C. U.. t. XIT, p. 189 (25 janvier 1841). Soient
m, ni les masses de deux planètes;
/•, /•' les distances de ces planètes au centre du Soleil ;
Y leur distance mutuelle;
^ l'angle sous lequel la distance est vue du centre du Soleil.
EXTRAIT N" lU. 35
Soient encore, dans les ellipses osculalrices des courbes décrites par les planètes m, m',
/>, p les longitudes de ces planètes ;
y, y leurs anomalies excentriques;
l\ T leurs anomalies moyennes;
<'/, a' les demi-grands axes;
3, s' les excentricités;
n, ct' les longitudes des périhélies.
Si l'on nomme R la fonction perturbatrice relative à la planète m , on aura
la valeur de t- étant
(2) v-= /■- — -î/v' coso -H /■'-.
Cela posé, concevons que l'on se propose de calculer les variations séculaires des éléments elliptiques de la planète m, dues à l'action de la planète m'. Pour y parvenir, il faudra, dans les équations différentielles qui déterminent ces variations, substituer à la fonction R le premier terme du développement de
en une série ordonnée suivant les puissances entières des exponentielles
c'est-à-dire le terme de la série qui sera indépendant de ces exponentielles. On n'aura point à s'occuper du développement de
m'r coso
puisque le premier terme de cet autre développement serait nul (p. 27-28); et comme on a d'ailleurs
36 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉxMIE
la question se réduira simplement à la recherche du premier termt; de la série qui représente le développement du rapport
suivant les puissances entières des exponentielles
Donc, en vertu d'un théorème précédemment étahli (p. 22-24), la question pourra encore se réduire à la recherche du premier terme de la série qui représentera le développement du produit
-(i — ecos'l) (i — s' cos-y)
suivant les puissances entières des exponentielles
En nommant I l'inclinaison mutuelle des orhites des planètes ni, m', et prenant
on a, comme nous l'avons remarqué (p. 20),
(3) COSG — ;jicos(/y— tjt' — yj + 7ry + II)H-v cos(y/— 57' + /? — CT4- <!>),
n, <ï> désignant deux constantes qui dépendent des positions de ces mêmes plans. D'autre part, si, en raison de la petitesse des excentricités et des inclinaisons, on pose, dans une première approximation,
on verra, par suite, la formule (3) se réduire à
cos ô == ces ( 'I' — '^ -I- n ) , et l'équation (2) à la suivante
t- = 2«a' [>. — cos(d>'— (]; + II)],
la valeur de X étant
. lia' a
Donc, on posant, ponr abréger,
A = [A — C0S('y- ']> -F II)]" %
on aura, dans nne première approximation,
Si, au contraire, on veut calculer avec exactitude la valeur du rapport -) on pourra supposer
t-=i2aa'[>. — cos('y— 'l + II) + 8],
et l'on trouvera, par suite,
-=(2«a') ^'[/-cosOy — •^ + II)H-h] %
ou, ce qui revient au même,
(5) i^(2aa'r^y— ^D|A,
le signe 1 s'étendant à toutes les valeurs entières nulles ou positives de 1. Alors « sera généralement une quantité très petite, déterminée par la formule
et, comme on aura
(7) -(l — cCOS'|)(l -C'COS^/')^::^ —^ 1 ( I — £ COS'|) ( I - s' COS'i' ) D^A-,
la recherche du premier terme du développement du produit
-(l — £COS'j;)(r — s'cGS-V),
en une série ordonnée suivant les puissances entières des exponentielles
se trouvera évidemment ramenée à la recherche du premier terme du développement du produit
(8) -. (l — SCOS'i;) (i — c' COS'y)DxA,
en une semblable série. Cette dernière question est celle dont nous allons maintenant nous occuper.
La quantité
Ar=[>.cos('y-'j;^f-n)]"%
qui dépend de la diflerence y'— y, peut être présentée sous la forme
(9) A = :LA„e"'^-'Hn)v'-,
le signe 1 s'étendant à toutes les valeurs entières, nulles ou positives (le n, et le coefficient A„ désignant une fonction déterminée de n, 1, qui satisfait à la condition
(lo) A„t=A„.
Supposons maintenant que, le produit
• — 1 ( I — £ cos '1 ) ( I — s' ces 'V )
étant développé suivant les puissances entières des exponentielles
on nomme
la partie du développement qui dépendra uniquement de l'angle 'j—à ou 'II — 'Y- Le terme constant de la série double, qui représentera le développement du produit (8) suivant les puissances entières des mêmes exponentielles, sera encore évidemment le terme constant
(le la série simple qui représentera le développement du produit
■j I)! V suivant les puissances entières de la seule exponentielle
D'ailleurs, si, après avoir développé la fonction
8 OU h'
en série ordonnée suivant les puissances entières des exponentielles
on désigne, dans le développement, par
«„ £"•> V '~' o u pa r 8,1' e"'^ v -~«
la somme des termes où ces puissances offriront des degrés dont l'addition reproduira le nombre n, alors, des formules
(il) 8 = i8„e'''W^
et
(12) ^'=iHy"'-^^'~',
jointes à l'équation identique
■ (r — c COS'D (i — c'coS'y) ('3j
= 1 -f- — cos('i/'— iL) — f-e-'^v' 1 + - e •î'v • ) -I- If e '■i'+'>-» i
,Cl/ + 'Viv' I
on tirera
.- ---cos('y-'|;
ko COMPTES RENDUS DE L'ACADEMIE.
