PREMIÈRE PARTIE. — PRÉLIMINAIRES

§ I*"". — Théorème d' Analyse et de Géométrie.

Soient

trois coordonnées rectangulaires, liées aux trois coordonnées polaires

par les équations connues

X =r iir, y =z {•/-, z = nv, dans lesquelles on a (i) « = cos/>, i' =r sin/? cos^, (ï' = sin/? sine/.

Soient de plus

S=.i{jo,y,z)

une certaine fonction des coordonnées rectangulaires ^, j, :, et s\ la racine positive de l'équation

(2) A^ = {ï)^>iy-+ {Dy^y- + {î),s)\ La formule

représentera une certaine surface courbe LMN; et si, les valeurs des

CEwrcs de C. — S. I, t. VI. 87

coordonnées polaires/?, q sont précisément celles qui déterminent la direction de la normale menée à la surface courbe LMN par le point [x,y,z), on aura

Dx^ \)y6 \)^6 — ëV

Enfin, si l'on nomme x, y, z les coordonnées courantes du plan tangent mené à la surface courbe par le point (x, y, z), l'équation de ce plan sera

et pourra être présentée sous la forme

(6) wx + ('y H- wz = Ô,

0 désignant une fonction déterminée des angles p, q, savoir, celle à laquelle on parvient quand on élimine x, y, z de l'expression

à l'aide des formules (3) et (4). Ajoutons que, pour retrouver l'équation (3), il suffira d'éliminer/), q entre l'équation

(7) ux -{- vy + wz^=^B

et les dérivées de cette dernière différentiée successivement par rapport à/? et par rapport à q. Cela posé, on établira sans peine, soit à l'aide de l'Analyse seule, soit à l'aide de la Géométrie et de l'Analyse combinées ensembfe, les propositions suivantes :

Théorème I. —Si le point [x,y,z) est situé, non plus sur la surface LMN représentée par l'équation (3), mais à une très petite distance de cette surface, S cessera de s'évanouir; et, si l'on nomme p la distance dont il s'agit, on aura sensiblement

la valeur de Si. étant tirée de la formule (2).

Théorème IL — Si, le point (a?, r, :;) étant situé sur la sur/ace LMN, le plan tangent mené à cette surface ne la traverse pas, l'aire de la section faite dans la surf ace par un plan parallèle mené à la distance p du premier sera sensiblement proportionnelle à cette distance quand celle-ci deviendra très petite. Alors, en effet, cette même aire sera sensiblement égale au produit

6 désignant l'aire de l'ellipse dont les coordonnées courantes

X, y, z vérifieront le système des deux équations

( X Dx^ + y Dy^ + Z ^z^

On peut observer que l'ellipse dont il s'agit ici est précisément celle qui a été nommée indicatrice par M. Charles Dupin, et que, des équations (9), la première représente la surface d'un ellipsoïde, la seconde un plan diamétral de ce même ellipsoïde.

Observons encore que la valeur de 6, telle qu'elle se trouve définie dans le théorème précédent, se réduit à une fonction de x, y, z qui est complètement déterminée quand la fonction ^(x, y, z) est connue. On pourra donc calculer la fonction de x, y, z représentée par 0, non seulement pour un point situé sur la surface LMN, mais encore pour un point situé hors de cette surface.

Théorème III. — Si le point {x,y, z) est situé hors de la surface LMN, mais à une très petite distance p de cette surface, et de manière à pouvoir devenir le sommet d'un cône à base finie circonscrit à la surface LMN, la courbe de contact de cette surface et de la surface conique sera généralement très peu différente d'une ellipse, et l'aire de cette ellipse sera sensiblement égale au produit

Théorème IV. — Si l'on promène sur la surface LMN le centre d'une sphère dont le rayon soit s, l'espace traversé par cette sphère sera limité

par deux enveloppes, l'une intérieure, l'autre extérieure, et la normale menée par un point quelconque à la surface LMN sera en même temps normale aux deux enveloppes, quelle traversera en deux points dont la distance sera le diamètre is de ta sphère génératrice. L'espace dont il s'agit sera donc une espèce û^'onde qui offrira partout la même épaisseur. Ajoutons que, pour obtenir l'enveloppe extérieure ou intérieure de cette onde, il suffira de promener dans l'espace le plan représenté, non plus par l'équation (7), mais par la suivante

(10) ux -[- vj ^ wz^Q:hs,

c'est-à-dire, d'éliminer les angles p, q entre cette équation et ses deux dérivées relatives à ces angles. L'équation (lo) elle-même sera celle d'un plan tangent à l'enveloppe extérieure ou intérieure de l'onde, et séparé, par la distance s, du plan parallèle et tangent à la surface LMN.

