C. R., t. XIV, p. 8 (3 janvier
Dans la Note que renferme le Compte rendu de la séance du i3 décembre dernier, j'ai indiqué les moyens d'obtenir, sous une forme très simple, la fonction principale qui vérifie une équation caractéristique bomogène; et, après avoir considéré en particulier le cas où l'équation donnée est celle qui représente les mouvements infiniment petits d'un système isotrope, j'ai ajouté, dans la séance du 20 décembre, que, pour déduire de la fonction principale les déplacements d'une molécule mesurés parallèlement aux axes, il suffisait de recourir aux formules établies dans les 7^ et 8^ livraisons des Exercices d'Analyse et de Physique mathématique. Quoique cette déduction ne présente aucune difficulté, elle n'est pas sans intérêt, puisqu'elle permet de suivre avec
plus de précision les phénomènes représentés par l'analyse. C'est ce qui me porte à exposer ici les détails des calculs que j'avais seulement indiqués.
Considérons un système isotrope de molécules et supposons que les déplacements d'une molécule, étant mesurés parallèlement à trois axes rectangulaires, soient représentés, au bout du temps t, par H, r^, 'C pour la molécule dont les coordonnées primitives étaient x, y, z. Les équations des mouvements infiniment petits du système (voir les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, t. P', p. 208) seront de la forme
(1 ) (D| - E)c: = FD^u, (D; - E)y] = FD^u, (D,^ - E)Ç = FD.-^
E, F étant deux fonctions de
Dl + D^^ + D?,
entières, mais généralement composées d'un nombre infini de termes, et la valeur de u étant
(2) v=\)^l-\-\)yri-^\).X.
Posons, pour abréger,
V'= \y} - E, V= i)f - E - {})% + Df. + Dl ) F, V = V'V".
Soit d'ailleurs cr la fonction principale assujettie ;
i" A vérifier, quel que soit /, l'équation caractéristique
(3) Vot = o;
2" A vérifier pour / = o les conditions
r^z=o, J);n7=:o, J)|m = o, Djrn = Tn{j:', y, z).
Enfin désignons par
(4) o{.r,r,z), y^{.r,r,z), '],{,i;y,z), (^{jt, v, z), \i.r,y,z), W{j',y,z)
les valeurs initiales de
c, f,, ç, D,^, Drn, D.C,
et par
ce que devient la fonction principale ccr quand on y remplace successivement la fonction arbitraire
par chacune des fonctions (4). Les valeurs générales de c, -q, l seront
[ ; = V"(0-t-I),0)+FI)^«,
(5) ri = V"(X + l)r/.)+FI),«,
la valeur de « étant
(6) H = I)^(<I> + D,9) + Y)y{\ + Dr/J + D=(^F + !),■]>).
Dans le cas particulier où les équations des mouvements infiniment petits deviennent homogènes, on a
E = i^HDl + I)j. + 1)|), F = 12'^- .Q%
li, Q' désignant les vitesses de propagation des vibrations transversales et longitudinales; puis on en conclut
V'= I),^ - iV{ï)l -f- D-J -T- De), V"= D,^ - i2'^(Dl + D^ + D|); et par suite
Donc alors la fonction caractéristique se réduit au produit
comme on le savait déjà. [Fo^rle Compte rendu de la séance du i3 décembre, p. 1093 (').] Ajoutons que, dans ce cas particulier et en posant, pour abréger,
Çl O'î
(8) Tni = V"w, cT,=iV'nT,
on aura, en vertu de la formule (G) de la page 210 des Exercices d'Ana-
(» ) OEuvres- de Caucliy, S. I, T. VI, p. 3 81. Extrait nM 53.
lyse et de Physique mathématique, t. P"",
(9) D<^5T=r ]JL!53i + VGTa.
Observons enfin que, dans ce même cas, les formules (5) donneront
/ l = [D,^ - -Q'MDl -h D]. + D,^ )] (O + D,9) + (12'^- i2^)D^8,
(10) -^ = [D|-i2'^(Dl + D|. + D|)](X+Dr/) + (^"'-i2'')D^«, ( Ç = [D| - ^'-(D^ 4- D|. + D2)] (W+ D.il;) + (12'^- iî^)D;,»,
la valeur de « étant déterminée par l'équation ((i).
