C. 11., t. XIV, p. a (3 janvier
Les mêmes choses étant posées que dans le Compte rendu de la séance (lu 20 décembre dernier, considérons de nouveau la fonction princij)ale CT déterminée par la formule
1 ) GT = f — / / J Yï^ ^— y- sin p dq dp,
les valeurs de w, (^, w, s étant
(2) « =z cosy^, V ^^sinpcosq, w =ismpsinq,
(3) s^= ujc -\- çy ^ wz — ot.
L'équation (i) pourra s'écrire comme il suit
^^ 4Tr J, J, <^{V{ut,i't,ivt,s-ç)], ^ ' ^
la valeur de ç étant
(5) ç =r «^ + ('J4- trc,
et Ton pourra d'ailleurs considérer u, r, w comme représenlanl les coordonnées rectangulaires d'un point situé à l'unité de distance de
(ï) OEuvres de Caiic/ij; S. I, T. VI, p. 233. Extrait n" i;{;{. (2) Id, Id. p. 253. » n" \M.
l'origine des coordonnées. Concevons maintenant que, cette origine restant la même, on transforme les coordonnées rectangulaires
en d'autres coordonnées rectangulaires
Les équations de transformation seront de la forme
( iv =.yu-^ y' V -+- y" w, les coefficients
oc, [3, y, a', (3', y', a", ^" , y" étant propres à vérifier les formules
ioC' H-(3^ +y^ =:i, a'2 4-[3'2 +y'^ =1, a"2-h ^"^ + y"^=: i , ^^"^ j a'a"+(3'(3"+y'y"=o, a"a + |3" [3 + y"y = o, aa'+ [3,3'+ yy'^ o;
et aussi les suivantes :
( a^ + a'^ .+ a"'- =i, (3^ + (3'^ + ;3"2 =i, y^+y'^ +y"^ =i, '' ) [3y + p'y' + (3"y" = o, ya + y'a'4-y"a" = o, a;3 + a'(3'+ a"{3"= o.
De plus, en posant, pour abréger,
(9) a^ + (37 + y:^ = AV, a'.r + (3'/ + y'^ = .% a".r + [3"r + y".- = t-,
on tirera de la formule (5)
(10) ç=:A:.U+-Tv-f-iW.
Enfin, en posant
(il) u = cosp, v = sinpcosq, w = sinp sinq,
on pourra, dans la formule (i) ou (4), remplacer le produit s\npdqdp par sinpflfq<^p,
et l'on aura, par suite,
— . -' / / y rirr — ^ \. ^ Sinil <^q <i[),
47r J, J, <^[¥{ut,i't,ivt,s-ç)]s
(12) GT
les valeurs de 11, v, Wy ç étant déterminées en fonction des angles polaires p, q par les équations (6) et (10) jointes aux formules (11). Si, pour plus de simplicité, on prend
^ F{ut,vt,ivt,s — s) la formule (12) deviendra
Ajoutons que, si l'on nomme
Wy, ^„ w,, q,
ce que deviennent
U, V, iv, Ç
quaftd on y remplace v par — v et w par — w, on pourra, dans la formule (i4), supposer .s déterminée, ou par l'équation (i3), ou par la suivante :
Revenons maintenant à la formule (12). On peut l'écrire comme il suit
(16) GJ = ->-7^— / / 7. V,, , , ^sinpr/q</p,
•le signe 2 s'étendant à toutes les racines de l'équation
(17) ¥{i(t,vtyWt,s— ç)—o
résolue par rapport à s. Cela posé, concevons que l'on désigne par
les valeurs de
fournies par le système des formules
il V w '
jointes à la condition ux + vy + wz^ o. a, Ç, y, 0, p seront des fonctions déterminées de a?, j, z, t. De plus, après avoir remplacé la variable p par la variable s, on pourra dans le second membre de la formule (iG) développer, sous le signe /, le coefficient de sll{s) en une série de termes qui aient pour facteurs les puissances ascendantes de .y — p, et alors on obtiendra pour développement de or une série qui ne renfermera plus que des intégrales relatives à s, attendu que les intégrations relatives à la variable q pourront s'effectuer à l'aide de formules tirées du calcul des résidus. C'est ce que j'expliquerai plus en détail dans un nouvel article.
P. S. — Si, dans l'équation (1), on pose pour abréger
(21) sll{s) = ï{s), elle donnera
(22) Dr^^ = -7^ f'^ ri^,..''"~'^^'\^^mpdgdp. Si d'ailleurs,
désignant une fonction de £f, y, z, t, entière, bomogène et du degré m,
on nomme
Q et DU
ce que devient cette fonction quand on y remplace les variables
par
ou par
II, (', iV, — OJ,
on tirera de la formule (22)
(23) DrMDnT = -^ r" r £rF^f '^'^"'^'!. X,[npdqdp;
puis, en supposant que Dcnr ne renferme point de dérivées de ci relatives à t, et d'an ordre supérieur à /^ — 2, on conclura de ré(|uation (23)
(.4) □.^.-'^rr,; "-f"-(-) .Ksin,<^^.
On pourra d'ailleurs faire subir au second membre de l'équation (23) ou (24) des transformations analogues à celles que nous avons ci-dessus effectuées sur le second membre de l'équation (i). Les formules (23), (24), et celles qui s'en déduisent, fournissent le moyen d'obtenir avec une grande facilité les valeurs des inconnues qui vérifient un système d'équations linéaires aux diff'érences partielles, lorsque l'équation caractéristique correspondante à ce système est une équation bomogène dans laquelle les dérivées relatives à / sont d'ordre pair. Si l'on prend en particulier n = D„ la formule (23) donnera
(25) l)r'rn = ^ r'" r /r,./'"~'^^^'\, sinpd^dp.
4TrJ„ J„ <^(*(«, r, tr, 0))),., ^ ^ '
Appliquons cette dernière formule à un exemple très simple et supposons
a, h, c, ù désignant des quantités positives. L'équation (20) pourra être réduite à
(26) I),cT=^r f ('(s) sin pdr/ dp,
les valeurs de ^ et de w étant déterminées par l'équation (3) jointe à la
ORuvres de C. — S. 1. t. VI. 5o
formule
D'ailleurs les formules (18), (19), (20), jointes à la condition w > o, donneront
(28) lf^-J^^f^— — Y fl/
et, en supposant u, v, w déterminés en fonction des angles polaires p, q par le système des formules (6) et (i i), on tirera de l'équation (2G)
(29) Y)im=ZY~ I I f (5) sinp c/qofp.
Si, dans cette dernière équation, on remplace la variable p par la variable s et si l'on développe ensuite le coefficient de f'(^) en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de s — p, alors, en supposant la valeur de II (^) toujours nulle hors des limites très
resserrées
on trouvera, au bout d'un temps fini /, et pour un point situé dans l'épaisseur de l'onde propagée,
iï)t^ = Aif r{s)ds+A^f {s — p) C (s) ds (3o) j " ~l
(3i) î)im = AJ{p)~A. f(5)^,ç — 2A3/ is — p)ï{s)ds — ...,
la valeur de A^ étant donnée par la formule
dans laquelle on suppose
(33) \') = (u — i)X+vir + wic — (w — ô)^,
et le signe ^ relatif à la seule valeur zéro de la variable p. Sous cette condition et en vertu des formules que fournit le calcul des résidus, A„ se réduira toujours à une fonction déterminée de se, y, z, t. On trouvera, par exemple,
Al-- P
9Jt
abc^'*
CalcuI intégral. — Addition aux Notes insérées dans les Comptes rendus
des séances précédentes .
