C. R., t. XIII, p. 3i9 (9 août i
En partant des formules que j'ai données dans la séance du 26 juillet, et en ayant recours à un artifice de calcul que j'ai indiqué dans les préliminaires des applications du Calcul infinitésimal à la Géométrie, on passe très facilement de l'équation que Fresnel a obtenue pour représenter, dans les cristaux à deux axes optiques, la surface des ondes lumineuses, à l'équation caractéristique correspondante, et réciproquement. Je joins ici ce calcul, qui peut intéresser à la fois les physiciens et les géomètres.
Sous certaines conditions que j'ai données dans un Mémoire présenté à l'Académie le 20 mai 1889, et qui paraissent remplies lorsque l'éther se propage dans un cristal à deux axes optiques, la détermination des mouvements infiniment petits des molécules éthérées se ramène à l'intégration d'une équation caractéristique qui, lorsqu'on néglige la dispersion, se réduit sensiblement à la suivante
D;*cj - [(b + c) Dl H- (G + a) D^. + (a + b) D|] D?ct
-+- (bc D^ + ca T)] 4- ab D!) (D^ ^ D^^. -+- D|)gj = o,
CT désignant la fonction principale, x, y, z trois coordonnées rectangulaires, t le temps, et a, b, c des constantes positives. Donc alors la
surface caractéristique est représentée par l'équation
r'— [(b + c)\2+(c + a)y^^-(a^-b)z2]^- ^- [bcx- + cay- + abz-] (x- -h y- -r z-) = o,
ou, ce qui revient au même, par la suivante
X, y, z désignant les coordonnées rectangulaires d'un point de cette surface, et le rayon vecteurt, mené de l'origine au point (x, y, z), étant lui-même déterminé par la formule
Désignons maintenant par S le premier membre de l'équation (i). Pour passer du point (x, y, z) de la surface caractéristique au point correspondant (x',/, :^) de la surface des ondes lumineuses, il suffira {voirhx page 267) d'éliminer x, y, z entre les formules
(2) ^x + jy + ^z + /;2=o
et
D^S DyS D,S
Or, si l'on pose, pour abréger,
la formule (3) deviendra
xfe+T^^:-^) yfe+.-r-V-,) M®
Si, dans cette dernière, on combine par voie d'addition les termes correspondants des trois rapports, après avoir multiplié respectivement
EXTRAIT N^ HO. |^UNIVEKsitS ^^ ces termes par les facteurs xi;^4^fF0P^'^^
ax by cz
alors, en ayant égard à l'équation (r) présentée sous la forme ax^ by^ cz-
on obtiendra un nouveau rapport dont le dénominateur sera nul; et comme ce nouveau rapport devra être équivalent aux trois premiers, son numérateur devra encore s'évanouir. On trouvera ainsi
Hùcx byy czx
OU, ce qui revient au même.
Si, en revenant à la formule (5), on y combine, par voie d'addition, les termes des trois rapports qu'elle contient, après avoir respectivement multiplié ces termes : i" par les facteurs
ii° par les facteurs
alors, en nommant rie rayon vecteur mené de l'origine au point (.r,v, z), ou, ce qui revient au même, en posant, pour abréger,
et ayant égard aux équations (i), (2), (7), on trouvera
par conséquent
Enfin, si l'on substitue la valeur précédente de 6 dans la formule (5), cette formule deviendra
t- — dit^- t- — hï.'^ t- — cv-
Or il résulte évidemment de cette dernière que, sans altérer l'équation (6), on peut y remplacer les trois quantités
t- — av^ t- — b«.- t'^ — Cl par les trois autres quantités
/■-—al- r'—ht^ r'—ct^
qui sont respectivement proportionnelles aux trois premières. En opérant ainsi, l'on verra l'équation (6) se réduire à la formule
^ ' /- — at^ r^—hr r- — cr
Cette dernière est précisément l'équation de la surface des ondes obtenue par Fresnel, et présentée sous la forme la plus simple. Elle pourrait encore s'écrire comme il suit :
Ajoutons que, si l'on posait
