V- est

(35) I:rrN = v(v-l).

Corollaire Mil. — La formule (35) s'étend au cas même où l'on aurait

et, par suite,

On a donc, en prenant 4 pour module,

Alors aussi l'on obtient une seule racine primitive r intérieure à \,

savoir

Théorème XI L — v^i étant an nombre premier el x une quantité entière qui vérifie F équivalence

.1- ss I (modv),

si l'on représente par n la puissance la plus élevée de v qui divise la différence

OEuvres de C. — S. I, t. M. l8

le, produit nv représentera la puissance la plus élevée de v qui divisera la différence

à rnoi/is que l'on n'ait

Démonstration. — Nommons z le quotient de x — \ par n. On aura

X ^^\ ^- HZ,

Z étant, par hypothèse, premier à v. Or, dans le développement de

^■•'=z: (i + nzy ,

les termes extrêmes seront

I, lî' z\

(^t tous les autres seront évidemment divisihles par le produit «v. D'ailleurs, v étant faeteur de n, le terme

iî'z'>—n.n'^z''

sera lui-même divisible par le produit n^. Done ce produit divisera la

différence

Il y a plus, V étant un facteur de n, ^P- sera un facteur de n' ', à moins que l'on n'ait

(36) «rrrv=2;

et par suite, si la condition (3G) n'est pas remplie, tous les termes qui suivront les deux premiers dans le développement de

seront divisibles ou par /i^v ou au moins par n^P- . On aura donc aloi's

x^' ^\-\- n^)z ( m od /< v- ) .

Donc, z étant premier à v, le produit /iv sera la puissance la plus élevée de V qui divise la différence

Corollaire I. — Si, dans le théorème XII, on remplace successivement X par x' , puis par x'\ . . ., on en conclura que, dans l'hypothèse admise, les puissances les plus élevées de v, propres à diviser les différences

seront respectivement

//v, /<v-, /iv'*, ....

On doit toujours excepter le cas où l'on aurait /^ = v = 2.

Corollaire II. — En remplaçant dans le corollaire précédent x par x' ,

on obtiendra une proposition dont voici l'énoncé : Si, v> i étant un

nombre premier, on représente par n la plus élevée des puissances de v

(jui divisent

alors les puissances les plus élevées de v, qui diviseront les ditlerenccs

seront respectivement

/l'j, /i^j-, nV\ . . . ,

il moins que l'on n'ait n = v = 2.

Corollaire III. — v étant un nombre premier impair, et r une racine primitive de v% la différence

sera divisible une seule fois parv. Donc, en vertu du corollaire II, les puissances les plus élevées de v qui diviseront les différences

seront respectivement

Donc

sera le premier des termes de la suite;

(87) r'-\ /•v(v-i), /-vr/-!)^ ,.v^v-i)^ __

qui seront équivalents à l'unité, suivant le module v\ D'autre part, si l'on nomme i l'indicateur correspondant à la base /■ et au module v\ on aura

/•' = i (modv') et, à plus forte raison,

/■'=i (modv);

d'où il résulte que «devra être un multiple de l'indicateur v — \ correspondant à la base /• et au module v. Donc i, qui devra en outre diviser le produit

représentera l'exposant de r dans le premier des termes de la suite (3;) qui seront équivalents à l'unité suivant le module v^ On aura donc nécessairement

Cette dernière valeur de i étant la plus grande que puisse acquérir un indicateur relatif au module v% nous devons conclure, des observations précédentes, qu'une racine primitive rde v^* sera en même temps une racine primitive de v% et que, dans le cas où le module

se réduit à une puissance d'un nombre premier impair, l'indicateur maximum l est déterminé par la formule

Corollaire IV. — Considérons en particulier le cas où l'on aurait

et supposons en conséquence la différence *

divisible une seule fois par le module 2. La différence

sera composée de deux facteurs x~i, ^-f r, divisibles l'un par 2,

EXTRAIT N" 123. Ul

l'autre par l\. Elle sera donc divisible au moins par le nombre (S, c'està-dire par le cube de 2. Cela posé, nommons n la plus baute puissance de 2 qui divisera x- — i. En vertu du corollaire II, les puissances les plus élevées de 2 qui diviseront les difTérences

seront respectivement

2/i, 'i- II, ....

Donc, si a surpasse 2, le premier terme de la suite

qui deviendra équivalent à l'unité suivant le module 2" sera la valeur de i étant

D'autre part, l'indicateur-correspondant à la base r, et au module 2', devra être un diviseur de

11 se trouvera donc compris dans la suite

et ne pourra être que la valeur précédente de i. Cette même valeur deviendra le plus grande possible lorsque le nombre n se réduira simplement à 8, ce qui arrivera si l'on prend

J? zr: 3 OU X ■=z 5,

puisque l'on a

.v'— r = S et 52— iz=3.8.

Par conséquent,

(40) I=:iN=:2«-^

sera l'indicateur maximum relatif au module

L;i formule (4o) s'étend au cas même où l'on aurait a — 3, et donne alors, comme on devait s'y attendre,

A l'aide des diverses propositions que nous venons de rappeler et (jLii pour la plu})art étaient déjà connues [voir les Recherches arithmétiques de M. Gauss et le Canon arithmelicus de M. Jacobi), il nous sera maintenant facile de résoudre la question suivante :

Problème II. — Trouver r indicateur maximum I correspondant à un module donné n .

