X-R = (,r-,-)X,, et de plus

R ^H o (mod/i),

on en conclura, en attribuant à .x une valeur entière quelconque,

X = (.r— /-jX, (inod/0-

Corollaire I. — En vertu de la formule (23), l'équivalence .(22), réduite à

(o.^ — /^X^—o (mod/<),

se décomposera en deux autres, savoir :

(2D x — r^o, X^ = o (mod«).

Il est d'ailleurs aisé de voir que le coefficient de la plus baute puissance de X restera le même dans les deux polynômes X, X,. Cela posé, concevons que, ce coefficient étant premier au module //, la racine /-se réduise à l'un des entiers inférieurs à ce. module, et nommons

les diverses racines de l'équivalence (22), représentées par divers entiers inférieurs à n. Une racine r, distincte de r, ne pouvant vérifier la première des formules (2/4), vérifiera nécessairement la seconde. Si d'ailleurs le polynôme X est du premier degré ou de la forme ax -h h, a étant premier à n, on aura

et, la seconde des formules (24) ne pouvantêtre vérifiée, l'équation (21) n'admettra point de racine distincte de r et inférieure à n. Si le polynôme X est du second degré, alors, le polynôme X^ étant du premier degré, la seconde des formules (24) admettra une seule racine inférieure à n, et par suite l'équation (22) admettra au plus deux racines distinctes inférieures à n. En continuant ainsi à faire croître le de^ré

(lu polynôme X, on déduira évidemment des formules (24) la proposition suivante :

Théorème X. — Soient n un nombre premier, et X une fonction entière (le X, dans laquelle les coefficients numériques des diverses puissances de r se réduisent à des nombres entiers, le coefficient de la puissance la plus élevée étant premier au module n. Le degré du polynôme X ne pourra élrc surpassé par le nombre des racines distinctes et inférieures à n qui vérifiewnl

V équivalence

X = o (ino(l/0'

Corollaire I. — Le module n étant un nombre premier, et 1 étant l'indicateur maximum relatif à ce module, chacun des nombres

inférieurs et premiers au module //, représentera une valeur do m propre à vérifier la formule (20) et sera par conséquent une racine de

l'équivalence

x^ — I E^ o (mo(l n).

Donc, en vertu du théorème X, l'indicateur maximum I ne pourra être inférieur au nombre des entiers

c'est-à-dire au nombre

et puisque, en vertu du théorème IV, joint au théorème de Fermât, I devra diviser ce même nombre, on aura nécessairement

(2.5) \z=^^ zzr. n — I.

Corollaire II. — La formule (23) s'étend au cas même où l'on aurait

et par suite

Supposons maintenant que le module n cesse d'être un nombre premier; alors on établira facilement les propositions suivantes.

TuKORÈME XI. — V étant un module quelconque, i un nombre entier, v une quantité entière qui vérifie V équivalence

(o,G) jr EH I (inodv), . .

et z le quotient de x — i par v, l'équation

entraînera C équivalence

{■?.j) œ^^i-\-viz (inotlv-).

Démonstration. — En effet, dans le développement de

tous les termes, à l'exception des deux premiers, seront divisibles par V-.

Corollaire I. — Si z- ou i sont divisibles par v, la formule (27) se réduira simplement à la suivante :

(28) j;'' = i (modv').

Mais celte réduction ne pourra plus s'effectuer si z et / sont premiers à V.

Corollaire IL — Si i est premier à v, la valeur de x fournie par l'équation

ne pourra vérifier la formule (28), à moins que z ne devienne divisible parv, c'est-à-dire à moins que l'on n'ait

(29) x = i (modv-).

Corollaire III. — Supposons que v devienne un nombre premier, et que la quantité entière x soit équivalente à l'unité suivant le module v, mais non suivant le module v^, en sorte que x vérifie la condition (26), sans vérifier la condition (29) : on ne pourra satisfaire à l'équivalence (28) qu'en attribuant à l'exposant i une valeur divisible par v. Donc, parmi les puissances de x qui deviendront équivalentes à l'unité

suivant le module v-, la moins élevée sera -v'. En d'autres ternies, V sera l'indicateur correspondant au module

n — v^ et à la base

tant que z restera premier à v.

Corollaire IV. — Si, le module v étant un nombre premier, la quantité

devient positive et inférieure à v-, elle ne pourra être qu'un terme de la progression arithmétique

Or, comme le premier terme de cette progression vérifie seul la foimule (29), il résulte du corollaire précédent que l'indicateur correspondant à l'un quelconque des autres termes et au module v- sera le nombre premier v.

Corollaire V. — Si, dans les formules (26), (28), (29), on remplacer? par ^> x et y désignant deux nombres entiers premiers à v, ces formules deviendront

/ jc ss r (modv ), (3i) ' x'=r' (modv^),

' œ ^y (modv-).

Donc, lorsque i sera premier à v, non seulement les formules (2G) et (28) entraîneront la formule (29), mais de plus les deux premières des formules (3i) entraîneront la troisième, d'où il résulte qu'elles ne pourront subsister en même temps, si .x, y sont tous deux positifs et inférieurs à v^.

Corollaire VI. — v étant un nombre premier, runc racine primitive de V, et X l'une des quantités entières qui vérifient la formule

(82) cr = /• (modv),

nommons /l'indicateui' correspondant à la base r et au module

On aura

.z-'=i (modv-),

[)ar conséquent

œ'E^i (modv);

et, comme la formule (32) donnera

a;' = r' (modv),

on aura encore

/•' = i (modv).

Donc, en vertu du théorème IV, « sera, ou le nombre v — i qui représente l'indicateur correspondant au module v et à la racine primitive /•, ou un multiple de ce nombre. Mais, d'autre part, l'indicateur ? devra diviser le nombre N des entiers inférieurs et premiers à v^ savoir le produit

Or, V étant premier, les seuls multiples de v — i qui diviseront ce produit seront

V — I et N.

Donc, dans l'hypothèse admise, on aura

i = v — i ou i -r= N — V ( V — 1 ).

Observons maintenant que, parmi les valeurs de x propres à vérifiei' la formule (32), celles qui seront positives et inférieures à v- se réduiront aux termes de la progression arithmétique

et qu'en vertu du corollaire précédent, si l'on désigne par .r, r deux de ces termes, l'équation

a-'E^y' (modv-)

ne pourra subsister, quand /sera premier à v. Donc la valeur v — i de l'indicateur i ne pourra correspondre qu'à un seul des termes de la

progression (33), et, pour cliacun des autres termes, on aura nécessairement /'= N.

Corollaire VII. — Le module

étant le carré d'un nombre premier v, un seul terme de la progression (33) peut représenter une racine de l'équation

(34) œ^-^ = i (modv^).

Pour chacun des autres, l'indicateur i acquiert la plus grande valeur N qu'il puisse atteindre, puisqu'il doit diviser N. Donc tous les termes de la progression (33), qui ne vérifient pas la condition (34), sont des racines primitives de v-, et l'indicateur maximum I relatif au module