C. R., t. XIV, p. 392 (i4 mars

NOTE PREMIÈHE.

Sin' l'intégration des systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles

et à coefficients constants.

L'intégration d'un système d'équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients constants peut être ramenée à l'intégration d'une seule équation linéaire que nous désignerons sous le nom d'^'quation caractéristique. On trouve cette remarque spécialement appliquée aux équations qui représentent les mouvements infiniment petits d'un système de molécules, dans un Mémoire sur la théorie de la lumière, présenté à l'Académie des Sciences, par l'auteur des Exercices de Mathématiques , le 3r mai i83o, et publié par extrait, vers cette époque, dans le Bulletin des Sciences de M. de Férussac, puis dans les Mémoires de l'Institut. D'ailleurs ce problème, dans lequel on se propose d'intégrer une seule équation linéaire aux dérivées partielles et à coefficients constants, a été résolu; et les intégrales particulières et gêné-

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raies de semblables équations, exprimées, soit à l'aide de sinus ou de cosinus, soit même par des sommes d'exponentielles réelles ou imaginaires, ont été données depuis longtemps par divers géomètres. On doit surtout remarquer le beau Mémoire d'Euler, lu à l'Académie de Saint-Pétersbourg, le 28 octobre 1779 ('), Mémoire qui a pour titre : Integratio œqualionum differentialium linearium cujuscumque gradus et quotcumque variabiles involventium, et dans lequel Euler représente par une somme d'exponentielles l'intégrale générale d'une équation linéaire aux dérivées partielles et à coefficients constants d'un ordre quelconque. Ajoutons que les sommes d'exponentielles, quand on les compose d'un nombre infini de termes tellement choisis que deux termes consécutifs diffèrent infiniment peu l'un de l'autre, se transforment en intégrales définies du genre de celles qui ont été indiquées par divers auteurs, et que ces intégrales définies représentent encore les intégrales générales des équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients constants.

Toutefois, présentées sous les formes que nous venons de rappeler, les intégrales générales des équations linéaires ne suffisaient pas encore généralement à la solution des problèmes de Physique mathématique. Il manquait à cette solution la détermination des constantes que renferment en nombre infini les sommes d'exponentielles, ou, ce qui revient au même, la détermination des fonctions arbitraires renfermées sous le signe / dans les intégrales définies, et introduites par l'intégration. Pour elFectuer cette détermination, il était d'abord nécessaire de trouver une formule qui pût servir à transformer une fonction donnée en une somme d'exponentielles composée d'un nombre fini ou infini de termes. La première formule de ce genre a été donnée par Lagrange dans le tome III des anciens 3Iémoires de Turin, publié en 1776. Cette formule convertit une fonction d'une seule variable en une somme d'exponentielles imaginaires, seulement pour toutes les

(1) Ce Mémoire a été imprimé dans le tome IV des Acta nova de l'Académie de Saint- Pétcrshours.

valeurs numériques de celte variable inférieures à une limite représentée par le nombre i. Mais il suffit de changer l'unité à l'aide de laquelle on suppose les variables exprimées, pour que la limite i se trouve remplacée par une limite quelconque, qui peut croître indéfiniment et devenir infinie. Ji l'aide de cette seule observation, on peut, de la formule de Lagrange et d'une formule analogue donnée par Euler, tirer celles que M. Fourier a obtenues dans son premier Mémoire sur la théorie de la chaleur. D'autres formules du même genre, mais qui, pour la plupart, peuvent aisément se déduire de celles de M. Fourier, ont été successivement établies par les géomètres, et appliquées à diverses questions de Physique mathématique. On peut voir en particulier, à ce sujel, les Mémoires de MM. Poisson et Cauchy sur la théorie des ondes, un Mémoire de M. Fourier sur les vibrations de plaques élastiques, le XIX^ Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, divers Articles insérés dans le IP Volume des Exercices de Mathématiques, etc.

Dans les problèmes de Physique et de Mécanique et dans le cas où l'espace auquel s'étendent les équations du mouvement reste indéfini, la question à résoudre était généralement la suivante :

Étant donnée, entre une inconnue et plusieurs variables indépendantes qui ordinairement représentent trois coordonnées et le temps, une équation aux dérivées partielles et à coefficients constants, avec un dernier terme fonction des variables indépendantes, intégrer cette équation, de manière que les valeurs initiales de l'inconnue et de ses dérivées, p/ises par rapport au temps, se réduisent à des fonctions connues des coordonnées.

