C. H., T. XIII, p. 188(26 juillet

Les intégrales que j'ai données, dans la dernière séance, pour les systèmes d'équations aux différences partielles, sont éminemment

propres à faire connaître les diverses circonstances des mouvements que ces équations peuvent représenter dans un problème de Physique ou de Mécanique. Je montrerai, dans une suite de Mémoires, comment on peut déduire de ces mêmes intégrales les lois d'un grand nombre de phénomènes que j'ai analysés d'une autre manière à diverses époques, et en particulier les lois de la polarisation, de la dispersion, de la diffraction, dans la théorie de la lumière. Je me bornerai aujourd'hui à la détermination générale de la forme des ondes qui se propagent dans l'espace, quand la fonction principale doit vérifier une équation caractéristique homogène. J'avais prouvé, en i83o, que cette fonction principale peut être réduite à une intégrale quadruple. J'ai obtenu, dans la dernière séance, une réduction nouvelle, en supposant la valeur initiale de la fonction principale décomposée en plusieurs parties, dont chacune dépend uniquement de la distance à un centre fixe; et j'ai donné en outre un moyen de trouver directement l'intégrale double à laquelle cette supposition m'a conduit. On verra, dans ce nouveau Mémoire, avec quelle facilité l'intégrale double dont il s'agit fournit d'une part la limite intérieure des ondes telle que je l'avais déterminée en i83o, et d'autre part une limite extérieure du genre de celle ({u'a obtenue dernièrement M. Blanchet.

Analyse.

§ 1. — Limite intérieure des ondes représentées par une équation

caractéristique.

Prenons pour variables indépendantes trois coordonnées rectangulaires X, y, z et le temps /. Soit d'ailleurs

une fonction de ces variables indépendantes, entière, homogène, et du

degré n. Enfin, soient

r =^ sjx^ + y^ -t- z^

la distance du point {x,y, z) à l'origine, et cr une fonction principale

assujettie : i" à vérifier, quel que soit t, l'équation caractéristique

(0 F(D^,D^,D„D,)nTr=o;

2" à vérifier, pour t = o, les conditions

(2) m—o, D.CT^o, ..., Di^-2cT = o, D;'-'cT = n(/-).

On aura, comme nous l'avons prouvé dans la dernière séance,

les valeurs de m, c, (it>, ç étant

(4) . « = cos/?, r — sin/> coS(7, «' = sin/> sin^y,

Donc la valeur générale de D^'"^cTsera

et il est aisé de s'assurer que cette valeur générale remplit, comme cela devait être, la condition de se réduire à Xl{r) pour une valeur nulle de t.

Supposons maintenant que la valeur initiale de D""'©, représentée par n(r), n'ait de valeur sensible que dans le voisinage de l'origine des coordonnées, en sorte qu'elle s'évanouisse constamment quand la valeur numérique de r n'est pas très petite. L'intégrale double qui, en vertu de la formule (6), représente, au bout du temps /, la valeur de D^' 'cr, et même celle qui représentera la valeur de D""-rar, se réduiront évidemment à zéro si les valeurs de x,y, z sont sensiblement différentes de celles qui permettent de vérifier l'équation

(7) ç + co< = o,

ou

(S). WJ? 4- CJ -^ (P'C + W< =: o.

Or cette dernière équation représente un plan dont la position varie dans l'espace avec les valeurs des coefficients m, ç^, w; et la surface, que louche ce plan dans toutes les positions qu'il peut acquérir au bout du temps t, est précisément celle que nous avons nommée surface des ondes. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Si le phénomène qui dépend de la valeur de D""' C7, et paraît ou disparaît avec elle, nest primitivement sensible que dans un espace infiniment petite qui renferme V origine des coordonnées, il ne sera sensible au bout du temps t que dans V intérieur de la surface des ondes.

