C. R., t. XIV, p. 740 (23 mai i
J'ai montré, dans le Bulletin de la Société philomathique, comment on pouvait intégrer une équation aux dérivées partielles du premier ordre, quel que fût le nombre des variables indépendantes œ,y, ..., et obtenir directement l'intégrale générale, c'est-ii-dire, la valeur générale de l'inconnue assujettie à la double condition de vérifier cette équation aux dérivées partielles, et de se réduire, pour une valeur donnée de la variable x, à une autre fonction donnée des autres variables
indépendantes j, Comme on le sait d'ailleurs, l'intégrale générale
peut aisément se déduire d'une intégrale particulière qui renferme autant de constantes arbitraires qu'il y a de variables indépendantes; et, dans une précédente séance, M. Binct a déduit du calcul des variations une métbode propre à fournir des intégrales particulières de cette espèce. Je vais indiquer aujourd'hui un moyen fort simple de résoudre directement ce dernier problème.
Considérons d'abord, pour fixer les idées, une équation aux dérivées partielles du premier ordre entre deux variables indépendantes x,}\ et l'inconnue z. Cette équation sera de la forme
et si l'on pose, pour abréger,
elle deviendra
Soit maintenant
une valeur de z- qui, renfermant deux constantes arbitraires a, 6, ait la double propriété de vérifier l'équation (i), et de se réduire, pour une valeur donnée ^ de la variable x, à une certaine fonction de r, a, Ç représentée par f( y, a, 6), en sorte qu'on ait identiquement
L'équation (3), différentiée par rapport à y, donnera
Cela posé, concevons que des équations (3) et (4), résolues par rapport à a, €, on tire
M, ^^ étant des fonctions déterminées de x, y, z, q-, et nommons
ce que deviennent u et v pour x = H. Les valeurs de a, Ç, tirées des équations
seront précisément
(7) a:r=U, ê^rV.
D'ailleurs, en considérant ^ et ^ comme des fonctions de x,y, déterminées par les équations (3) et (4)» ou, ce qui revient au même, par les formules (5), on tirera de la seule équation
(litÏÏM'ontiéc successivement par rapport à x et par rapport à y,
Dylf -+- Dy- 1);/' + DvV 1)7'' =0;
puis, en ayant égard aux formules
on trouvera
! Dy u + q 1); w + Dy 7 D^ // =z o".
Enfin, si l'on désigne par
les dérivées partielles de la fonction différentiée successivement par rapport à
^y Jy --y Py 7»
alors, en considérant toujours z, p, q comme fonctions de r, )-, on tirera de la formule (2), différentiée par rapport à y,
( 9 ) Y 4- ry Z -+- P \)yp -^ Q Dy q — o,
et de cette dernière, combinée avec les formules (8),
(10) V i)^u + Q Dr" 4- {l^P + Qq) 1>^" - ( V + vZ) l),,u z^ o.
Si l'on suppose que p soit éliminé du premier membre de la formule (10) à l'aide de l'équation (2), ce premier membre se réduira simplement, ou à zéro, ou à une fonction déterminée
. • ^'^{•^yyy^yq)
de x,y, z, q. Mais cette dernière hypotbèse est inadmissible; car, si elle se réalisait sans que la fonction ^{x,y, z, q) se réduisît identique-
Or.uvres de C — S. I. t. VI. • • 54
ment à zéro, l'équation
J(J7, j, z,rj)=.o
établirait entre
une relation qui devrait subsister pour la valeur^ de x\ et par suite l'équation
établirait une relation entre les valeurs de E, y, qui peuvent être choisies arbitrairement, et les valeurs de z, q tirées des formules (6). Or, c'est là précisément ce que l'on ne saurait admettre, attendu que les formules (6) peuvent être remplacées par les équations (7), et que celles-ci peuvent être regardées comme propres à fournir les valeurs dés constantes arbitraires a, ^ correspondantes à des valeurs données ({uelconques de j, z, q. Donc la fonction §[x,y,z,q) doit se réduire identiquement à zéro; et, lorsqu'à l'aide de la formule (2) on élimine/v de l'équation (10), cette dernière devient une équation linéaire aux dérivées partielles, à laquelle doit satisfaire w, considéré comme fonction des variables
Donc, en définitive, la fonction de x, y, z, q représentée par u est une intégrale particulière de l'équation linéaire aux dérivées partielles
dans laquelle on suppose/? déterminé par la formule (2); et cette intégrale particulière est celle qu'on obtient quand l'inconnue « est assujettie à prendre la valeur U pour ^' == \. On prouvera de même que la fonclion k> est encore une intégrale particulière de l'équation linéaire (ji), savoir, l'intégrale qu'on obtient quand l'inconnue « est assujettie à prendre la valeur V pour x = \. En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
Théorème I. — Supposons que, étant donnée l'équation aux dérivées partielles du premier ordre, et à deux variables indépendantes,
Y{x,y, z, Ï)^Z, UyZ) r=o,
on cherche V intégrale par liculière qui vérifie, pour x = ^, la condition
i[y, a, Ç) désignant une certaine fonction de la variable indépendante y et des deux constantes arbitraires a, Ç. Soient d'ailleurs
a = U, ê = V les valeurs de ol, ê déduites des équations simultanées
U, V seront généralement des fonctions déterminées des trois variables
et, pour résoudre la question proposée, il suffira d'éliminer q entre les formules
dans lesquelles u, v désigneront deux valeurs particulières de l'inconnue d'une équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre et à quatre variables indépendantes
Si l'on représente par
les dérivées partielles de
prises par rapport à
l'équation linéaire dont il s'agit sera ce que devient la suivante PD^8 + QlV« + (P/> + Q7) r),«-(Y + 7Z) D,/«^o,
quand on élimine p à l'aide de la formule
et les deux valeurs particulières m, v de l'inconnue « seront celles qui se réduisent, l'une à U, l'autre à V, pour x = ^.
