C. R., t. XII, p. 323 (i5 février

Soient

une fonction entière de sinz et de cos/, et k le degré de cette fonction. Soient d'ailleurs t une valeur particulière de /, et n un nombre entier égal ou supérieur à 2/^ -h i. On aura, comme on l'a vu dans un précédent Mémoire,

ou, ce qui revient au même.

Concevons maintenant que, la fonction f(^) étant développée en une série ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples de t, ou, ce qui revient au même, suivant les puissances entières, positives, nulles

ou négatives, de l'exponentielle trigonométrique

on désigne par a,n le coefficient de

Qinl\/—l

dans ce développement, en sorte que l'on ait

Les équations (2) et [?>) entraîneront la suivante

à laquelle on peut aussi arriver directement en partant de l'équation (3) et des propriétés connues des racines de l'unité.

En vertu de la formule (4)» ^c coefficient a,^ d' une puissance quelconque de V exponentielle trigonométrique e'^^ ' , dans le développement de la fonction f(^) en une série ordonnée suivant les puissances entières de la même exponentielle, sera une moyenne arithmétique entre diverses valeurs de cette fonction respectivement multipliées par diverses exponentielles tiigonométriques. Donc, par suite, si la fonction f(^) est réelle, le module de chaque coefficient a,n ne pourra surpasser la plus grande valeur numérique que cette fonction puisse acquénr. Cette dernière proposition subsistant, quel que soit le nombre k, par conséquent quel que soit le nombre des termes compris dans la fonction f(^), peut être étendue au cas même où le nombre de ces termes devient infini.

Si l'on chercbe en particulier le premier terme «« tlu développement de la fonction f(/), suivant les puissances entières positives ou négatives de l'exponentielle trigonométrique

on trouvera

Soient maintenant

une nouvelle fonction entière de sin; et de cost, ou, ce qui revient au même, de l'exponentielle trigonométriquc

et h le degré de cette fonction, en sorte que l'on ait

( F(0 = Ao + A, e'v'" -^A,e''s/~' +. . . + A^e^^'v/^

Si l'on nomme s le premier terme du développement du produit

en série ordonnée suivant les puissances entières, positives ou négatives de cette exponentielle, on trouvera : i'* En supposant h=: ou <ik,

-h Aia i + A2a 2 + . . . + A/, «-/,;

et, par suite, en vertu de la formule (4),

(3) .s=-:s SA„.."(--)'-f(..-^');

2" En supposant A = ou >/(%

'\ S = Ao«o+ A-i^j H- A.2«2-l-- • • + ^-kClk

( 4- Ai«i + A2a 2 + . . . + A^-rt-^t;

et, par suite, en vertu de la formule (4),

Dans la première hypothèse, c'est-à-dire en supposant A^/% on pourra réduire l'équation (8) à la forme

Si, pour fixer les idées, on prend n = 2k-h i,h formule (i i) donnera

Si, au contraire, on prend n = !2/k -i- 2, on trouvera

Avant d'aller plus loin, nous ferons une renjarque importante. Si, dans l'équation (3), on substitue successivement à la variable t les divers termes de la progression arithmétique

et si l'on ajoute entre elles les formules ainsi obtenues, après les avoir respectivement multipliées par les facteurs

alors, en supposant

on retrouvera précisément l'équation (/,); mais, si dans le même cas

on suppose seulement

l'équation (4) subsistera pour des valeurs de m comprises entre les limites

m = — {,! —A), /n=zn~A,

OEiivres de C — s.], l.W. H

82 COxMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et sera remplacée par la formule

pour des valeurs de m représentées par ces limites mêmes ou situées hors de ces limites. Cela posé, l'équation (4) continuera évidemment de subsister, pour toutes les valeurs de m comprises dans la suite

si l'on a

et sous cette condition la formule (8) ou ([o) fournira encore une valeur exacte de .s. Il y a plus; l'équation (lo), légèrement modifiée par la suppression des termes correspondants à m = — X-, et réduite à

pourra être appliquée au cas où l'on aurait

si l'on choisit convenablement l'arc t. En effet, dans ce cas, la formule (4) subsistera pour toutes les valeurs de m comprises entre les limites — /% -h k; mais, pour m = — A\ la formule (i4) donnera

