Ao,oAi + 42Ao,.A
+ 2 2Ao,oAi
2 As,; A4, 5 A3, 3 — 22 Ao,o A'J,2 Ag,! A;, 5 A5,3 0 ^* 3,4 A4, 5 A5,3
3 Aa,; A4, 5 As,, + 2 i; A^, 1 A2,3 As,; A4, 3 A5,2
3 A3,; A;, 5 As,! — 22; Ao,l Aj,2 A2,3 As,; A;,g A5,o,
pourvu que l'on indique toujours à l'aide du signe 1 placé devant un terme la somme faite de ce terme et de tous les termes semblables.
Les principes établis dans cette Note conduisent de la manière la plus simple et la plus directe à la détermination d'une fonction alternée dont on se propose d'obtenir la valeur en calculant séparément chaque terme. Mais il importe d'observer que, pour de grandes valeurs de n, la réduction en nombres des divers termes calculés chacun à pari devient impraticable, en raison de la- grandeur excessive du produit
Comment doit-on s'y prendre alors pour obtenir, sans trop de dilïiculté, la valeur numérique de la fonction alternée? C'est une question qui mérite d'être examinée, et qui sera l'objet d'un nouvel article.
Analyse matué3IATique. — Mémoire sur diverses formules relatwes à l'Algèbre et à la théorie des nombres.
G. R., t. XII, p. 698 (26 avril 1841).
Ce Mémoire sera divisé en deux paragraphes.
Dans le premier paragraphe, je déduirai, des relations qui existent entre les coefficients d'une équation algébrique et les sommes des
puissances semblables de ses racines, une formule qui jouit d'une propriété singulière. Pour toutes les valeurs entières et positives, attribuées à deux variables que cette formule renferme, le premier membre se réduit à la plus petite variable ou à zéro, suivant que la plus petite variable divise ou ne divise pas la plus grande.
Dans le second paragraphe, je m'occuperai de nouveau d'une question souvent traitée par les géomètres, savoir, de la résolution des équations indéterminées du premier degré en nombres entiers. On connaît la solution algébrique que M. Binet et M. Libri ont donnée de ce problème, pour le cas de deux inconnues. Mais, quelque simple que • soit, sous le rapport analytique, la solution dont il s'agit, nous verrons qu'elle peut être encore simplifiée, de manière à ne plus exiger la formation de Tables qui offrent la décomposition d'un nombre entier quelconque en facteurs premiers.
Quand on sait résoudre les équations indéterminées à deux inconnues, on sait aussi résoudre les équations qui renferment trois ou un plus grand nombre d'inconnues, puisqu'on peut commencer par choisir arbitrairement quelques-unes de ces dernières. Mais il peut arriver que, dans un problème indéterminé, on ait seulement besoin de connaître les valeurs entières, nulles ou positives, des inconnues, et ces valeurs seront certainement en nombre fini, si, dans le premier membre d'une équation linéaire donnée, les coefficients de toutes les inconnues sont des quantités de même signe. Alors la question se réduit à décomposer un nombre entier donné en parties égales ou inégales, dont chacune soit un terme d'une suite finie donnée. Cette question se reproduit dans diverses circonstances, par exemple quand on se propose de développer les puissances d'un polynôme qui renferme un nombre fini ou infini de termes, de déterminer les sommes des puissances semblables des racines d'une équation algébrique ou transcendante, ou de calculer les nombres de Bernoulli. Dans ces cas, et dans plusieurs autres, le coefficient de l'une des inconnues se réduit à l'unité, ce qui permet de résoudre assez facilement la question, en commençant par fixer la valeur de l'inconnue dont le coefficient est le plus
grand. Au reste, j'indiquerai un moyen facile de résoudre, dans tous les cas, les questions de ce genre, et même de les réduire à de simples soustractions.
§ I. — Relations qui existent entre les coefficients cV une équation algébrique et les sommes des puissances semblables de ses racines. Formules singulières déduites de ces mêmes relations.
