C. R., t. XII, p. 871 (17 mai

Les géomètres n'ont pas seulement accueilli avec bienveillance le nouveau calcul auquel j'ai donné le nom de calcul des résidus; ils ont fait plus encore : ils ont ajouté de nouvelles applications de ce calcul à celles que j'avais présentées moi-même, soit dans les Exercices de Mathématiques, soit dans un Mémoire publié en février 1827; et ces diverses applications ont constaté de plus en plus l'utilité du calcul dont il s'agit. Parmi les travaux relatifs à cet objet, on peut citer ceux de MM. Ostrogradski et Bouniakowski, de l'Académie de Saint-Péters-

bourg, et ceux de M. Tortolini, professeur au Collège Romain, qui, dans un Traité sur le calcul des résidus, a exposé, entre autres résultats dignes de remarque, l'application du nouveau calcul à l'intégration des équations aux différences finies. On peut citer encore un Mémoire où M. Riclielot a démontré diverses propriétés des transcendantes elliptiques, ou même des transcendantes représentées par certaines intégrales dont les dérivées renferment des radicaux de degré quelconque, et où l'auteur, employant avec succès les notations du calcul des résidus, a établi des formules propres à fournir la solution de quelques problèmes analogues aux questions précédemment traitées par Abel et par M. Jacobi. Toutefois ce que les géomètres apprendront sans doute avec quelque intérêt, c'est que les formules si simples, si élégantes, données par M. Richelot, sont elles-mêmes comprises, comme cas particulier, dans des formules générales qui paraissent devoir puissamment contribuer aux progrès de l'Analyse. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

J'ai donné, dans les Exercices de Mathématiques, une formule qui convertit une fonction rationnelle quelconque d'une variable x, et même, sous certaine condition, une fonction transcendante en une somme formée par l'addition d'un résidu intégral et d'un résidu partiel relatif à une valeur nulle de la variable auxiliaire. Or le second membre de cette formule peut s'intégrer par logarithmes, et cette intégration fournit immédiatement la valeur générale de toute intégrale dont la dérivée est une fonction rationnelle ou une fonction transcendante pour laquelle se vérifie la condition indiquée. Elle fournit, par suite, l'intégrale de toute fonction différentielle qui peut être rendue rationnelle à l'aide d'une substitution quelconque, par exemple, les intégrales dont les dérivées renferment un trinôme du second degré sous un radical du second degré, ou deux binômes linéaires sous deux radicaux du second degré.

Au reste, la formule générale d'intégration, qui s'obtient comme on vient de le dire, n'est elle-même qu'un cas particulier d'autres formules beaucoup plus générales encore, qui servent à déterminer une

EXTRAIT N" J25. %^if0RN1'. > 1^1 multitude d'intégrales définies ou indéfinies, ou à les transformer les unes dans les autres, ou à établir entre elles certaines relations. Les beaux théorèmes d'Abel, relatifs à la théorie des transcendantes elliptiques et des transcendantes dont les dérivées renferment des racines d'équations algébriques, ne sont eux-mêmes que des cas particuliers des théorèmes généraux auxquels je suis parvenu. Pour donner une idée de ces derniers, considérons une intégrale relative à la variable r. Si l'on établit entre cette variable x et une autre variable / une relation exprimée par une équation algébrique ou transcendante, on pourra transformer l'intégrale relative à .x en une intégrale relative à t et considérer, en conséquence, l'intégrale donnée, non plus comme une fonction de x, mais comme une fonction de /. Or la fonction de t dont il s'agit pourra prendre diverses formes si l'équation algébrique ou transcendante, étant résolue par rapport à ^, fournit diverses valeurs de x. Alors, en adoptant successivement ces diverses valeurs de x, et supposant l'intégrale relative à / prise, dans tous les cas, entre les mêmes limites, on verra cette intégrale acquérir successivement diverses valeurs dont la somme s aura pour dérivée un résidu intégral relatif à la variable x, considérée comme racine de l'équation algébrique ou transcendante. D'ailleurs, il suffira d'appliquer à ce résidu intégral l'opération qui, dans le calcul des résidus, est analogue à l'intégration par parties, pour que la somme s se décompose immédiatement en deux termes dont les valeurs pourront se calculer facilement, dans un grand nombre de cas, et s'exprimer, soit à l'aide de fonctions algébriques ou logarithmiques, soit même à l'aide de fonctions transcendantes. De ces deux termes, l'un aura pour dérivée un résidu intégral relatif à toutes les valeurs de x qui pourront rendre infinie la fonction placée après le signe f . Par conséquent, ce résidu intégral se réduira souvent à zéro ou à une constante, ou du moins à un résidu partiel relatif à une valeur nulle de la variable auxiliaire. Quant à la dérivée de l'autre terme, elle sera représentée par un résidu intégral relatif," non plus aux racines de l'équation algébrique ou transcendante, mais aux valeurs de x qui rendront infinie la dérivée du premier membre de cette équation, ou

la fonction placée sous le signe /, dans l'intégrale donnée relative à la variable x.