Si l'espace, dans lequel le même phénomène était primitivement sensible, cessait d'être infiniment petit et se trouvait renfermé dans une certaine enveloppe, alors, pour obtenir la surface dans l'intérieur de laquelle il disparaîtrait au bout du temps t, il suffirait de décomposer la valeur initiale de D""^c7 en parties dont chacune serait uniquement sensible dans l'intérieur d'une sphère infiniment petite, et représentée par une fonction de la distance au centre de la sphère. Cette décomposition pouvant toujours s'effectuer en vertu des formules que j'ai données dans les séances précédentes, on déduira immédiatement du théorème I la proposition suivante :

Théorème II. — Si le phénomène qui dépend de la valeur de D"~' crr, et paraît ou disparaît avec elle, n'est primitivement sensible que dans un volume fini terminé par une certaine enveloppe, pour obtenir la surface dans Vintéiieur de laquelle ce même phénomène disparaîtra, au bout du temps t, il suffira de transporter cette enveloppe dans l'espace, de manière que chacun de ses points décrive une droite égale et parallèle au rayon vecteur OA mené de V origine 0 des coordonnées à un point quelconque A de la surface des ondes qui aurait celte origine pour centre. La surface cherchée sera la moins étendue de celles que limitera de toutes parts l'enveloppe ainsi transportée, dans les diverses positions qu elle pourra prendre , eu égard aux diverses vositions du point A.

§ II. — Limite extérieure des ondes représentées par une équation caractéristique homogène.

Considérons de nouveau la fonction principale cr déterminée par la formule (3) du § I, c'est-à-dire, par l'équation

(i) cT=-^/ / 7~7 ^^-Y, '-^xnpdqdp,

dans laquelle on a

(2) a = CCS/?, v='s,mp(io'&q, w=i%\np%\nq,

(3) q^:. uœ -\- vy -\- wz.

Si l'on pose, pour abréger,

alors, aux diverses valeurs de (o considéré comme racine de l'équation

(5) F(«, (', (V, (o)=o, correspondront autant de valeurs de s qui vérifieront la formule

(6) Y{ut,vt,wt,s— <;) = o, et l'équation (5) pourra s'écrire comme il suit

(7) ^="4^^""X"X''iw'''"^'^^'^^' la valeur de - étant

rS Y {ut, çt, wt, s — i) Comme on aura d'ailleurs généralement

f f{ç,w)dq=z f{— v,-~n')dq,

attendu que ç, w changent de signe avec sin^ et cos^ quand on fait croître ou diminuer l'angle q de la demi-circonférence z, il est clair

que, dans la formule (8), on pourra changer les signes de v, w, et supposer en conséquence

la valeur ç^ étant

(lo) ç^z=zuœ—-vy—wz.

Il y a plus : on pourra substituer dans la formule (7), non seulement l'une quelconque des valeurs de ^ fournies par les équations (8) ou (9), mais aussi la moyenne entre ces deux valeurs, savoir

Or cette dernière valeur de ^ sera une fonction rationnelle de u, v, w qui ne sera point altérée quand on y remplacera v par — c, et w par — w\ et puisque, en vertu des formules (2), on aura

(12) (' = (1 — «^)^ cos^, (P— (i — «^)^ siny,

il est clair que le second membre de la formule (i i), considéré comme fonction de u et de l'angle q, sera une fonction rationnelle de u. On peut même observer que ce second membre, après la réduction des deux fractions qu'il renferme au même dénominateur, sera représenté par une fraction nouvelle dont le dénominateur et le numérateur seront, eu égard aux formules (12), le premier du degré in, et le second du degré in — 2 par rapport à la variable m. 11 suit immédiatement de cette observation que la valeur de ^) déterminée par la formule (11) et les équations (12), vérifiera la condition

Remarquons d'ailleurs que la formule (7) pourra s'écrire comme il suit 04) .-2.i,«-,£Y.iL5(£)..,.„. ■

Soit maintenant r le rayon vecteur mené de l'origine au point A qui a pour coordonnées rectangulaires x,y, z. On aura

Déplus, on pourra considérer les quantités/), q comme représentant deux des coordonnées polaires d'un autre point B situé, à l'unité de distance de l'origine, sur un rayon vecteur qui formerait avec le demiaxe des a? positives l'angle/?, et dans un plan qui, passant parce rayon vecteur, formerait avec le plan des ,r, y l'angle q. Cela posé, nommons 5 l'angle compris entre les rayons vecteurs OA, OB. On trouvera

('•^) ç = /'COSo;

et par suite l'équation (4) donnera

(i6) ' .y= /-cosâ + w^.

