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(1) Œuvres de Cnuchr, S. II, t. VI, p. \\^^.

Analyse mathématique. — Sur la détermination et la réduction des intégrales dont les dérivées renferment une ou plusieurs fonctions implicites d'une même variable .

G. R., t. XII, p. ro29 (7 juin 1841).

Les formules générales que j'ai données, dans le Compte rendu de la séance du 17 mai, pour la détermination et la transformation des intégrales définies ou indéfinies, peuvent être facilement étendues, comme je l'ai dit, au cas où les dérivées des intégrales renferment une ou plusieurs fonctions implicites de la variable x à laquelle l'intégration se rapporte. L'extension dont il s'agit est l'objet du nouveau Mémoire que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui à l'Académie.

Je considère d'abord le cas ijénéral où la variable x est liée à d'autres

variables

par des équations algébriques ou transcendantes, en vertu desquelles les variables y, z, ..., t deviennent des fonctions implicites de x. Si ces mêmes équations permettent d'exprimer en fonctions continues

des seules variables x, t chacune des variables y, z les principes

établis dans le précédent Mémoire fourniront le moyen de déterminer ou de transformer une intégrale dont la dérivée serait fonction continue de toutes les variables, ou du moins la somme s des valeurs de cette intégrale qui correspondront aux diverses valeurs de la variable x considérée comme fonction de/. On doit surtout remarquer le cas où une seule des équations données renferme la variable t, et où les autres équations renferment seulement les variables j, z, ... considérées comme fonctions implicites de x. Dans ce cas, et sous les conditions indiquées par le calcul des résidus, la somme s s'obtient en termes finis, et se trouve exprimée par des fonctions algébriques et

logarithmiques de t. La formule qui la détermine comprend elle-même, comme cas particuliers, les belles formules d'Euler, de Lagrangc et d'Abel, relatives aux transcendantes elliptiques et aux intégrales dont les dérivées renferment les racines d'une équation algébrique, par exemple, la formule à laquelle Abel est parvenu dans le Mémoire couronné par l'Académie. Pour tirer ces diverses formules de celle que j'ai obtenue, il suffit de réduire les équations données à des équations algébriques, et les diverses fonctions implicites à une seule, par exemple, à un seul radical du second degré ou d'un degré plus élevé. Mais il importe d'observer que je détermine la somme s, lors môme que les équations données deviennent transcendantes, et lorsque la dérivée de l'intégrale que l'on considère renferme plusieurs fonctions implicites de la variable x, par exemple, plusieurs radicaux de mémo degré ou de degrés inégaux.

^ L ^ — Considératioiu générales.

Supposons la variable ^ liée à d'autres variables

par les équations algébriques ou transcendantes

dont le nombre est égal au nombre de ces autres variables. On pourra

considérer les variables y, z t comme des fonctions implicites

de x\ et, après avoir substitué leurs valeurs tirées des équations (i) dans une fonction

de toutes les variables, on pourra chercher la valeur de l'intégrale

(■î) cX = / f(^, j, c, ...,l)dx,

^ désignant une valeur particulière de la variable x.

Supposons maintenant qu'en vertu des équations (i) on puisse

exprimer, en fonctions continues des deux variables ûo, /, les autres variables

et que l'élimination de ces dernières variables entre les équations (i) produise l'équation résultante

Si, dans l'intégrale (2), on substitue à la variable principale x la variable /, liée à oc par l'équation (3), et si l'on fait, pour abréger,

on trouvera

(4) I '^'— X'IIIt]^'^'^'^'-"'---'')^''

t désignant une valeur particulière de /, à laquelle est censée correspondre la valeur particulière H de la variable a?. D'ailleurs, les limites t, t devront être suffisamment rapprochées pour que t reste fonction continue de X, et X de t, entre les limites de l'intégration.