Soit m un nombre entier quelconque. On aura, comme l'on sait,
(i) {x-v-y + z...)"' = :i{îi,h.c, ...)x^y^z%
la sommation que le signe 1 indique s'étendant à toutes les valeurs entières, nulles ou positives de a, b, c, . . . qui vérifient la condition
et le nombre entier que représente l'expression (a, b, c, . . .) étant déterminé parla formule
où l'on doit omettre, dans le second membre, celles des quantités a, b, c, ... qui se réduiraient à zéro; en sorte qu'on trouvera, par exemple, en supposant
(a,b, C, ...) = {m,o,o, ,..)= ^ ^ ^^^ — ' • Si, dans la formule (i), on remplace la somme
par un polynôme de la forme
on en conclura
la valeur de A, étant donnée par la formule
dans la(|uelle la sommation indiquée par le signe 1 devra s'étendre à toutes les valeurs entières, nulles ou positives, de
(|ui véritieront les deux conditions
Des équations (i), (2), (3), jointes aux deux suivantes
on déduit aisément les formules qui expriment les relations existantes entre les coefficients d'une équation algébrique et les sommes des puissances semblables de ses racines. Rappelons d'abord ces dernières formules en peu de mots.
Soient x, €, y, ... les l'acines de l'équation algébrique
(6) ^'" -r «1 ^"~' -h a.2.r'^-- -Jr . . . -h o,^iJ" -+- a,t=zo, et
la somme des î*^'"''' puissances de ces racines. En posant
dans l'équation identique
jc" -+- c/i-r"^^^ + . . . H- a,i ia- ~\- a,^=z (x — a) ( j:' — c) {x — "/)■•■,
on en conclura
(7) 1 + a, - + . . . + a„, z'^-' +cf„z"={i-~xz){i-ez){f- y z) ... ;
puis, en prenant les logarithmes népériens des deux membres de l'équation (7), et ayant égard à la formule (5), on trouvera
(8) .V, c 4- ^ ,v.^^ H- J 53 :;^ + . . . — — 1 (i + «1 c + . . . + «„^i -""' + ^'n :•"), et, par suite,
Si maintenant on développe les seconds membres des équations (8),
(9) à l'aide des formules (/,), (5), jointes à la formule (3), et si dans les équations nouvelles ainsi obtenues on égale entre eux les coefficients des puissances semblables de z, on en conclura
^ ' ' ^ ' 1 . 2 . . . (a 4- Jj 4- . . . + Il + k ) ' \2 - y \n— i J \n )
«devant être, dans la formule (11), inférieur ou tout au plus égal à n, et la sommation que le signe 2 indique devant s'étendre, dans chacune des formules (10), (f i), à toutes les valeurs entières, nulles ou positives, de
pour lesquelles se vérifiera la condition
Il sera d'ailleurs facile de calculer ces valeurs, en commençant par
déterminer celle de k, puis celle de A, Ainsi, par exemple, si
l'on a
alors l'équation (12), étant réduite à
a 4- 2b 4- 3c = 7, sera évidemment vérifiée par les valeurs entières, nulles ou positives, de
qui satisferont à l'un des trois systèmes de formules
c = o, a + 2b = 7, cm I, a 4- 2b = 4, C=2, a + 2lj=i.
On reconnaîtra pareillement que l'on vérifie l'équation
en prenant
ou
ou
ou
l'équation
en prenant
ou
ou
et l'équation
en prenant
Donc enfin les valeurs nulles ou positives de
a, b, c, propres à vérifier la formule
aH-2b4-3c = 7,
se réduii'oiil à riin des systèmes de nombres
Cela posé, la formule (lo) donnera, pour // = 3, i = ~,
OU, ce qui revient au même,
•"•'t^— «Ï — 7 («ï«2+ 2a'| a^ + aja^J — a\ «;, — 3f/j a, a,, — rt|«;j4- «i aj ).
Telle est ellectivement la somme des •y'^m^s puissances des racines de l'équahon
x^ -+- a, X- H- rt, ,r H- a-i ■=. o.
Si, dans les formules (lo), (i i), on prend successivement pour/ les divers nombres entiers
en laissant la valeur de Ji arbitraire, on retrouvera des formules d(Minées très anciennement par Euler, savoir,
s-i=z — a'I -h 5 a i a o — Sa-^,
■^5= — «f 4- 5rt'* «2— 5rtj «3+ 5<7, r/.] + 5 a, r7. + oa,»» — -^^n,
OKuvies (le C. — S. I, t. VI. 1 4
et
{s]~3SiS.,+ 2S3),
7— p ( .ç* — I o 5^ .^2 4- 1 5 Si s; + 20 .ç^ ^3 — 20 .Ç-, .Ç3 — 3o Si .Çv + 24 .Î5 ) .