«'I plus généralement
1 + ^^cos('y— ■^)
D'aulie part, comme, en posant
on aura dans la formule (G) (z'o//-les pages 19 et 20)
(if)) -=ri — cCOS'l, — =.1 — SCOS-y,
, COSO =-- - 'J.
^Jly'-i (^Qs,y £'! y' sin-y v/— 0 (cos'| — £ — zsiii'lv''— ')
+ e-^V=^(cos'y— e'— -/t' sin'yv/^^)(cos4^ — t + y.siwls/— i)
c'IV- î ( cos -y — e' H- z' si n -y v^^^ ) ( ces -J; — £ -h z si n (^ v/'~ ' ) + e-'IV~'(cos'y— £'— ■/,'sin'yv''— i)(cos'| — e — x sin^j-v'— 0.
la formule (11) pourra être réduite à
(17) « r= «2e--'W~+ «ie"'W~+ 80+ «ie'^^'-^+ HoC-'I'v'-i,
les valeurs de
étant déterminées par des équations de la forme
«, =«,,0 +«0,1 e('i''-4')v/^, «,== 8.2,o+ «-1,-1 ef'^-'VW^+ «0,-2 e-Cl'-'V'v'^, '. Ho =«0,0 +H.,~-i e('l'-l'V~+«,,,e('>'-'!') v'="', ^. =80,0 +«1,1 e f '!'■-•?') v^+ «0,2 e2('^'-'>'v/=î,
et '<,,,j représentant généralement, dans le tléveloppenient fini de In
fonction «, le coefficient de l'exponentielle
Or de cette définition de a^,„ , jointe aux formules (6), (i )) et (i6), il résulte immédiatement que, si l'on pose, pour abréger,
on aura
^1.= /^COSn + VCOS$, (Î)=:/J!.C0SII — VCOSO,
ilîj = — /^ sinll — vsinO, £ =^ sinll — v sin$,
'«1,1 = — ^ [vl> — (D xz' ( Db x' + e X ) y/^ ] ;
- 1 ,1 = — 7 [-^ + CD xx' — (11!) x' — 3 X ) v/^ — 2 eIV~i ] , f »,,-, = — 7 [-1. + (Dxx'+ (DLx'— Sx) v^^^i — 2e-W^J.
Les valeurs des coefficients
OU les diverses valeurs de «„, étant déterminées par les formules qui précèdent, on tirera aisément les diverses valeurs de
°rt » °« ) °/( » • • •
de l'équation (17), en élevant successivement les deux membres à la se
OF.uvres de C. — S. I, t. VI. 6
conde, à la troisième, à la quatrième puissance On trouvera, par
exemple,
Knfin, les diverses valeurs de «„" étant ainsi obtenues, puis substituées dans le second membre de l'équation (r/,), il deviendra facile de trouver la partie du produit
(|ui représentera le premier terme du développement de ce produit suivant les puissances entières de l'exponentielle
et l'on pourra employer utilement dans cette recherche les formules connues d'interpolation, ou, ce qui revient au même, celles que nous indiquerons tout à l'heure.
Concevons, pour fixer les idées, que, les excentricités e, i et l'inclinaison I étant considérées comme des quantités très petites du premier ordre, on veuille négliger dans le développement de R les termes d'un ordre supérieur au quatrième. Comme on trouverait, en négligeant les termes de second ordre,
V — o, /a = i, -/^i, x'=i, Jl=. =r (D r= cosll, 3= — Dî,— siiiH
et, par suite.
EXTRAIT N° Uk.
il est clair que les quatre coefficients
seront du second ordre, aussi bien que les coefficients
Donc, par suite, en vertu des formules (19),
seront du second ordre, tandis que
seront du premier ordre avec les coefficients «,,o. «u' ^o-i» ^o.i- ^^1^^ posé, faisons, pour plus de commodité,
les valeurs de p et de ; étant
Les deux fonctions p, c seront, la première une quantité du premier ordre, la seconde une quantité du second ordre; et les valeurs de ces deux fonctions se réduiront à
1 p = ( .A-, s' , £ cos'-p -h £ •/£' siri'l
I + ( .l,c c' 008'!'+ 1)1 x'c shi'l',
ç -= - C^s'îcoS^''; + ^s'^cos^'i'^ - A.c£'4- COS ('<;'- 'i. + II)
— (A cosî} ces -y + iil)x' sin'l' cos'| + £ z sin ■-{/ cost]>' + Oxx' siinj; sin 'h').
