SI) S2) S3> • • • » Ç

correspondantes à des valeurs maxima ou minima

de la variable /. Alors chacune des fonctions dérivées

conserverait le même signe, tandis que a; varierait entre deux limites représentées par deux termes consécutifs de la suite

^J su ^2i ^3» • • • > hnt ^ »

et, après avoir décomposé l'intégrale (i) en plusieurs parties à l'aide de la formule

' i{jc,t)dx=i f{.r,t)dx-\- Ç(^r, t) dx-i-. . .+ f ({x,l)dx,

on poun'ail appliquer à chacune de ces parties le théorème I. On se trouvera ainsi conduit à cet autre théorème.

Théorème II. — Soient oc, l deux variables réelles liées entre elles par une certaine équation caractéristique, ï[x, t) une fonction réelle de ces mêmes variables, et

deux valeurs particulières de x dont la seconde surpasse la première, en sorte qu'on ait

Soient d'ailleurs, entre les limites c et \,

les valeurs successives de x pour lesquelles t, considérée comme fonction de X, devient un maximum ou un minimum; enfin soient

les valeurs correspondantes de y, propres à représenter des maxima ou minima de la variable t. Si l'on nomme

deux termes consécutifs de la suite

(il) T^ Ti, T2, •••» ''ni t,

a étant le plus petit de ces deux termes, et b le plus grand, on aura

(12) f ({œ,t)dt = \ f Sl^i^dt,

le signe 2 indiquant une somme d'intégrales correspondantes aux divers systèmes de valeurs de a et de b.

Corollaire I. — Supposons, par exemple, que, n étant égal à 2, la variable /, considérée comme fonction de x, devienne un maximum pour ic = H,, et un minimum pour ^=: Ej; alors la formule (12) donnera

/ ï(x, t) dx = / 1 1. dt + / / ' ' dt + / ^ dt.

Corollaire IL — Si la fonction ï{x,t) était du nombre de celles (jiie Ton rencontre souvent dans les questions de Physique malhématique, et s'évanouissait hors de certaines limites

tz=. y., / =: ê > a,

alors, dans le second membre de la formule (12), chaque intégrale de la forme

f^^Ldt

[)()urrait être remplacée par zéro, lorsque a, 6^ seraient situés hois des limites a, h; par une intégrale de la forme

/ -^Jz.-- dt ou / -^^r^- (il

si a seul ou 6' seul était renfermé entre les limites a, 0; entiu par l'in-

tégrale

si a et tétaient renfermés tous deux entre ces limites.

(orollaire III. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème II, si le facteur ^{x,t) s'évanouit pour une valeur quelcon(|ue (le /, renfermée entre la plus petite et la plus grande des ([uantités

'» ~t ) "*%■> • • • > "^/ij • » on aura

(l3) / i{JC, t)d,V--:^0.

Corollaire IV. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème II, si la fonction f(.r, /) s'évanouit hors des limites

et si ces limites sont renfermées entre deux termes consécutifs quel-

OEui'rrs de C. — S. I, t. VI. 38

conques de la suite

on aura

(i4) r{{x,t)da^=y f' ^^^^dt.

Il est important d'observer que, dans les diverses intégrales définies dont la somme composera le second membre de l'équation précédente, la fonction sous le signe / prendra généralement diverses formes, eu égard aux diverses valeurs de la variable x, considérée comme fonction de la variable t.

DEUXIÈME PARTIE. — DÉTERMINATION DE LA FONCTION PRINCIPALE CORRESPONDANTE A UNE CARACTÉRISTIQUE HOMOGÈNE.

§ I""". — Considérations générales.

Prenons pour variables indépendantes trois coordonnées rectangulaires X, y, z et le temps /. Soit d'ailleurs

une fonction de ces variables indépendantes, entière, homogène, du degré n et dans laquelle le coefficient de /" se réduise à l'unité. Enfin,

soient

la distance du point (x,y,z)\\ l'origine des coordonnées, et m une fonction principale assujettie : i° à vérifier, quel que soit t, l'équation caractéristique homogène

(I) F(D^,D3,D„D,)cT = o;

2" à vérifier, pour / = o, les conditions

(^) cT=:o, D,m = o, ..., Dr'^=o, Dr'^=ll(/-).

On pourra d'ailleurs supposer que n(/*) représente une fonction paire de r, en sorte que l'on ait

et alors on trouvera, comme nous^ l'avons montré dans une précédente séance,

(4) GT =; -^ / / r ^^ ^-^^-.j sm p dq dp,

les valeurs de u, t^, w, ç étant

(5) u:=zcosp, v = s'mpcosq, iv = s\npsinq,

(6) ç = ujc -^vy-^ivz.

D'autre part, comme on a généralement

il en résulte qu'à la formule (4) on pourra encore substituer la suivante

Supposons maintenant que Y(x,y,z,t) soit, comme il arrive ordinairement dans les problèmes de Mécanique, une fonction paire de /, c'est-à-dire une fonction entière de t-. On aura

F(?/, r, «r, — «) = F(//, c, (t', o)). Par conséquent, la formule (7) donnera

(8) CT— 7- / / } j-.-. — ^-r^, smpdqdp.

Alors aussi l'équation

(9) F(«, i-, n', co) t=o,

résolue par rapport à co, fournira des racines égales deux à deux au signe près, mais affectées de signes contraires; et, en supposant toutes ces racines réelles, on reconnaîtra aisément que, dans le second membre de la formule (8), la partie correspondante aux racines positives de l'équation (9) ne dilfère pas de la partie correspondante aux racines

négatives. On pourra donc supposer le signe ^ relatif aux seules racines ])ositives, pourvu que l'on double le résultat ainsi obtenu. Donc, si l'on pose, pour abréger,

(lO) . <!»(;/,<•, (T'jO) =r D,„ F («, C, tr, 0))

(il) Ç — ',)f = .î,

la formule (8) donnera

le signe \ indiquant une somme de termes semblables et correspondants aux diverses racines positives de l'équation (9). Donc si, en prenant pour w l'une de ces racines, on nomme Q la fonction de l'angle y déterminée par l'équation

on aura simplement