Lorsque l'équation donnée entre ^ et ^ a pour premier membre une fonction rationnelle et entière de ces variables, lorsque, d'ailleurs, la fonction placée sous le signe / dans l'intégrale relative à x est algébrique, la décomposition de la somme s en deux parties et la détermination de chacune d'elles peuvent se déduire des propriétés des fractions rationnelles, jointes aux formules qui servent à calculer les fonctions symétriques des racines d'une équation. Alors la méthode ci-dessus indiquée se réduit, comme on devait s'y attendre, à celle qu'Abel a employée, par conséquent à celle qu'ont suivie, à l'exemple d'Abel, M. Broch, 31. Richelot et d'autres auteurs, soit dans le Journal de M. Crelle, soit dans un Mémoire récemment approuvé par l'Académie. Mais les formules générales auxquelles je parviens ne supposent point que les fonctions dont il s'agit ici restent rationnelles ou algébriques. Elles sont applicables, sous les conditions indiquées par le calcul des résidus, au cas où ces fonctions deviennent transcendantes; et elles fournissent alors la valeur de la somme s, ou développée en série, ou même très souvent exprimée sous forme finie.

Au reste, il était naturel de rechercher si des formules analogues à celles que présente la théorie des fonctions elliptiques ne s'appliqueraient pas à d'autres espèces de fonctions. C'est après la lecture du Mémoire de .M. Broch que la pensée d'appliquer à cette recherche le calcul des résidus m'est venue à l'esprit, comme je l'ai dit à cet auteur au moment où il me disait lui-même qu'il se proposait de montrer comment on pouvait appliquer les méthodes employées par lui, et surtout, je c]'ois, la méthode exposée dans la seconde Partie de son Mémoire, à la réduction des intégrales qui renferment des exponentielles et spécialement à la réduction des intégrales eulériennes. Dans de semblables recherches, le calcul des résidus est très utile. En effet, les principes de ce calcul, tels que je les ai posés dans les Exercices de Mathématiques, montrent clairement l'origine et la nature des diverses modifications que les formules doivent subir suivant la nature des

EXTKAIT N" 125. 153

tondions sur lesquelles on opère, et ils font connaître aussi les conditions sous lesquelles subsiste chaque formule. J'ajouterai encore que, dans le cas où la somme ci-dessus désignée par 5, et composée d'intéi^rales relatives h /, se réduit à la somme de quelques-unes de ces intégrales, le calcul des résidus fournit le moyen, sinon de la déterminer, au moins de la transformer. J'ajouterai enfin que des formules, déduites du même calcul, s'appliquent à la détermination d'intégrales dont les dérivées renfermeraient une ou plusieurs fonctions implicites de la variable principale.

Je me bornerai aujourd'hui à joindre à cette exposition quelquesunes des formules générales que j'ai annoncées. Dans d'autres articles, je développerai ces mêmes formules et je présenterai une partie de leurs nombreuses applications.

Analyse.

Soit {\x) une fonction de la variable x. Si le résidu partiel de

relatif à une valeur nulle de z, se réduit à une constante déterminée, on aura

et, par suite, en nommant E une valeur particulière de x.

(I) C"'f(.^0^^ = i((f(^)))«fzr7 + £

L'équation (1) fournit immédiatement les intégrales des fonctions rationnelles, et même des fonctions transcendantes pour lesquelles se vérifie la condition indiquée. Elle fournit, par suite, les intégrales des fonctions ditférentielles qui peuvent être rendues rationnelles à l'aide d'une substitution quelconque.

Œinrcs de C— S. I, t. M. 20

Concevons maintenant que l'on transforme l'intégrale

f(x) djc

en substituant à la variable x une autre variable /, liée à a; par une équation algébrique ou transcendante

(2) Fix,t) = o;

et nommons t, l deux valeurs particulières correspondantes de / et (le œ. Si l'on pose, pour abréger,

D^F(j:, 0 = <^(^, 0, D,F(^,0 = ^(.^, 0, on trouvera

dx — — -^, [ dt

et, par suite,

(3) rf(.)..^^'r,.)^

dt.

pourvu que, dans le second membre de la formule (3), on considère acomme une fonction de t déterminée par l'équation (2), et que chacune des deux variables x, t demeure fonction continue de l'autre, entre les limites de l'intégration. D'ailleurs cette dernière condition sera remplie, si la variable x est toujours croissante ou toujours décroissante, tandis que la variable t croît sans cesse à partir de / = t.