Solution. — Pour résoudre ce problème, il faut considérer successivement les divers cas qui peuvent se présenter, suivantque le module // est un nombre premier ou une puissance d'un tel nombre, ou un nombre composé.

Si le module n est un nombre premier v, ou une puissance d'un nombre premier impair, ou l'une des deux premières puissances de 2, alors, en nommant N le nombre des entiers inférieurs à n, et premiers à /^, on aura généralement, d'après ce qui a été dit ci-dessus,

et en particulier, si n se réduit à 2 ou à 4.

Si le module n est une puissance de 2, supérieure à la seconde, on

aura simplement

I = iN = i/i.

Enfin, si le module n est un nombre quelconque, on pourra le décomposer en facteurs

dont cbacun soit un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier. Soient alors

les indicateurs maxima correspondants aux modules

En vertu des théorèmes III et V, une base donnée r sera une racine primitive de n, si cette base, divisée successivement par chacun des nombres n^, n^^, ..., fournit pour restes des racines primitives de ces mêmes nombres, et I sera le plus petit nombre entier divisible à la fois par chacun des indicateurs

La solution du problème précédent fournit, pour la résolution des équivalences du premier degré, une règle très simple, qui se réduit à la règle donnée par M. Libri et par M. Binet, dans le cas particulier où le module est un nombre premier. La nouvelle règle, d'après ce que nous a dit M. Poinsot, coïncide, au moins lorsque le module est pair, avec celle que lui-même avait indiquée dans la Note manuscrite remise à M. Legendrc. Appliquée au cas où l'on prend pour module un nombre composé, elle n'exige pas, comme les méthodes présentées par M. Libri et M. Binet, la décomposition de ce module en facteurs premiers, et ce qu'il y a de remarquable, c'est qu'alors l'application devient d'autant plus facile que le module est un nombre plus composé. Montrons la vérité de cette assertion par quelques exemples.

Pour que toute équation indéterminée à deux inconnues puisse être résolue immédiatement à la seule inspection des coefficients de ces inconnues, dans le cas où l'un des coefficients ne surpasse pas looo, il suffit que l'on construise un Tableau qui, pour tout module renfermé entre les limites i et looo, fournisse l'indicateur correspondant à ce module. Or, à l'aide de ce Tableau, dont la construction est facile [voir\^ solution du problème II), et dont une partie se trouve à la suite de ce ]Mémoire (page i45)» on reconnaît que l'indicateur 2 correspond

aux modules

Donc, pour chacun de ces modules, l'inverse d'un nombre donné est équivalent à ce nombre même.

Ainsi, en particulier, l'inverse du nombre 19 suivant le module 24 est équivalent à 19. En d'autres termes, 19 est une des valeurs entières de .r ({ui vérifient l'équation indéterminée

J.'yr

Effectivement, le carré de 19 ou 36 1, divisé par i\, donne i pour reste.

De ce que l'indicateur 4 correspond aux modules

5, 10, i5, 16, 20, 3o, /jo, 48, Go, 80, 120, 2^0,

il résulte immédiatement que, pour chacun de ces modules, l'inverse d'un nombre donné est équivalent au cube de ce même nombre. Ainsi, en particulier, l'inverse du nombre G7 suivant le module 120 est équivalent au cube de 67, par conséquent au produit de 67 par 49» ou à 43. En d'autres termes, 43 est une des valeurs de x qui vérifient l'équation

Effectivement,

De ce que l'indicateur G correspond aux modules

il résulte immédiatement que, pour chacun de ces modules, l'inverse d'un nombre donné est équivalent à la cinquième puissance de ce nombre. Ainsi, en particulier, l'inverse du nombre 17 sera équivalent,

suivant le module 5()4, à

par conséquent à 89. En d'autres termes, 89 est une valeur de x propre à vérifier l'équation indéterminée

Effectivement,

Comme, dans la méthode ci-dessus exposée, la valeur de x est lou-

Uo

jours exprimée par une puissance connue du nombre donné, le calcul pourra s'exécuter commodément, à l'aide des Tables de logarithmes, même quand l'indicateur sera composé de plusieurs chiffres.

Tableau pour la détermiaaUon de Vindicalcur maximum I correspondant

à un module donné n.

Go

iG

iG

iG

lO

iG

iG

'iO

iG :

Go

Supposons, pour fixer les idées, que, le nombre donné étant 29, on demande un autre nombre équivalent à l'inverse du premier, suivant le module k)?.. L'indicateur étant alors égal à 16, le nombre cherché

sera

D'ailleurs les sept premiers chiffres de la valeur approchée de 29% déterminés à l'aide des Tables de logarithmes, sont ceux que présente le

jiombre

OKuvres f/e C. — S. I, t. VI. IQ

attendu que l'on a

5 log29 = 7,3119900.

De plus, le dernier chiffre de 29% comme celui de 9% sera nécessairement 9. On aura donc par suite

29* = 2o5i 1 1 49 ïs 178 ^ — 19 (modi92), 29'5hh — 19' (modi92);

puis, en se servant de nouveau des Tables de logarithmes,

29'-^ee:h — 68.59 = — 189 = 53 (mod 192).

Donc, 29'' et >3 seront deux valeurs de x propres à vérifier la formule

Effectivement,

Nous exposerons dans un autre Article la méthode par laquelle on peut trouver facilement les valeurs entières, nulles ou positives, de plusieurs inconnues liées entre elles par des équations indéterminées du premier degré.

Analyse mathématique. — Rapport sur un Mémoire de M. Broch, relatif à une certaine classe d'intégrales.