C. R., T. XIII, p. i8.} (26 juillet iSjij

Ce Mémoire, qui sera inséré en entier dans les Exe/vices d'Analyse et de Physique mathématique {*), est relatif à deux surfaces qui jouenf un grand rôle dans les questions de Pbysique ou de Mécanique dont la solution dépend d'un système d'équations linéaires aux dérivées parlielles et à coefficients constants.

(') OJÙH'res de Caiichr, S. II, T. XII.

La première surface, que je nomme la surface caractéristique, est celle qui se trouve représentée par l'équation caractéristique elle-même, quand on y remplace les dérivées partielles des divers ordres, relatives aux variables indépendantes x, y, z, t, par les puissances des divers ordres de ces mêmes variables considérées comme représentant trois coordonnées rectangulaires et le temps.

La seconde surface est celle que l'on nomme la surface des oncles, et qui, dans un mouvement simple, persistant, où les durées des vibrations moléculaires demeurent constantes, touche, au bout d'un temps quelconque/, des ondes planes, infiniment minces, diversement inclinées sur trois plans rectangulaires, mais parties au premier instant d'un même centre pris pour origine des coordonnées.

Je donne, dans le paragraphe premier de ce Mémoire, les moyens d'obtenir généralement l'équation de la surface des ondes.

.le montre dans le second paragraphe les relations dignes de remarque qui existent entre la surface caractéristique et la surface des ondes, et j'établis en particulier les propositions suivantes (*).

TintOKÈME L — Si la surface des ondes correspondante à une équation homogène se change en surface caractéristique, réciproquement la surface caractéristique se changera en surface des ondes.

11 résulte immédiatement de ce théorème que, l'équation de la surface des ondes étant donnée, on peut en déduire l'équation caractéristique, moyennant une élimination semblable à celle par laquelle on passe de la seconde équation à la première.

Théorème II. — Lorsque l'équation caractéristique est homogène, les rayons X, r, menés de F origine, au bout du temps t, à deux points correspondants de la surface caractéristique et de la surface des ondes, jouissent de cette propriété, que chacun d'eux, multiplié par la projection de l'autre sur lui-même, fournit un produit constant égal au carré de t.

(») Les théorèmes que nous énonçons ici se déduisent assez facilement de formules déjà connues, et spécialement de celles que j'ai données dans le Bulletin de M. de Férussac (avril i83o). Cette remarque, à ce qu'il paraît, avait déjà été faite par quelques persomies, et en particulier par M. Blanchet; mais elle ne se trouve énoncée nulle part.

11 résulte de ce théorème que les quatre points qui représentent les extrémités des deux rayons vecteurs et les projections de l'extrémité de l'un sur l'autre se trouvent placés sur une même circonférence de cercle.

Théorème III. — Étant donné un système cV équations aux dérivées partielles qui conduit à une équation caractéristique homogène, pour déduire la surface des ondes de la surface caractéristique, ou réciproquement, il suffit de porter, sur chaque rayon vecteur mené de l'origine à l'une des deux surfaces, une longueur représentée par le rapport entre le carré du temps et ce même rayon vecteur; puis de faire passer par l'extrémité de cette longueur un plan perpendiculaire à ce rayon. Vautre surface sera celle que le plan dont ils agit touchera constamment dans les diverses positums qu il peut acquérir.

Je joins ici quelques-unes des formules établies dans les deux paragraphes du Mémoire.

Analyse.

§ I. — Considérations générales.

Soit

(0 . F(D,,D3., IK, D,)nT=:o

l'équation caractéristique donnée, x, y, z, t désignant trois coordonnées rectangulaires et le temps. L'équation de la surface caractéristique

sera

et, pour obtenir l'équation de la surface des ondes, il suffira d'éliminer

a, (', iv

entre les formules

UJ:-\- Vf -+- UZ -h St=: o,

la valeur de S étant

OEiivres de C. — S. I. t. VI. 3^

et les rapports

étant supposés réels, dans le cas même où u, v, Wy s deviennent imaginaires. Lorsque la fonction Y{x,y,z,t) n'est pas homogène, s reste dans l'équation de la surface des ondes, et les dimensions de cette surface varient généralement avec s.

Lorsque la fonction Y[x,y,z, t) devient homogène, s se trouve éliminée avec u, V, w, et disparaît de l'équation de la surface des ondes. On peut donc alors donner à s une valeur arbitraire, et, en posant

on peut remplacer a, v, w par les coordonnées d'un point situé sur la surface caractéristique. Si l'on nomme

ces coordonnées, afin de les distinguer dos coordonnées x, y, z d'un point situé sur la surface des ondes, on verra les équations (3), (4), (5) se réduire à

. . ] x^ 4-yy 4-z^ + ^- =0,

\ ïïTs ~ dTs "^ dTs'

la valeur de S étant

§ IL — Rapports qui existent entre la surface caractéristique et la surface des ondes, dans le cas oii l'équation caractéristique devient homogène.

Soient, dans le cas que l'on considère,

(0 • S = o et è = o

les équations de la surface caractéristique et de la surface des ondes;

alors

S = F(x,y, z, 0 et S = ^{oc,y,z,t)

EXTRAIT N° 137. ^94^,^^^^,^^ 807 seront deux fonctions homogènes de t et des coordonnées X, y, z, ou X, y, z.

Alors aussi les coordonnées, relatives à deux points correspondants des deux surfaces, seront liées entre elles par les équations

(2) x^ H-yj + z^ = ^-,

DxS ~ DyS ~

D^S " Dy^

" \iz^

Soient maintenant ï, ries rayons vecteurs menés de l'origine aux points (x, y, z) et [oc, y, z) des deux surfaces, et <5 l'angle aigu compris entre ces rayons vecteurs. L'équation (2) donnera

(4) ri-coso = <^,

et, en vertu des formules (3), le plan tangent mené à l'une des surfaces par l'extrémité de l'un de ces rayons vecteurs sera perpendiculaire à l'autre rayon.

Ces remarques entraînent les théorèmes précédemment énoncés.

Ajoutons que, si l'on considère t comme une fonction de x, y, z déterminée par l'équation S = o, ou

F(x,y, z, 0 = 0, cette fonction vérifiera l'équation aux différences partielles

.'^(D,,^, Dy/,Dz^ — i) = 0.

Physique mathématique. — Mémoire sur remploi des fonctions principales, représentées par des intégrales définies doubles, dans la recherche de la fi)rme des ondes sonores, lumineuses, etc.