Enfin, si l'on nomme o l'angle formé par le rayon vecteur r avec l'axe des X, et </ + 1 l'angle formé par le plan qui renferme cet axe et ce rayon avec le plan des x, y, on aura évidemment

■*.r = /-cos9, y= rsin9cos(7 4-0. - = /• sino sin(<7 + Ov et par suite la formule (3) donnera

ç = /■(C0S9 cos/> 4- siiio cos'- sin/v), puis on conclura de celte dernière, comparée à l'équation (i5), ('7) cosô=:cos9COS/) + sino cos£ sin/^.

Supposons à présent : i« que la fonction II (^) soit toujours nulle, excepté entre les limites

£ désignant un nombre très petit; 2« que l'on attribue à la variable x une valeur positive très considérable. Alors la fonction II(^) s'évanouira toujours quand la valeur numérique de s ne sera pas très petite. D'ailleurs, r étant très grand avec j:-, la valeur de s déterminée par l'équa-

OF.Ufies de C. — S.], i.M. 35

2n COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

tion (i6), et que l'on peut mettre sous la forme

r\ coso H ^ h

ne pourra devenir très petite qu'avec le binôme

COSO

'sit

et par conséquent avec coso, puisque, r étant très grand, '— sera très voisin de zéro. Ainsi, dans l'hypothèse admise, lorsque la valeur de s donnée par l'équation ([6) fournira une valeur de \^{s) différente de zéro, on aura sensiblement

(i8) coso = o,

et, en vertu de la formule (17),

sin p

" (COS-9 4- sin-o cos^O"

attendu que s'mp et coso seront positifs. Il est aisé d'en conclure que cette valeur de s sera généralement croissante avec la variable

// =. cosp.

En effet, on tirera des formules (16) et ([7)

])j,s = /■( — coso s\np -h sino cos-. cos/>) + ^D/,o),

OU à très peu près, eu égard à la formule (19),

l)pS = — r

(cos^o -+- sin-9 cos'O'

et, comme la valeur précédente de D^^ sera évidemment négative pour de très grandes valeurs de /■, si D/,co conserve toujours une valeur finie, il en résulte que la valeur correspondante de

(21) J)„s——s\np\}j,s

sera généralement positive. Cette conclusion subsistant dans le cas

même où ^, w changent de signe, et où ç se trouve remplacé par ç^, on peut affirmer que, pour de très grandes valeurs positives de x, les valeurs de s, pour lesquelles n(^) ne s'évanouira pas, croîtront, dans la formule (i/|), avec la variable //. Donc alors, en substituant à la variables la variables, on aura, en vertu de la formule (8) de la page 2G2,

puis, eu égard à l'équation (i3j,

Ajoutons que l'équation (23) continuera de subsister tant que la valeur de D„* sera positive entre les limites

Donc, si £, comme on le suppose, est sensiblement nul, la fonction principale tn s'évanouira au bout du temps t, tant que la valeur positive de X ne sera pas assez petite pour que l'on ait simultanément

(2.5) - .S'rnO, J)„.V:=0.

La première des équations (20) qui, en vertu des formules (3) et (4), se réduit à

(26) IIX -h Vf -\- it'Z -{- (^t =. o,

est précisément l'équation en a?, r, :;qui représente, au bout du temps /, un plan tangent à la surface des ondes, et perpendiculaire à la droite dont chaque point répond aux deux coordonnées polaires/? et q. Cela posé, l'équation en x, j, z, t, produite par l'élimination de .r entre les formules (23), représentera évidemment, pour une valeur donnée dv l'angle f/, la surface cylindrique circonscrite à la surface des ondes, et dont la génératrice sera parallèle au plan qui, passant par l'axe des j:, formerait l'angle q avec le plan des x, y. Il en résulte <|ue la plus grande des valeurs positives de \r, qui permettront aux for-