La méthode et les raisonnements, à l'aide desquels nous avons établi
le théorème qui précède, peuvent être appliqués dans tous les cas à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre, quel que soit d'ailleurs le nombre des variables indépendantes; et l'on se trouve ainsi conduit au théorème général que nous allons énoncer.
Théorème II. — Soit m une fonction inconnue des n variables indépendantes
assujettie à la double condition de vérifier : i° quel que soit t, l'équation aux dérivées partielles du premier ordre
F('^; y,Z, . . . , t,TiJ, D^tn, DyCT, D;GT, . . ., DiC7)=:0;
2" pour / = T, la formule
dans laquelle a, 6, y, . . ., 0 désignent des constantes ai^hitraires dont le nombre est égal à celui des variables œ, y, z, . .., /. Posons d'ailleurs, pour abréger,
DyC7 =: q,
et soient
les valeurs de a, 6', y, ... tii^ées des formules
ro = {{x, r, 2, . . . , a, 6, y, p — \)J{x,y,z, . . . , a, S, y, 7 — D^.f(j;, j-, ^, . , . , a, 6, y, /• — \i.J{x, y, z, . . . , oc, 6, y,
U, V, W, ... r^ep/'ésenteront des fonctions déterminées des 'in — i quantités variables
X, y, z, ..., CT, p, q, r, ...;
et, pour résoudre la question proposée, il suffira d'éliminer
Py ^h '■
entre les formules
OLr=:U, 6 := (', y = W, . . . ,
dans lesquelles
désigneront n valeurs particulières de V inconnue d'une équation linéaire, aux dérivées partielles du premier ordre, et à in variables indépendantes. Si l'on représente par
les dérivées partielles de
^{•^,yi'-, •• • > t,m, p,ri, /•,..., s) prises par rapport à
l'équation linéaire dont il s'agit sera ce que devient la suivante P Dx« + Q Dj-« 4- R I),« + . . . + S !),«
quand on élimine s à l'aide de la formule
Y{jc,y,z, . .,, t,Ts5,p,q, r, .. ., s) = o; et les n valeurs particulières
de l'inconnue a seront celles qui se réduisent respectivement à
U, V, W, ..., pour / = T.
Puisque l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre peut immédiatement se déduire d'une intégrale particulière qui renferme autant de constantes arbitraires qu'il y a de variables indépendantes, le théorème II réduit évidemment l'intégration d'une équation quelconque aux dérivées partielles du premier
ordre à l'intégration d'une équation linéaire du même ordre, dans laquelle le nombre des variables indépendantes est doublé. On peut d'ailleurs, comme on sait, réduire l'intégration d'une équation linéaire du premier ordre à l'intégration d'un système d'équations différentielles. Mais cette seconde réduction conduit rarement à des équations différentielles intégrables; et, au lieu de l'opérer, il sera généralement plus avantageux d'appliquer directement à l'intégration de l'équation linéaire les formules générales que j'ai données dans un Mémoire lithographie de i835. En effet, posons, pour abréger,
^^ — D/,8 ^g^— Dy8 g — D,.« — ...
et
L'équation linéaire, que le théorème II substitue à l'équation proposée, deviendra
et l'on tirera successivement de cette dernière
r = V +VV +V2V +...,
On obtiendra ainsi directement les valeurs de
développées en séries qui, dans plusieurs cas, pourront être sommées, et qui d'ailleurs pourront toujours être employées tant que la valeur numérique de la différence/ — t ne deviendra pas assez grande pour que ces séries cessent d'être convergentes.
Dans d'autres Articles je donnerai de nombreuses applications des
principes que je viens d'établir, et je montrerai comment ces principes peuvent être étendus à des équations d'ordre supérieur au premier, ou, ce qui revient au même, à des systèmes d'équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre.
Calcul intégral. — Sur une intégrale remarquable d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre.