De même, en désignant par f(^, t) une fonction des deux variables r, /, on établira la formule

/ devant être considéré comme fonction de x dans le premier membre, et X comme fonction de t dans le second.

Concevons maintenant que l'équation (i), résolue par rapport à a-, fournisse diverses racines

représentées par diverses fonctions de /, qui se réduisent aux quantités

i, = Ct, C — Ci,

dans le cas particulier où l'on suppose 1 = 1. Aux diverses valeurs de X considéré comme fonction de /, et de ^ considéré comme fonction de T, correspondront diverses valeurs de l'intégrale

/ {{x,t)dt.

et, en nommant s la somme de ces valeurs, c'est-à-dire en posant, pour abréger,

{{x,t)dt+ l {{x,t)dt+. . .,

on tirera de l'équation (4)

le sii<ne / du calcul des résidus étant relatif à la variable œ. D'autre part, on aura généralement

p ^\jc,t)(ix,t) ^ j. //W{x,t){{.r,t)\\ __ p {{W{jr,t){{œ,t))) <^' {{¥{œ,t))) <^\\ V{x,t) )) ^ ¥{x,t)

On trouvera donc encore

Si, dans la somme s, on fait entrer seulement les intégrales correspondantes à celles des racines

"^15 '^ii ' • '

(jui vérifient certaines conditions, par exemple à celles dans lesquelles les parties réelles et les coefficients de \J— i offrent des valeurs comprises entre certaines limites, on devra, dans le second membre de la formule (6), étendre la sommation, que suppose en général l'opération i indiquée par le signe ^, aux seules valeurs de x qui vérifieront ces mêmes conditions. D'ailleurs, les limites

de l'intégration relative à la variable t devront toujours être telles que, entre ces limites, cbacune des valeurs de œ reste fonction continue de t, t lui-même étant fonction continue de a;; et il en sera toujours ainsi dès que les deux limites t, / de l'intégration relative à t se trouveront suffisamment rapprocbées l'une de l'autre, la première étant clioisie arbitrairement.

On peut, à l'aide de divers tbéorèmes établis dans les Exercices de Mathématiques, faire subir diverses transformations au second membre de la formule (G). Ainsi, en particulier, le résidu intégral que renferme le dernier terme de ce second membre peut toujours être transformé en intégrales définies.

Ainsi encore, lorsque le résidu partiel de la fonction

relatif à une valeur nulle de z, se réduit à une constante déterminée, on a

et, par suite, la formule (6) donne

EXTRAIT iV 125. 157

le signe ^ étant relatif, dans chaque terme, à la variable auxiliaire z. Si la fonction

ne devient jamais infinie qu'avec ., > la formule (7) donnera simplement

Si i\x,t) se réduit à une fonction î{x) de la seule variable .r, les formules (5) et (8) entraîneront la suivante :

1 J \{.r)dr-^ ^ 'f(^)

dx 4- . . .

Il suffirait, d'ailleurs, de prendre

pour réduire la formule (9) à l'équation (i). Si l'on pose

les lettres caractéristiques f et / indiquant des fonctions de formes diverses, l'équation (8) donnera

(.0) .s=iiiaz)))£ 'l^fii)dt-i

On peut faire des formules (G), (7), (8), (9), (10), comme nous le montrerons dans de prochains articles, de nombreuses et importantes applications. Un cas digne de remarque est celui où l'on a

.ri — 1^2, -^2 — Ça»

Observons aussi que, dans le cas où l'équation

admet une infinité de racines, la formule (8) ou (lo) sert à développer la somme s en série. Pareillement, lorsque l'équation

admet une infinité de racines, la formule (i) ou (9) sert à développer

en série l'intégrale

ou la somme s. Ainsi, par exemple, si l'on pose

alors, en vertu d'un théorème établi dans les Exercices de Mathématiques (vol. I, p. I 12) ('), on verra, dans la formule (i), disparaître le dernier terme du second membre; on trouvera donc

col.r dx =^'L\ — V ,

la sommation que le signe ]^ indique s'étendant à toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives de n; et, comme on aura d'ailleurs

/ Q.oixdx^=^\

sm.r

on se verra immédiatement ramené à la formule connue