Concevons maintenant que l'équation (3), résolue par rapport à x, fournisse plusieurs racines, c'est-à-dire plusieurs valeurs

de la variable x considérée comme fonction de t. Nommons

/n J25 J3» •••; -1' -2» -3> •••; ••• les valeurs correspondantes de la variable y, de la variable z, ... ; et

=-XI{t^f''--^---"--'""

la somme des valeurs correspondantes de l'intégrale ac. On pourra présenter la valeur de s sous la forme

OEwres de C. — S. I, t. VI. ^ I

ou, ce qui revient au même, sous la forme

r' p {{W{jc,t){{œ,y,z,...,t))) 1 ^ F(.r,0

La formule (6) comprend, comme cas particulier, une formule analogue, que j'ai donnée dans le Compte rendu de la séance du 17 mai, et s'applique pareillement à la détermination ou à la transformation d'une multitude d'intégrales définies ou indéfinies. Entre les applications que l'on en peut faire, on doit remarquer celles qui se rapportent au cas oii, parmi les équations ([), une seule, savoir,

renferme la variable /, les autres

servant à déterminer y, z, . . . en fonction de x\ Si, dans ce même cas,

on suppose la fonction

indépendante de /, les équations (2) et (G) se réduiront à (7) ^>^'--= f i\a:,r,z,...)da;

et, si d'ailleurs le rapport

ne devient infini que pour des valeurs nulles de F(.z', /), on aura r (('F(.r,or(.r,j, c, ■■■,0)) p W{x,t)

cil sorte que la formule (8) donnera

Ajoutons que le facteur

pourra être considéré comme une fonction de la seule variable x,

dont les variables

seront elles-mêmes, par hypothèse, des fonctions continues, du moins entre los limites des intégrations; et que, si l'on pose en conséquence

H^,J,~; • • •) =CT(.r),

on aura, sous les conditions indiquées par le calcul des résidus,

Cela posé, la formule (9) donnera simplement

(10) s=il{{Tnia:)))l

La formule (10) comprend, comme cas particuliers, les beaux théorèmes d'Euler et d'Abel sur les intégrales dont les dérivées renferment des radicaux du second degré ou, plus généralement, des racines d'équations algébriques. Nous pourrions appliquer immédiatement la formule (10) à divers exemples. Mais les applications deviendront plus faciles quand le second membre sera présenté sous une autre forme que nous donnerons dans le paragraphe suivant.

§ II. — Méthode abrégée pour la sommation des valeurs d'une intégrale dont la dérivée renferme plusieurs fondions implicites de la variable x.

Soit f(^) une fonction donnée de la variable x. Si à cette variable x on substitue une autre variable t liée à x par l'équation

alors, en nommant ^[x,t\ ^Y[x,t) les deux dérivées partielles de la fonction F(^, /) relatives aux deux variables x, t, et

deux valeurs particulières correspondantes de ces mêmes variables, on aura

Si, d'ailleurs, on représente par

les diverses racines de l'équation (i), c'est-à-dire, les diverses valeurs de la variable x, considérée comme fonction de t en vertu de cette même équation, et si l'on pose, pour abréger,

= j ï{x)dx-^ f- i{x)dx+...^\ C {{x)dx.

E,, t,, ... étant les valeurs de x^, x^, ... qui correspondent à / = t, on aura

puis, en supposant que le rapport

ne devienne infini qu'avec

on tirera de la formule (4)

(^) .=i((r(.)))X'ïl£^..-/'£((r(.,|||ij)).,

OU, ce qui revient au même,

On ne doit pas oublier que, dans la formule (G), la sommation indiquée par le signe ^ s'étend aux diverses valeurs de x qui vérifient l'équation (i).

Pour que la formule (6) subsiste, il n'est pas nécessaire que la dérivée de l'intégrale

/ {{x)dx,

représentée par f(.r), soit une fonction explicite de la variable x; et l'on pourrait, dans la formule dont il s'agit, remplacer ï(x) par une

fonction continue

de la variable x et d'autres variables j, z, ... qui seraient elles-mêmes des fonctions de x déterminées par certaines équations.

Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que, dans la formule (6), on remplace ï{x) par ï{x,y), y étant une fonction de x, liée à X par une certaine équation

dont le premier membre renferme .r et j. Supposons, d'ailleurs, qu'à l'équation (7) on joigne une autre équation de la forme

dont le premier membre soit fonction de j et de la nouvelle variable /. Si l'on nomme

les diverses racines de l'équation (7) résolue par rapport à y, c'està-diie, les diverses fonctions de ac que cette équation donne pour valeurs de j, on pourra, dans la formule (6), remplacer successivement le facteur

par chacune des fonctions

pourvu que l'on y remplace en même temps par l'une des fonctions

On trouvera, par exemple.

j^X^,.,.,,o..=i((f(..,-.))):[:5gf;;^]