune consiste à échanger entre eux deux indices qui, dans deux facteurs différents, occupent la même place. La fonction alternée s sera la somme de tous ces produits, pris les uns avec le signe H-, les autres avec le signe — ; deux produits différents devant être affectés du même signe ou de signes contraires, suivant qu'on pourra les déduire l'un de l'autre à l'aide d'un nombre pair ou d'un nombre impair d'échanges opérés chacun entre deux indices de même espèce. Le nombre n des fjicteurs de chaque produit servira de mesure à ce que nous nommerons Vorclre de la fonction alternée.

Concevons maintenant que l'on représente par P l'un quelconque des produits qui entrent dans la fonction alternée è. Supposons d'ailleurs que, dans cette fonction, le produit (2) en particulier soit affecté du signe -f-, et que, relativement au produit P, les divers indices

soient partagés en divers groupes, deux indices i et y étant placés à la suite l'un de l'autre dans le même groupe, lorsque le produit P renferme le facteur

Il suffira de connaître le système des groupes correspondants à un produit P, pour que ce produit se trouve complètement déterminé. Ainsi, par exemple, si l'indice i forme à lui seul un groupe, on en conclura qu'il est contenu dans un seul facteur du produit P, savoir, dans le

facteur A,,; si l'indice «forme un groupe binaire

avec un autre indice i\ on en conclura que les indices /, t' sont contenus seulement dans deux facteurs du produit P, savoir dans les facteurs

si les trois indices i, i', i" forment un groupe ternaire

on en conclura que le produit P renferme les trois facteurs

■^i,i''> ■^^i',i"i -^*r',iî

et ainsi de suite. D'ailleurs, pour déduire le produit partiel

A/,,' A,",/ ou A/,,'A/',rAr,,-, ... du produit partiel

A/,,Ar,r ou A,-,,A,-,i'Ar,r', .••

qui renferme les mêmes indices dans le produit (2), il suffit évidemment d'opérer un seul échange entre les seconds indices i, i des deux

facteurs du produit partiel

OU deux échanges successifs entre les seconds indices des trois facteurs du produit partiel

qui, en vertu de ces deux échanges, deviendra successivement

Donc, si le système des groupes correspondants au produit P présente /groupes formés chacun d'un seul indice, ou, ce qui revient au même, /indices isolés, ^ groupes binaires, h groupes ternaires, ^ groupes

OEiH'rcsdeC. — S.l.l.M. \2

quaternaires, etc.; enfin / groupes composés chacun de n indices (/devant se réduire à zéro ou à l'unité), il suffira, pour passer du produit (2) au produit P, d'opérer entre les seconds indices des facteurs

Ao,o> Ai,i, •••» ^n—\,n—\

autant d'échanges qu'il y aura d'unités dans la somme

D'ailleurs, si l'on nomme m le nombre total des groupes, on aura, non seulement

mais encore

et, par suite,

(5 ) g + ih + ?> k + . . . + {n — \) l := n — m.

Donc, pour passer du produit (2) au produit P, il suffira d'opérer entre les seconds indices des divers facteurs autant d'échanges qu'il y aura d'unités dans la différence n — m; et le produit P, dans la somme alternée s, devra être affecté du signe H- ou du signe —, suivant que la différence n — m sera positive ou négative. On peut donc énoncer la proposition suivante, qui s'accorde avec le théorème énoncé dans V Analyse algébrique (Note lY, p. 523).

Théorème. — Soit s une Jonction alternée formée avec les quantités que renferme le tableau (i), et dans laquelle le produit

■^0,0 Ai,i . • . A,j 2, ,1—2 ^n—l, n—\

soit ajfecté du signe -h . Les divers termes de cette somme seront les divers produits que l'on peut former avec n facteurs de la forme

dans lesquels les n valeurs de i soient respectivement égales, à l'ordre prés,

aussi bien que les diverses valeurs de y , aux divers termes de la progression arithmétique

Soit d'ailleurs P l'un quelconque de ces produits, et supposons que, relativement au produit P, les divers indices

soient partagés en divers groupes, deux indices

i et y

étant placés à la suite l'un de l'autre dans le même groupe, lorsque le produit P renferme le facteur

Si Von nomme m le nombre total des groupes ainsi formés, le produit P

sera, dans la somme alternée S, affecté du signe + ou du signe — , suivant

que la différence

Il — m

sera un nombre pair ou un nombre impair.