Il existe des relations dignes de remarque entre les valeurs de
fournies par l'équation (lo), et les coefficients des diverses puissances de z dans le développement de l'expression
(l + rt,Z+. . .+ «„-")'•
En effet, désignons par
ces coefficients, en sorte qu'on ait
i -+- tiZ ^ t.iZ- + . . . — {i^aiZ-}-. . .-h a^z")-^
=: 1 — ( a, - + . . . 4- a„ ::'* ) + ( a, ^ -h , . . -f- rt„ -3" )- — . . . ,
et, par suite, en vertu de la formule (3),
(i3) ^r=>;(i)»+'>+-+i'+k(a, 1), ...,h,k)a\a'l...al^n)^,
la sommation que le signe 1 indique s'étendant à toutes les valeurs de
qui vérifient la condition (12). Comme l'équation (8), différentiée par rapport à z-, donnera
et, par suite,
.V, c -|-,V2C--f-,V3-'4- . . . =— (a, H- aa.; + . . . -h «a,, :;"-') (i H- <, s + fjC^H-. . ,),
on en conclura
Il suit évidemment des formules (i3) et (i5) que, dans la valeur générale de s^ donnée par l'équation (lo), tout comme dans les valeurs précédemment trouvées de
^IJ -^î) -^3) '^4 5 -îâ» • • • ■>
le coefficient numérique d'un terme quelconque sera toujours un nombre entier. Donc, par suite, le produit
■ (;i,b, ...,11,1^) a 4- b H- ... 4- lu- k '
dans lequel
sera toujours un tel nombre. Cette proposition s'accorde avec un tbéorème que nous démontrerons tout à l'heure.
Il nous reste à exposer plusieurs conséquences remarquables des formules générales que nous venons d'établir.
Observons d'abord que si l'on différentie l'équation (i) par rapport à l'une des variables x, y, z, ..., par rapport à x par exemple, on
trouvera
m(j7 4-j-4- :;4-. . .)'"' = !; a (a, b. c, . . .).r=' ir''^*"
Donc, par suite, l'expression
représentera le coefficient du produit .r^'y'^c/. . . dans le développement de
m{.r-hr + :; 4-. . .)'""',
en sorte qu'on aura
et
(ib) =(a — i,b,c, ...),
la valeur de m étant
l/équation ([G), qu'on peut établir directement, puisqu'elle devient identique quand on y substitue les valeurs des expressions
subsiste d'ailleurs lorsqu'on écbange entre elles les lettres a, b, c,
Il en résulte que cliacun des produits
est divisible par le nombre
Donc ce nombre divisera le produit
si le facteur oj est de la forme
a u -h hv -'- cw -{-... ,
II, c, <i', ... désignant des quantités entières positives ou négatives. Cela posé, pour vérifier l'exactitude de la proposition ci-dessus énoncée, il suffira d'observer que le facteur
« = a + -î 1) + . . . -h ( « — I ) b -i- /rk
est précisément de la forme indiquée. Ajoutons que le plus grand commun diviseur des nombres
est de la même forme. On peut donc énoncer encore la proposition suivante.
EXTRAIT No 122. 109
Théorème L — Soient m la somme des nombres
el M leur plus grand commun diviseur. Le produit
o)(a,b, c, ...) sera toujours divisible par m.
Corollaire I. — Dans le développement de
le coefficient numérique M d'un terme quelconque sera divisible par tn, si aucun entier ne divise les exposants de toutes les variables dans ce terme. Dans le cas contraire, le plus grand commun diviseur co de ces exposants rendra le produit toM divisible par m. Ainsi, par exemple, dans le développement de
le plus grand commun diviseur 3 des exposants 3 et G, dans le terme
(3,6XvS rendra le produit
3 X (3, 6.) = 3.8', divisible par 9.
Corollaire IL — Le plus grand commun diviseur w des nombres
devant diviser leur somme m, il en résulte que, dans le développement de
m divisera l'exposant numérique de tout terme où l'exposant d'une seule des lettres^,/, z, ... sera premier à m. Par exemple, dans le développement de
tous les coefficients numériques seront divisibles par 9, à l'exception des suivants :
Corollaire III. — Si m est un nombre premier, le coefficient i de x'", de y'", de z"\ . . . sera le seul qui ne soit pas multiple de m, ce que l'on savait déjà.