et, par suite,

pourvu que l'on assujettisse t à vérifier la condition

Sous cette dernière condition, l'équation (7), jointe à la formule (4) ou (16), entraînera évidemment l'équation (i5), que l'on pourra écrire comme il suit :

in = l — /. l~{ — h

D'après ce qu'on vient de dire, l'équation (18) coïncide, pour/i = X-, avec la formule (7), par conséquent avec la formule (9). Comme d'ailleurs les seconds membres des équations (9) et (18) ne renferment pas la lettre h, il est clair que ces deux équations s'accorderont l'une avec l'autre, non seulement pour h — k, mais aussi quel que soit h. Donc la formule (18), jointe à la condition (17), fournira la valeur exacte de s, dans le cas même où l'on aurait

li > k,

et dans celui où le développement de F(/) offrirait un nombre infini de termes.

Pour montrer une application des formules qui précèdent, concevons que l'on ait k = 2, par conséquent

et, de plus,

F(0 = [>- — cos(« — H)]^,

n désignant un arc réel, et 1 un nombre supérieur à l'unité. Le développement de ¥{t) sera de la forme

et de cette dernière formule, comparée à l'équation (G), on tirera, pour ^ = ce ,

AorrrAo, A,=z:A,e-n/^, A, =A,.'-^"v^,

A,= A,elIV^, A,=:A,e'-IIv^,

Donc, pour vérifier la condition (17), réduite à

il suffira de prendre

r = ll,

et la formule (18) donn'era

Donc, si ï{t) est une fonction réelle de t, la valeur de cS, qui dans ce cas sera réelle, pourra être réduite à

T. ml „ f „ T.l

^= § 1^ A„,cos:^f(n +

Hl =: — 1 / — - 1

ou, ce qui revient au même, à

(]elte dernière équation, que l'on peut encore écrire comme il suit,

Ao+2A, + A2.,„, , A„— 2A,-^A2

+ ^^^^^[f(n+^'Wf(ii

s'accorde avec la formule (36) de la page 46 (i?of> l'Extrait n'' 1 14). "

Concevons maintenant que l'on ait, non plus A = oo , mais simple ment A = 2, le nombre k étant d'ailleurs un des termes de la suite

L'équation (6) sera réduite à (19) F(0 ^ A..2 e~'-V"=^+ A, e-'V-"^-h Ao + A, eV^ + A^ e^V^;

et, si l'on suppose d'abord k = i, la formule (i8)

/rt = — 1 / -=: - l

OU, ce qui revient au même,

7t/\ , / TX/\ ,- — ■ / :T/\ ,. .

l'arc T étant choisi de manière à vérifier la condition

Si, au contraire, on suppose ^> 2, on pourra tirer la valeur de s de la formule (8), en y laissant l'arc t arbitraire, pourvu que l'on prenne

par conséquent

Ainsi, en particulier, si l'on prend ^ = 4» on devra, dans la formule (8), supposer /?>7, par exemple

Or, pour A = 2, k = 4, n = 8, l'équation (8) donnera

Si, dans cette dernière formule, on réduit l'arc - à zéro, on en tirera simplement

TZml , ,

g S S'^'""' ' 'fi^-'-TJ

ou, et' qui revient au même,

, 71/ , -Kl , 7t/ I T.l I

On peut se servir utilement des équations (20) et (23) pour déterminer la valeur générale de la fonction désignée par u dans le Mémoire sur les variations séculaires des éléments elliptiques des planètes. Les formules ainsi obtenues pourront remplacer, même avec avantage, les formules (37), (38), (39), (4o) de la page 48. L'équation (20) en particulier fournira immédiatement la valeur de u qui correspond à la valeur 2 de l'exposant que nous avons représenté par la lettre 1 (pages 37 et suivantes). Quant à l'équation (23), elle fournira rigoureusement la valeur de u correspondante à 1 = 4» et il suffira que l'on puisse négliger les quantités du quatrième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, pour qu'elle fournisse encore, sans erreur sensible, les valeurs de u correspondantes à 1 = 6 et à 1 = 8.

Sur l'élimination d'une variable entre deux équations algébriques ('). C. R., l. XII, p. 391 (i"'- mars 1841).

(') Mémoire publié dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique {Nouveaux Exercices), voir t. I, p. 385.

Analyse mathématique. — Note sur la formation des fonctions alternées qui servent à résoudre le problème de l'élimination .