pour / = o, des conditions de la forme

(2) m = Wo{x, y,z), hix^=^uji{x, y,z), ..., D^ ' C7 =- C7„^i(^, j, :;).

Enfin concevons que,

?(^»S, -/) et f{x,f,z)

désignant deux fonctions des variables

a, S, 7 et x, j, :;,

on pose, pour abréger, comme dans le deuxième Volume des Eœercices [page 167 (')],

( 9(^'S,y)/(^, j, ^) ^^^ r" r" r- r- r^ r^ , . . dxcD. dedu. dy dv

2SJ 27:

Alors, en vertu de la formule (3 1 1) du Mémoire Sur f application du calcul des résidus aux questions de Physique mathématique (-), on trouveia

p e** F(g/— I, gy/— I, yy/— I, .v) — F[av/— 1, ê/— 1, yy/— i- ^(.r. >-, g)]

Il est bon d'observer que, dans la formule (4), l'intégrale relative à

T disparaît quand on a

Ajoutons qu'après avoir développé, dans le premier des termes que renferme la valeur de cr, la fraction qui a pour dénominateur le binôme

on doit avoir soin de remplacer les exposants de gt par des indices.

Dans les applications que l'on peut faire de la formule (4), il est bon de se rappeler que, d'après la définition même des fonctions de x, v, z représentées par la notation

on a généralement (Tome II des Exercices de Mathématiques, p. 168)

(») OEiwres de Cauchv, S. II, T. VII.

(*) Id. " S. II, T. XV.

Observons encore qu'en vertu d'un théorème donné par M. Poisson dans le Mémoire du 19 juillet 1819, on a généralement

/ = — / / t'&mp{{x -hO.tco'&p, y + ^t'à\npco?>q, z-\-Q.t^'mp?>'mq) drj dp.

De plus, on peut de l'équation (6) tirer celles que l'auteur des Exercices de Mathématiques a données dans plusieurs Mémoires présentés à l'Académie en i83o, ou, ce qui revient au même, on peut de l'équation (6) déduire la formule

^0^4- cy^-\- idey + 2eya + 2/ao)^ t f[x, y, z) dt

i / COS(a;

tcos,p ts\npcos,q l &in p s\n g\ dr/ dp

dans laquelle on a

(8) '$^z=i^{cosp, sin/>cos7, sinpsinq), en supposant

(9) ^'(x, y, z) = ax^+ by2 + CZ-+ adyz + aezx + 2fxy, et les constantes

a, b, c, cl, e, f liées aux constantes a, b, c, d, e, /, de telle sorte que les équations

ax -}- fy -h ezr=\, fx+by-hdz^^y, ex -hdy -{- cz =^z

entraînent les suivantes :

ax H- fy + ez = ^, fx + by --[- dz = /, ex h- dy -f- cz == -.

Pour montrer une application des formules qui précèdent, considérons un cas particulier traité par l'auteur des Exercices, non seulement dans le Bulletin des Sciences à' 'à\n\ i83o, mais aussi dans les Mémoires

des 12 avril et 17 mai de la môme année; et supposons que, le second membre de la formule (i) étant réduit à zéro, on pose, dans cette formule,

F(J7, j, z, t) — t'— {ax^+ 1>Y^+ cz^-h idyz + lezx 4- ifxy)\

cette même formule deviendra

(10) D?CT = (al)l + b\)]. + cm + 2rfDyD-+ 2eD-D^+ 2/D^D^)ct. Cela posé, si l'on désigne par

tsi{x,y,z) et ^\{x,y,z)

les valeurs initiales des fonctions

T^^ et D/Gt;

si d'ailleurs, en attribuant à $ une valeur positive déterminée par le système des formules (8) et (9), on pose, pour abréger,

■ , - cos/> sinpcos7 sinosiiu/

et, de plus,

(12) Q ■= {abc — ad" — be'' — ef- -^ 'i-defY , on trouvera [5w//e/m d'avril i83o (')]

Si les fonctions

rs{x,y,z), n(jc, 7, s)

n'ont de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs numériques de X, j, z, les intégrales définies que renferme le second membre de la formule (i3) n'auront de valeurs sensibles que pour des valeurs de

( ') OEuvrcs de Cauchy, S. II, T. H.

>T, y, z, t propres à vérifier sensiblement les formules

OU, ce qui revient au même, les formules

tcosp ts'mpcosq ts'mpsinq ^■+-T^=o, /+ 1 '-=o, Z. + -, =o.

Or, de ces dernières, jointes à l'équation (8), on tirera

ou, ce qui revient au même,

(i4) ^- — a^-H- 1)7'+ cz^-\- 2dyz -+- -iczx + i{xy.

Donc la formule (i3) conduira aux conclusions que l'auteur des Exercices a énoncées dans le Mémoire du 12 avril i83o [wj/rle XX^ Cahier du Journal de l'École Polytechnique ( ' )], et que nous allons reproduire.

Supposons que l'équation

Wixs = {a\)l~\- bDl+ c\)l-\- 2cl\)y\).^+ -ieD.J^^^ 2fY)^\iy)w

se rapporte à une question de Mécanique ou de Physique dans laquelle t représente le temps et x, y, z des coordonnées rectilignes; supposons d'aûleurs que les valeurs initiales de xs et de D^cr soient sensiblement nulles pour tous les points situés à une distance sensible de l'origine des coordonnées. Au bout du temps t, la variable gî n'aura de valeur sensible que dans le voisinage de la surface du second degré représentée par l'équation (i4). Cela posé, concevons que la quantité rar dépende des vibrations très petites d'un corps solide ou d'un fluide pondérable ou impondérable, et que ces vibrations, d' abord produites dans le voisinage de l'origine des coordonnées, se propagent dans l'espace, et donnent ainsi naissance à une onde sonore ou lumineuse. La surface de l'onde coïncidera, au bout du temps /, avec celle de l'ellipsoïde représenté par l'équation (i/j)- Par suite, la vitesse du son ou de la lumière, mesurée suivant le rayon vecteur r de cet ellipsoïde, sera la quantité représentée par le rapport j-

(1) OEuvres de Cauchy, S. II. T. I.