Supposons maintenant, pour plus de simplicité, que m[x,y,z) se réduise à une fonction de rayon vecteur
r — {x^ ^ y^ -{- z'^f ', posons en conséquence
ct(^, 7, ^) = n(r)
et, de plus,
Alors on aura
/ (r — £20n(/- — i>0 + ('- + ^0n(r + i20 \ D/CTi= — >
(il) <
(/• - i2'0 n(r - i2'0 + (/• + ^'0 n(r + i2'0 f D/GT2= — —— « '
et, en vertu de la formule (9),
(12) D^^CT = ]ui.Diîrf, + vD/CT.,-
Cette dernière équation coïncide avec l'équation (12) de la page 1098 du Tome XIII des Comptes rendus {*). Si d'ailleurs n(r) s'évanouit pour une valeur numérique de r supérieure à s, alors, en supposant
on tirera de la formule (12)
(.4) i,-9.Wr-at) y-i,t)U(r-aU)
\ "tj t r 2/- 2/-
(1) OEuvres de Cauchy, S. I, T. VI, p. 38i.
et, par suite,
OU, ce qui revient au même, r étant supposé > £,
Alors aussi la propagation du mouvement donnera naissance à deux ondes comprises, au bout du temps t, la première entre les limites
(17) . r = ^t — î, r = at-i-£,
la seconde entre les limites
(18) r=.9Jt-£, r~9Jt + e.
Enfin,, si, pour fixer les idées, on suppose
c'est-à-dire, si la vitesse de propagation des vibrations longitudinales surpasse la vitesse de propagation des vibrations transversales, comme il arrive dans la théorie de la lumière {voir la 9^ livraison des Exercices d'Analyse el de Physique mathématique, p. 3 12), les deux ondes seront séparées l'une de l'autre dès que l'on aura
et alors on tirera de la formule {16) : i" pour un point situé en dehors des deux ondes propagées,
2" pour un point situé dans l'épaisseur de l'onde la plus rapide,
(22) rs=.^Ç {r-s-9'tYsYi{s)ds;
3" pour un point situé entre les deux ondes,
V f — o't r^ (23) ^ = _______jf^ .^nco^^;
4" pour un point situé dans l'épaisseur de l'onde la plus lente, 5" pour un point situé en dedans de l'onde la plus lente,
Comme je l'ai déjà dit {yoirX'A séance du i3 décembre dernier), il suit des formules (21), (23), (23) que, dans le mouvement d'un système isotrope de molécules, et dans le cas où l'équation caractéristique devient homogène, la fonction principale nr, toujours nulle en dehors des deux ondes proposées, cesse de s'évanouir entre ces ondes et en dedans de la plus petite. Mais, en vertu des mêmes formules, la valeur de D'cj, et même celle de D^^cr s'évanouiront pour tout point placé dans l'une des trois positions que nous venons d'indiquer. De plus, eu égard aux formules (10), dans lesquelles on a
les déplacements et, par suite, les vitesses des molécules s'évanouiront pour tous les points situés en dehors ou en dedans des deux ondes propagées. M. Blanchet a remarqué avec justesse qu'on ne pouvait, en général, en dire autant des points situés entre les deux ondes. Toutefois il est bon d'observer que, même en ces derniers points, les déplacements et les vitesses se réduisent à zéro quand on suppose nulle la dilatation du volume représentée par la lettre u, c'est-à-dire, en d'autres termes, quand les vibrations longitudinales disparaissent; et comme, dans la théorie de la lumière propagée à travers un milieu iso-
trope, on fait abstraction des vibrations longitudinales, en se bornant à tenir compte de celles qui ont lieu sans changement de densité, on pourra conclure des formules précédentes, appliquées à cette théorie, que les vibrations lumineuses subsistent seulement dans l'épaisseur de l'onde la plus lente.
Les diverses conclusions auxquelles nous venons de parvenir s'étendent au cas même où la valeur initiale de ct serait représentée, non plus par Il(r), mais par cy(a7, j, ^3). C'est ce que l'on reconnaît sans peine en joignant aux formules précédentes celles que renferme le Compte rendu de la séance du 5 juillet 1841 (').
Physique mathématique. — Rapport sur deux Mémoires de M. Blanchet, relatifs à la propagation du mouvement dans les milieux élastiques cristallisés, et en particulier à la délimitation des ondes.