Tel est le problème que l'auteur des Exercices s'est proposé et a l'ésolu dans ses Mémoires du 8 octobre 1821 et du 16 septembre 1822. ( Voir le Bulletin de la Société philomathique et le XIX^ Cahier du Journal de l'École Polytechnique.) 11 a prouvé, dans ces Mémoires, qu'à l'aide des formules de transformation ci-dessus rappelées, et relatives aux fonctions de plusieurs variables, ou plutôt à l'aide d'une formule du même genre qui renferme sous le signe / une seule exponentielle trigonométrique, on pouvait ramener la solution du problème général au cas où le temps est la seule variable indépendante, c'est-à-dire au cas

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où l'équation aux dérivées partielles se trouve remplacée par une simple équation différentielle. La détermination des fonctions arbitraires s'est ainsi trouvée réduite à une détermination de constantes arbitraires qui exigeait quelques artifices de calcul dans le cas où l'équation auxiliaire offrait des racines égales, mais que l'auteur a tini par rendre très facile dans tous les cas et même par supprimer entièrement, à l'aide du calcul des résidus. C'est ainsi qu'en perfectionnant de plus en plus la méthode exposée dans les Mémoires de 1821 et de 1822 l'auteur des Exercices est parvenu à une formule très simple et facile à retenir, qui sert à exprimer par une intégrale définie multiple la valeur de l'inconnue propre à vérifier une équation linéaire aux dérivées partielles et à coefficients constants, dans le cas même où cette équation contient un dernier terme fonction des variables indépendantes. ( Voir le Mémoire sur l'application du calcul des résidus aux questions de Physique mathématique, publié en 1827.) La méthode dont il s'agit, appliquée aux équations qui représentent les mouvements infiniment petits d'un système de molécules, fournit les intégrales mentionnées ou développées par l'auteur des Exercices dans divers Mémoires présentés à l'Académie en 1829 et i83o ('), et ces intégrales, comme il est dit dans le Mémoire du 12 janvier 1829 (Tome IX des Mémoires de l'Académie), fournissent le moyen d'assigner les lois suivant

(>) Ces Mémoires sont :

1° Un Mémoire sur le mouvement d'un système de molécules qui s'attirent ou se repoussent à de très petites distances, et sur la théorie de la lumière, présenté à l'Académie le 12 janvier 1829, et inséré par extrait dans le tomclX des Mémoires de l'Académie;

■x° Un Mémoire sur l'intégration d'une certaine classe d'équations aux différences partielles, et sur les phénomènes dont cette intégration fait connaître les lois dans les questions de Physique mathématique, présenté à l'Académie le 12 avril i83o, et parafé par x\I. G. Cuvier, secrétaire perpétuel. (Le premier paragraphe de ce Mémoire a été imprimé dans le XX'' Cahier du Journal de l'École Poy technique) \

3" Divers Mémoires sur la théorie de la lumière, présentés à l'Académie les 17 et 3i mai i83o, parafés par M. G. Cuvier, Secrétaire perpétuel, et publiés par extrait dans le Bulletin des Sciences de M. de Férussac, puis dans le tome X des Mémoires de l'Académie ;

4° Le Mémoire sur la dispersion do la lumière, présenté à l'Académie les 19 juillet et 9 août i83o, parafé par M. Arago, secrétaire perpétuel, et publié d'abord par extrait dans le Bulletin des Sciences de M. de Férussac de juillet i83o, puis en totalité dans le format des Exercices de Physique mathématique.