mules (25) de subsister simultanément, sera l'abscisse du plan perpendiculaire à l'axe des ce, et qui touchera les diverses surfaces cylindriques de ce genre, correspondantes aux diverses valeurs de l'angle q. En d'autres termes, cette plus grande valeur de x sera l'abscisse du point de la surface des ondes le plus éloigné du plan des j, z, dans le sens des oc positives. D'ailleurs, la surface des ondes, correspondante h une équation caractéristique homogène, présente, comme il est facile de s'en assurer, une forn^e et des dimensions indépendantes des directions attribuées aux axes rectangulaires des ce, y, :■. Donc, relativement à cette surface, le demi-axe des x positives peut avoir une direction quelconque; et ce que nous avons dit suffit pour démontrer que les deux plans qui, étant parallèles à un plan donné arbitrairement, limiteront, au bout du temps t, la surface des ondes de part et d'autre de l'origine, limiteront aussi, à la même époque, l'espace en dehors duquel la fonction principale cr sera constamment nulle. Donc la fonction principale tir s'évanouira toujours en dehors de la plus grande nappe de la surface des ondes, si cette plus grande nappe est une surfiîce convexe. Si le contraire arrive, on pourra du moins aftirmer que la fonction principale cr s'évanouira en dehors de la surface qu'on obtiendrait en conservant les portions saillantes de la surface des ondes, et substituant aux portions rentrantes de cette même surface des portions de surface développables dont chaque génératrice, extérieure à la surface des ondes, la toucherait en deux points différents. Ces conclusions s'accordent avec celles qu'a obtenues M. Blanchet en appliquant le calcul des résidus à la détermination des intégrales triples auxquelles il avait réduit les intégrales quadruples que nous avons citées dans un précédent Mémoire.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la valeur de D^co, tirée de l'équation (5), restait toujours finie. Pour étendre les conclusions que nous avons obtenues au cas où cette condition n'est pas satisfiiite, on pourra recourir à la théorie des intégrales singulières. C'est ce que nous montrerons dans un autre Article, où nous rechercherons aussi ce que devient la fonction principale, quand la nappe

extérieure des ondes n'est pas convexe, entre les portions rentrantes de cette nappe et les portions de surfaces développables dont nous avons parlé.

L'enveloppe de l'espace en dehors duquel s'évanouit, au bout du temps/, une fonction principale, dont la valeur n'était primitivement sensible que dans le voisinage d'un point, est ce qu'on peut nommer la surface extérieure d'une onde primitivement concentrée en ce poinL Cette surface étant connue, on en déduira la surface extérieure d'une onde primitivement renfermée dans un volume fini, h l'aide de la construction géométrique indiquée dans le théorème II du § I.

Calcul des résidus. — Rapport sur un Mémoire de ^\. Oltramare, relatif au calcul des résidus.

G. R., t. XIII, p. 296 (2 août i84i).

L'Académie nous a chargés, M. Sturm et moi, de lui rendre compte d'un Mémoire présenté par M. Oltramare, et qui a pour titre : Recherches sur le calcul des résidus. On sait que les principes de ce nouveau calcul, développés par l'un de nous en 1826, ont été, depuis cette époque, appliqués, non seulement à l'intégration des équations linéaires et à la solution des problèmes de Physique mathématique, mais encore à la détermination des intégrales définies et à diverses questions d'Analyse, soit par l'auteur lui-même, soit par d'autres géomètres, parmi lesquels on doit distinguer MM. Tortolini, Richelot, Ostrogradsky et Bouniakowski. Les recherches de M. Oltramare sont principalement relatives aux propriétés dont jouissent, dans le calcul des résidus, deux fonctions inverses l'une de l'autre, c'est-à-dire deux variables dont chacune est déterminée en fonction de l'autre par une équation algébrique ou même transcendante. Parmi les théorèmes qu'établit M. Oltramare,

nous en citerons d'abord un qui se rapporte au cas oi^i l'équation donnée est algébrique, et qui se trouve énoncé dans les termes suivants :

iSV o{z) est une /onction quelconque de la variable z, uni/orme ou multiforme, donnée par une équation algébrique, et qui, pour des valeurs infinies réelles ou imaginaires de z, conserve une valeur finie, le résidu intégral de la somme des valeurs de cette fonction sera précisément égal au résidu intégral de la somme des valeurs de sa fonction inverse.