Si, clans la fonction alternée s, on nomme termes semblables ou de même espèce deux termes qui se déduisent l'un de l'autre, quand aux

indices

rangés dans un certain ordre, on substitue respectivement ces mêmes indices rangés dans un ordre différent, les divers termes, semblables entre eux, seront évidemment ceux pour lesquels le nombre total des groupes d'indices, et même le nombre spécial des groupes de cbaque nature restera le même, c'est-à-dire ceux pour lesquels on retrouvera les mêmes valeurs de/, g, h, k, ...,/. Cela posé, il suit évidemment du théorème énoncé que les termes semblables seront toujours affectés du même signe. Donc, dans le développement de la fonction alternée s, on pourra se borner à écrire un terme de chaque espèce, en ayant soin de placer devant ce terme la lettre caractéristique i pour

indiquer la somme des termes semblables, qui pourront se déduire immédiatement du même terme avec la plus grande facilité. Pour obtenir, d'ailleurs, un terme correspondant à des valeurs données de

il suffira d'écrire à la suite les uns des autres, dans leur ordre de grandeur, les indices

et de partager ces indices en groupes, en considérant les premiers indices

comme isolés, puis les indices suivants, en nombre égal à 2g, comme formant les groupes binaires

puis les indices suivants, en nombre égal à 3A, comme formant les groupes ternaires

Ainsi, par exemple, si l'on prend /z = 7, l'un des produits correspondants à

sera celui qui répond aux groupes

(o), (i), (2,3), (4,5,6), c'est-à-dire le produit

Ao,o Aiji A2,3 Ag^o Ai^s As^e Ae,^.

Quant au nombre des diverses espèces de termes compris dans la

somme alternée rS, il sera évidemment égal au nombre des solutions différentes de l'équation

f+o.g-^?>h-^^k->r...+ nl—n,

qui correspondront à des valeurs entières, positives ou nulles des

quantités

Si, pour fixer les idées, on suppose n = 5, alors, la valeur de n pouvant être présentée sous l'une quelconque des formes

les systèmes de valeurs de

se réduiront à l'un des sept systèmes

Il = o,

et, par suite, une fonction alternée du cinquième ordre renfermera sept espèces de termes.

Il est facile de calculer, pour une fonction alternée de l'ordre n, non seulement le nombre total des termes, ou des diverses valeurs

9i COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

de P, mais encore le nombre des termes de chaque espèce; et d'abord, comme dans chaque valeur de P on peut supposer les divers facteurs rangés d'après l'ordre de grandeur des premiers indices, le nombre des valeurs diverses de P sera évidemment égal au nombre qui indique de combien de manières différentes on peut ranger à la suite les uns des autres les seconds indices, représentés par n quantités distinctes. Donc le nombre des divers termes de la fonction alternée s sera égal au produit

Cherchons maintenant le nombre des termes d'une espèce donnée,

c'est-à-dire le nombre des valeurs de P qui correspondent à des valeurs

données de

et représentons ce nombre par

Relativement à chacun des termes dont il s'agit, les indices

pourront être partagés en m groupes, la valeur de m étant celle que détermine l'équation (4), puis écrits à la suite les uns des autres dans un ordre tel que des indices placés dans un même groupe se suivent toujours immédiatement, et qu'aux indices isolés succèdent les indices compris dans les groupes binaires, puis dans les groupes ternaires, puis dans les groupes quaternaires, etc. D'ailleurs dans la série, ou succession d'indices, obtenue comme on vient de le dire, on pourra opérer divers changements sans qu'elle cesse de correspondre au même terme, et sans que les conditions énoncées cessent d'être remplies. On pourra, par exemple, échanger entre eux, d'une manière quelconque, ou les/indices isolés, ou les ^groupes binaires, ou les h groupes ternaires, etc.; on pourra encore, dans chaque groupe, écrire le premier un quelconque des indices dont il se compose; et, eu égard à la possibilité de ces divers changements, il est clair que les séries ou suc-

cessions d'indices correspondantes à un même terme seront en nombre égal au produit

(1.2.../) (1.2...^) (1.2... A)... (1.2.../). 1/2^3/'... Ai',

chacun des produits partiels