D'ailleurs, en négligeant les quantités d'un ordre supérieur au (juatrième, on tirera successivement de l'équation (sS)
«-=p-+ 2pç4- ç2^ 83=p-»+3p-ç,
4i COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
et, par suite, eu égard aux formules (i3) et (26), on trouvera, pour 1 = 1,
l+^COS(']>'-'|)
pour 1 = 2,
1 + ^cos('y-t]>)
(29) ' l [(«^«j ^ «j a^)(, ^ .' ef^z-'^V-' )+(«„«, + a, «,) (c + .'gCV -^^v'-i
pour 1 = 3,
«Il «2 + «o«l«-l^ — «i«-2
pour
Des équations (28), (29), (3o), (3i), jointes aux formules (18) et (19), il résulte que, dans le cas où l'on néglige les quantités d'un ordre supérieur au quatrième, u se réduit à une fonction entière de l'exponentielle
et même à une fonction entière qui renferme seulement les puissances de cette exponentielle, dont les degrés sont représentés par les cinq quantités
On aura donc alors
'j 2, 'J,, 'Jo» 'Ji» '-«i tltîsigiiant des coefficients constants; et, en vertu de l'équation (32) jointe à la formule (9), le terme constant de la série qui représente le développement du produit
uI)ÎA,
suivant les puissances entières dee^'^'-'^^v/"', sera
D'autre part, si l'on pose, pour plus de commodité, on tirera successivement de la formule (82)
f(,l; + 71)== -j-^e^'W-' — j__ie'W-' + -j^— -j,e- W-' + -j,
e -YV
j)ar conséquent *
puis, en remplaçant, dans la dernière des formules (3/|), -i; par y on trouvera
ffi> +î^) + f (•]. + -
et, par suite,
Donc, en remplaçant ^ par II et tenant compte de l'équation identique
f( + + TJ = T^ a
on trouvera définitivement
f (II) + f(n + 7-) H- f Ai + ^) + {"(n - ^)
■j, e^W-i-l-Uie-lV-'
f(ii)-r(n + r)
f(ii) + f(n + 7t) -r(n-i-l) - f(n - lï'^
et l'expression (33), ou le terme constant de la série qui représente le développement du produit
suivant les puissances entières de gti^'-'^V-i^ sera égal à
1 j f(n) D-l(Ao+ 2 A, + A,) + j f(II + TT) D-UAo- 'iA, + A,)
"-^F)-^ln ^
Di(Ao-A,).
En terminant cet article nous ferons observer que, dans les for mules (28), (29), (3o), (3i), on pourrait exprimer les coefficients
à l'aide des valeurs diverses des fonctions p et :. En eff'et, si l'on dé signe par
PoL, Sa
ce que deviennent les fonctions
EXTRAIT N- 114. kl
(juand on y remplace simultanément
^ et -y
l)ai'
'1 -f- a et 'Y -h y.,
on aura identiquement
et, par des raisonnements semblables à ceux qui ont fourni les équations (l'i), (3^)» on tirera de la première des formules (26)
Po — Ptï V^—
8, e'W-' = et de la seconde
pO+p7lV^— '
Ço + Su
■so ÇtI / Stî 'âSTl \ V '
Çu + / 'STC Ç3tc\ V I
De ces dernières formules, jointesaux équations (28), (2()), ('3o), (3i), on conclura, pour 1 = 1 ,
I + — cos('y— '\>)
rpo(£ cos'l + s'cos'y) —0,1 (e siri'j; + e' siii-V)'
- — r(«o— Çu\ cos ('I + •]>') — fin — b3u\ sin (•]>
puis, en posant ce qui réduira
Po» Ptti Çq) '5^1 Stt? b^ll
à des fonctions de <]>, on trouvera simplennent, pour 1 = i,
(87) ^ —-[(£ + £') poCOS'^ — (î—£')p^ sin-yi
pour l
Pc + p^M ^ + T •^os^'^) + (>« - f4) Y j
— ^ rpo(£ ■+- £') COS-I — p2(£ — £') sini];1 /ço + ç„^
— 8 rPo(£ + £')cos'J; + p7,(£ + £') siri-yi /ço — i-Tz)
+ ofpo (£ — £') Siiv^ — p„(£ + £')C0S'f| /çu— Ç3jk\;
pour 1 — 3,
' ( 39) ' "^ 76 I (P» ~ '4 ) (^» ~ ^^) ~^ ^^ P» Pî (% ~ ^??)1
\ ~~T^(Po~^Pî) rPo(' +£')cos-|-p^ (£-£') sin^l;
pour 1 = 4.
EXTRAIT N» IIG. 49
Rapport sur une Note de M. Paulet (de Genève), relative à un théorème dont le théorème de Fermât ne serait quun cas particulier.