M. Oltramare observe avec raison que le théorème s'étend au cas même où l'on remplacerait la fonction inverse de ^^{z) par ce qu'il nomme la fonction inverse de seconde espèce, c'est-à-dire, pour parlei' exactement, par la fonction inverse de la somme des valeurs de o{z).

La démonstration que donne M. Oltramare du théorème énoncé se déduit rigoureusement de la règle établie pour la détermination du résidu intégral d'une fonction, à la page i34 du premier Volume des Exercices de Mathématiques ('). On pourrait même simplifier cette démonstration, comme nous allons le faire voir.

Considérons une équation algébrique entre x et y, dont le premier membre soit une fonction entière du degré m par rapport à x, du degré n par rapport à y et du degré m -\- n par rapport au système des deux variables; ce qui exige que le coefficient du terme proportionnel à x'" et à y" ne s'évanouisse pas. En vertu de la règle que je rappelais tout à l'heure, le résidu intégral de la somme des valeurs de x considéré comme fonction de t et le résidu intégral de la somme des valeurs de / considéré comme fonction de ^, dépendront uniquement l'un et l'autre des coefficients des quatre termes qui renfermeront les puissances .r'" ou x'"~^ de^, ety"ou j"~' dey. Donc, quels que soient les nombres m et /?, ces résidus conserveront les valeurs qu'ils prendraient si les coefficients de ces quatre termes subsistaient seuls, tous les autres coefficients étant nuls; ce qui permettrait de réduire l'équation donnée à une équation du premier degré en x et y, ou de la forme

XxY + \ix + C/ + D = o.

(') OEuvres de Cauchr, S. II, T. VI, p. 169.

Mais alors chacun des deux résidus dont il s'agit se réduirait au rapport

BC— vn

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Deux variables x, y étant déterminées, l'une en fonction de l'autre, par une équation algébrique, dans laquelle un même terme renferme à la fois la puissance la plus élevée de x et la puissance la plus élevée de y, le résidu intégral de la somme des valeurs de x, et le résidu intégral de la somme des valeurs de y, seront égaux entre eux, et dépendront des coefficients des quatre termes qui renfermeront la puissance x'" ou x""-' de x avec la puissance y" ou y"-' de y. Ils resteront donc invariables, si, sans altérer ces quatre coefficients, on fait varier tous les autres ou même les nombres entiers m et n.

Les théorèmes démontrés par M. OItramare, pour les fonctions qui représentent des racines d'équations algéhriques, ne peuvent pas être étendus sans restriction aux diverses fonctions transcendantes. i\ussi l'auteur s'est-il horné à les établir pour certaines fonctions de cette espëcç. D'ailleurs, dans les derniers paragraphes de son Mémoire, il a déduit, des formules rappelées ou établies dans les premiers, des sommations et des transformations de séries qui paraissent dignes de remarque, et propres à intéresser les géomètres.

En résumé, les Commissaires pensent que le Mémoire de M. OItramare est digne d'être approuvé par l'Académie et inséré, avec une réduction à laquelle l'auteur a consenti, dans le Recueil des Savants étrangers.

Nota. — Pour obtenir le résidu de x considéré comme fonction de y, et le résidu de /considéré comme fonction der, quand les variables a-, y sont liées entre elles par l'équation

(0 A j^j 4- B J7 + Cj- + 1) = o,

il suffît d'observer que ces résidus ne varieront pas si l'on remplace

■jc par X -{- Cf., y par y -+- 6,

en choisissant a, ^ de manière à faire disparaître les termes du premier degré. Mais alors l'équation deviendra

la valeur de D'étant D — ^- Donc, par suite, chacun des deux résidus