S) I.2.3.. .«=:IN

le signe 1 se rapportant aux divers systèmes de valeurs de

/. g, ^i, '■-, l qui vérifient l'équation (3), et par conséquent

'»> ■■-■•■"=5:^^("'v..'. or ara)"- a)'

Cette dernière formule paraît digne d'être remarquée.

Si, pour fixer les idées, on prend n = 5, l'équation (8) ou (9) donnera

1.2.0.4.0 =Ii>l5 Q ,1 o^p-f- iXj^ 1,0,0,0+ N), 2, 0,0,0+ -^2, 0,1, 0,0 + No, 1, 1,0,0+ jN 1,0,0, 1,0+ Nq, 0,0,0, IJ

et, par suite,

ce qui est exact.

On peut observer que, dans le cas où n est un nombre premier, la valeur entière de

fournie par l'équation (7), reste toujours divisible par/î, excepté lorsqu'on prend

m — n, par conséquent /= n, S'—-o, /i = o, ..., 1 = o,

OU

w— I, par conséquent /'=o, g = o, /i = o, ,.,, /=i.

Donc, dans le second membre de la formule (9), et pour le cas dont il

s'agit, les seuls termes non divisibles par/f sont

^'rt,0,o,...,o= I et No, 0,0 1=: 1.2.3. . .(/i — l).

Donc la somme de ces deux termes doit être, aussi bien que le produit 1 . 2 . 3 . . . /i, divisible par le nombre n, toutes les fois que celui-ci est premier. On se trouve ainsi ramené au théorème de Wilson.

Observons encore que, dans la fonction s, le nombre des termes affectés du signe +, et correspondants à des valeurs paires de n — m, est précisément égal au nombre des termes affectés du signe —, et correspondants à des valeurs impaires de n — m. Donc la différence entre ces deux nombres, évidemment représentée par

sera nulle, et l'on peut, à l'équation (8) ou (9), joindre la suivante que l'on peut encore présenter sous la forme

On trouvera, par exemple, en prenant n = 5,

N3, 0,0, 0,0— ^3,1,0,0,0+ N,, 2, 0,0,0 4- N2, 0,1, 0,0— No, 1,1, 0,0— Nj, 0,0, 1,0 + No, 0,0, 0,1 = o,

I — I o 4- 1 5 4- 20 — 20 — 3o + 24 = o, ce qui est exact.

Lorsque, dans le tableau n" 1, on a généralement

les coefficients

situés sur l'une des diagonales du carré figuré par ce tableau, sont les seuls qui ne se trouvent pas répétés. Les autres coefficients sont égaux

OEuvres de C. — S. I, t. VI. l3

deux à deux, les coefficients égaux étant toujours placés symétriquement des deux côtés de la diagonale dont il s'agit. Donc alors les seuls termes, qui ne se trouveront pas répétés plusieurs fois dans la fonction alternée s, seront ceux qui correspondront seulement à des indices isolés et à des groupes binaires. Quant aux termes qui correspondront l\ des groupes ternaires, quaternaires, etc., c'est-à-dire, à des valeurs

de

différentes de zéro, il est facile de voir que chacun d'eux se trouvera répété autant de fois qu'il y aura d'unités dans la puissance

du nombre 2. En effet, dans l'hypothèse admise, étant donné un terme P correspondant à des valeurs de h, k, ..., /différentes de zéro, on obtiendra toujours un second terme égal au premier, si l'on renverse l'ordre dans lequel se trouvent écrits à la suite les uns des autres les indices renfermés dans un seul groupe ternaire, quaternaire, etc. Ainsi, par exemple, deux termes seront égaux entre eux si, pour passer de l'un à l'autre, il suffit de remplacer le groupe quaternaire

par le groupe quaternaire

attendu qu'en vertu de la formule (12) le produit partiel

^»0,l Ai,2 Ao^s Aj^o

sera équivalent au produit partiel

A3, 2 Ao,! Aj^o Ao,3.

La remarque précédente, jointe à ce qui a été dit plus haut, permet de former aisément les fonctions alternées, composées avec des coefficients pour lesquels la condition (12) est remplie. Si, pour fixer les idées, on suppose /i = G, alors, en admettant que la condition (12) se vérifie,

on trouvera

s =Z Ao,oAi,i A2,2 As,:! A4,; Aj^s— 2 Ao,oA],i A2,2 A;j,3A;;;

+ 2Ao,oA,,,A^,,A^,-iAS,,A^,3AL5