Considérons maintenant la formule (lo), et appliquons-la au cas où l'équation [G) se réduirait à
Alors, a,, ao, . .., a„„, étant nuls, on verra, dans le second membre de la formule (lo), disparaître tous les termes qui ne correspondront pas
à des valeurs nulles de
et, par suite, on trouvera
S,=:. H OU Si^=zO,
suivant que « vérifiera ou ne vérifiera pas la condition
c'est-à-dire, suivant que i sera ou non divisible par n. Or, en comparant la valeur de i ou de s^ avec celle que l'on obtiendrait si l'on appliquait directement la formule (lo) aux deux équations
dans lesquelles peut se décomposer l'équation donnée
on se verra immédiatement conduit à la proposition suivante : Théorème II. — Si l'on pose généralement
le nombre des quantités
étant n — i, et la sommation que le signe 2 mdique s 'étendant à toutes les
valeurs entières, nulles ou positives de a, b, ..., h qui vérifient la condition
on trouvera
Si^nz n 011 .Ç,=:0, '
suivant que n sera ou ne sera pas diviseur de i.
Corollaire. — Si l'on pose /z = :a, le théorème précédent donnera
, „. .ri «-3 (i — 4)(/-5) "] „
(19) , + (,)',|^^-, + - -L^ ^, J^3 ou o;
par conséquent
(:io) i + ^,)'j^i,+ ^— —Z- ^ilA ^-H...J=3 ou o.
suivant que i sera ou ne sera pas divisible par n. L'équation (19) s'accorde avec le théorème donné par M. Stern pour la sommation de la
série finie
Le théorème de M. Stcrn peut donc être considéré comme renfermé dans le théorème H.
Nous avons déjà remarqué que, dans la formule (11), ï était supposé inférieur ou tout au plus égal à n. Si le nombre entier «devenait supérieur au nombre entier /^, alors, a^ devant être considéré comme égal à zéro, on déduirait évidemment de l'équation (9), non plus la formule (11), mais la proposition suivante:
Théorème IIL — Lorsque le nombre i surpasse le degré n d'une équation algébrique, les sommes
Sy, Si, .V3,
des puissances semblables des racines de cette équation véiifient la formule
(nx\ \( .\a-Hb+r+... (a,l), C...) - ça Mo \l) , iç \c —f.
le si^ne i s èU'iidanl à toutes les valeurs entières, nulles ou positives, de
poui' lesquelles on a
Corollaire 1. — Si, pour fixer les idées, on prend n = 2, ^ == 3, l'é- (juation (20) donnera
Corollaire 11. — Si l'équation donnée se réduit à
alors dans la suite
tous les termes s'évanouiraient, à l'exception des suivants
(jui seront égaux à n. Par suite, dans le premier membre de l'équation (21), tous les termes s'évanouiront d'eux-mêmes, si « n'est pas divisible par n. Si au contraire i est divisible par n, l'équation (21) pourra s'écrire comme il suit
(23) y (i)a + l.^c^... i^JhC^^ ^^ (,)a(|)l.(l)..,.,^,
le signe 1 s'étendant à toutes les valeurs entières, nulles ou positives, de a, b, c, . .. pour lesquelles on aura
Mais - peut être l'un quelconque des nombres entiers supérieurs à
l'unité. Donc la formule (22) se vérifiera toujours, si dans celte formule la sommation indiquée par le signe 1 s'étend à toutes les valeurs entières, nulles ou positives, de a, b, c, . . . qui offrent pour somme un
nombre donné, supérieur à l'unité. Au reste, cette conclusion pourrait être immédiatement déduite de l'équation identique
Analyse mathématique. - Mémoire sur diverses formules relatives à l'Algèbre et à la théorie des nombres.