lesquelles un ébranlement, primitivement produit en un point donné d'un système de molécules, se propage dans tout le système. On voit, par le texte même du Mémoire de janvier 1829 [ibid.), que, dès cette époque, l'auteur avait déjà traité, non seulement /e cas où l'élasticité du système reste la même en tous sens autour d'un point quelconque, et où le système est en conséquence isotrope, mais aussi le cas où l'élasticité du système reste la même en totts sens autour de tout axe parallèle à une droite donnée. Il avait même reconnu que, dans ce dernier cas, les coefficients renfermés dans les équations aux dérivées partielles, ç^i dépendants de la nature du système, peuvent avoir entre eux des relations telles que la propagation d'un ébranlement, primitivement produit en un point du système, donne naissance à trois ondes sphériques ou ellipsoïdales ; puis, en faisant abstraction de celle des trois ondes qui disparaît avec la dilatation du volume quand l'élasticité du système reste la même en tous sens, il avait vu les surfaces des deux ondes restantes se réduire au système d'une ■ surface sphérique et d'un ellipsoïde de révolution, l'ellipsoïde ayant pour axe de révolution le diamètre de la sphère; et, après avoir constaté l'accord remarquable de ce résultat avec le théorème d'Huygens sur la double réfraction de la lumière dans les cristaux à un seul axe, il avait conclu que les équations du mouvement de la lumière sont comprises dans celles qui expriment le mouvement d'un système de molécules très peu écarté d'une position d'équilibre.

Au reste, comme on peut le voir dans les 7*^ et 8*^ livraisons des Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, les intégrales que fournit la méthode exposée dans le XIX^ Cahier du Journal de l'École Polytechnique et dans le Mémoire Sur l'application du calcul des résidus aux questions de Physique mathématique coïncident, dans le cas particulier où le système est isotrope, avec les intégrales que renferme un Mémoire de M. Ostrogradsky, lu à l'Académie de Saint-Pétersbourg le 10 juin 1829, cité par M. Poisson en octobre i83o et publié, en i83r, dans le Tome I" des Mémoires de cette Académie. Elles sont analogues aux intégrales que renferme un Mémoire présenté par M. Poisson à l'Académiie des Sciences le 11 octobre i83o, et même à celles que ce

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géomètre avait données le 24 novembre 1828, mais dans lesquelles la détermination des fonctions arbitraires était demeurée incomplète.

Dans le cas général où l'élasticité du système n'est pas la même en tous sens, ni autour d'un point quelconque, ni autour de tout axe parallèle à une droite donnée, les valeurs des inconnues, fournies par la méthode générale que nous avons rappelée, se trouvent représentées par des intégrales définies sextuples. Mais on peut, à l'aide d'un changement de variables indépendantes, réduire les intégrales sextuples à des intégrales quadruples, dans le cas où l'équation devient homogène. Cette dernière proposition a été donnée par l'auteur des Exercices dans un Mémoire que renferme le Bulletin des Sciences (' ) de M. de Férussac pour le mois d'avril i83o (page 278). Dans ce Mémoire, l'auteur conclut de son analyse que les phénomènes sonores, lumineux, etc., représentés par des équations homogènes aux dérivées partielles, donnent naissance à des ondes sonores, lumineuses, etc., qui ne laissent pas de traces de leur passage, et dont les surfaces se trouvent représentées par des équations qu'il apprend à former. D'ailleurs, comme le même auteur l'observe dans le Tome X des Mémoires de l'Académie [Mémoires des 3i mai et 7 juin i83o (^)], les surfaces des ondes ainsi déterminées sont précisément les surfaces courbes qui ont pour enveloppes les ondes planes dont il a donné la théorie dans les Exercices de Mathématiques. Ajoutons que, dans le cas particulier où l'on considère un système de molécules dont l'élasticité reste la même en tous sens, les vitesses propres des molécules, mesurées à de grandes distances du centre d'ébranlement, offrent, dans les deux ondes propagées, les mêmes directions qu'elles offriraient si ces deux ondes étaient rigoureusement planes. Ces vitesses sont donc alors dirigées suivant des tangentes ou suivant des normales aux surfaces des ondes. En d'autres termes, les vibrations des molécules, mesurées loin du centre d'ébranlement, sont alors ou longitudinales ou transversales par rapport aux rayons vecteurs. M. Poisson, qui avait d'abord révoqué en doute les

(1) OEuvres de Cauchy, S. II, T. 11.

(2; Id. S. I, T. II.

OEuvres de C. — S. I, t. VI. 5a

vibrations transversales, a fini par les admettre lui-même et par tirer de ses formules la proposition que nous venons d'énoncer. En effet, ces vibrations transversales, admises par Fresnel, puis, données par l'auteur des Exercices comme résultat du calcul et spécialement comme une conséquence de la tbéorie des ondes planes, dans les Mémoires des 3i mai et 7 juin i83o, se trouvent déduites des intégrales générales du mouvement d'un système isotrope, à la fin du Mémoire que M. Poisson a lu à l'Académie des Sciences, le 1 1 octobre i83o.