Théorème Y. — Les mêmes choses étant posées que dans les théorèmes III et IV, et la distance s étant très petite, ainsi que p, si le point {x,y, z) devient le sommet d'un cône à base finie, circonscrit, non plus à la surface LMN, mais à l'enveloppe extérieure de l'onde, dont l'épaisseur est 2 s, l'aire de contact de cette enveloppe et de la surface conique se réduira sensiblement à une ellipse, et l'aire de cette ellipse sera sensiblement égale au produit

p désignant toujours la distance du point [x, y, z-) à la surface LMN.

§ IL — Théorèmes de Calcul intégral.

Considérons l'intégrale définie

(i) f {{x,t)clx,

dans laquelle

désignent deux valeurs réelles de la variable x, et f(a7, t) une fonction

réelle des deux variables .r, t liées entre elles par une certaine équation caractéristique

Soient d'ailleurs

les valeurs particulières de la variable t correspondantes aux valeurs particulières

de la variable x-, et supposons, pour fixer les idées, que dans l'intégrale (i) la seconde limite surpasse la première, en sorte qu'on ait

Si, tandis que x varie et croit en passant de la limite ^ à la limite x, la variable t est toujours croissante ou toujours décroissante, cbacune des dérivées

sera toujours positive dans le premier cas, toujours négative dans le second, entre les limites des intégrations, et l'on aura

(3) f fi.z;t)dx= f ({œ,t)D(xdt, OU, ce qui revient au même,

(4) j\{x,t)dx=j''^S^dt.

Or on conclut de cette dernière formule : i" lorsqu'on a />t, et, par suite, D^/>» o,

2'^ lorsqu'on a / < t, et, par suite, D^,; < o,

f ({x,t)dx= f li^ljLdt.

Si l'on nomme a la plus petite et h la plus grande des deux valeurs extrêmes t, t de la nouvelle variable t, on aura dans les deux cas

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Soient x, t deux variables réelles liées entre elles par une certaine équation caractéristique, î[x,t) une fonction réelle de ces mêmes variables, et

deux valeurs particulières de x, dont la seconde surpasse la première, en

sorte qu'on ait

Supposons d'ailleurs que la variable t, considérée comme fonction de x, soit toujours croissante ou toujours décroissante, tandis que l'on fait croître x entre les limites

Enfin nommons a la plus petite et b la plus grande des valeurs extrêmes de la variable /, correspondantes aux valeurs extrêmes ^ et x de la variable X, de sorte qu'on ait encore

On trouvera

(5) f {{x,t)dx=f S^^^dt.

Corollaire. — Si la fonction ^(x,t) était du nombre de celles que l'on rencontre souvent dans les questions de Physique mathématique, et s'évanouissait toujours, pour des valeurs de t situées hors de certaines limites

tT=z a, ^ = 6 > a,

alors, en vertu de l'équation (5), on aurait premièrement

(6) r {{x,t)dx=^o.

si a et S étaient situés hors des limites «, b; secondement

(7) rï{x,t)dx^f 4==^^

si a seul était compris entre les limites a, b; troisièmement

si ê seul était compris entre les limites a, b; enfin, quatrièmement,

(9) rï{x,t)dœ=.r^j^jt,

si a, ê étaient tous deux compris entre les limites a et b.

Jusqu'ici nous avons supposé que la variable t, considérée comme fonction de oc, en vertu de l'équation caractéristique, était toujours croissante ou toujours décroissante, tandis que la variable x croissait en passant de la limite ^ à la limite x. Considérons maintenant le cas où cette condition ne serait pas remplie, et où, en passant de la limite q, à la limite x, la variable x acquerrait successivement diverses valeurs