G. R., T. XIV, p. 769 (3o mai 1842).
Considérons une équation aux dérivées partielles du premier ordre entre une inconnue trr et n variables indépendantes
dont la dernière t peut être censée représenter le temps, dans les problèmes de Mécanique. L'intégration de cette équation pourra se réduire à l'intégration d'un système d'équations différentielles du premier ordre, ou bien encore, comme je l'ai remarqué dans la séance précédente, à l'intégration d'une seule équation linéaire aux dérivées partielles qui renfermera -m variables indépendantes, et qui ne sera autre chose que l'équation caractéristique correspondante au système dont il s'agit. D'ailleurs, parmi les intégrales de ce système, il en est une (jui ne contient d'autres constantes arbitraires que celles qui peuvent être censées désigner les valeurs initiales des variables indépendantes X, y, ^, ... et de l'inconnue cr. Or il est important d'observer que cette intégrale du système d'équations différentielles est en même temps une intégrale de l'équation donnée aux dérivées partielles. Ajoutons qu'elle se déduit immédiatement par élimination de n intégrales particulières de l'équation caractéristique, savoir, de celles qu'on obtient quand on prend successivement pour valeurs initiales de l'in-
connue de cette équation caractéristique chacune des quantités variables ^
Telles sont les propositions principales que je vais établir dans la présente Note.
Analyse.
Soit
(i) F{a;,f,z, ..., t,rj:y,p,q,r, . . . , s) = o
l'équation donnée aux dérivées partielles, dans laquelle on suppose p=iD^rn, qzzzByTjj, /-^rD-cr ..., s:=D/GT,
et nommons
les dérivées partielles de la fonction
différentiée successivement par rapport à chacune des quantités variables
x, y, z, ..., t, GT, p, q, r, ..., s.
L'intégration de l'équation (i) pourra être réduite, soit à l'intégration des 2 71 — 1 équations différentielles comprises dans la formule
/ dx dy dz dt rte
__ dp dq dr
- (X+y>II) ~ (Y-+-^J1) ~ -(Z + /-II) '
S étant déterminé en fonction de
X, j, z, ... , t, GT, p, q, r, ...
par l'équation (1), soit à l'intégration de l'équation caractéristique
( PD^« + QD^8-t-RD-» + ...+ SD,« + (P/> + Q7 -i-R/-+...+ S5)D„« ^ M -(X+/?II)Dp»-(Y + ^n)D^«-(Z + A-n)D,8-... = o.
Si, en particulier, on désigne par
n fonctions déterminées de
X, y, z, . . ., t, uy, p, q, r, ...
dont chacune, étant prise pour valeur de «, vérifie l'équation (3), et
par
n constantes arbitraires, il suffira, pour obtenir une intégrale de l'équation (i), d'éliminer
entre les formules
pourvu toutefois que les valeurs de
tirées de ces formules, se réduisent, pour une valeur donnée t de la variable /, à des expressions de la forme
C7= H-^,f, :■,..., ce, e, y, •■■, 0), p-i)-,{{x,r,z,...,o'.,6,y,...,e), q = Dyi{x,y,z, ..., a,S,y, ••■, 0), r = ï)J{.x,y,z, ..., c(,ë,y, ••.,0),
Or, pour que cette condition soit remplie, il suffit évidemment que les
valeurs de
CT, p, q, r, ...,
tirées des formules (4), vérifient, pour / = t, les suivantes
et comme, en supposant qu'il en soit ainsi, les formules (4) fourniront, avec une valeur de ct propre à représenter une intégrale parti-
OEuvresc/eC — s. 1,1. \l. ^ 55
kZh COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
culière de l'équation (i), les dérivées/?, g, r, ...de cette intégrale prises par rapport k oc, y, :■, . . . , nous devons conclure qu'en vertu des équations (4) les conditions (5) seront vérifiées pour une valeur quelconque de t, si elles se vérifient pour la valeur particulière t = z.
D'autre part, si l'on regarde les équations (4) comme propres à déterminer
en fonction de
on tirera de ces équations, différentiées par rapport à x,
Da;?i +Dct« D^GT + \)piL \)xP + D^« \)xq + D,.« Da;/* -f-. . . — -O, Dx<^ +Dci(' D^m + Dpf^ Dx/> + D^p \):^q + ^,.v D^r-h-. . . =: o, Da;«'M-DCTivDa;rn4-DpP^'DxPH-D^MP'Da;^4-D,.(vD^/'+. . . = o, ■ 1
et, par suite,
(^) ^^-^— S(±D^uD,.D,.v...)'
chacune des sommes représentées à l'aide du signe S étant une fonction alternée dont les divers termes se déduisent les uns des autres par un ou plusieurs échanges opérés entre les seules lettres z^, v, w, .... Comme d'ailleurs l'équation (6) devra continuer de subsister quand on échangera entre elles les lettres
.37 et /, p et q, a et v, ou bien les suivantes
X Qi z, p et ;•, a et w, etc., il est clair que les conditions (5) pourront s'écrire comme il suit :
S(± \):^U Y)pV\)qW...)
è{±Dr^UÏ)p^DqW...)
(7) \ __ S(±: Dyi' DguBpW...)
Désignons maintenant par
les valeurs de a qui, étant propres à vérifier l'équation (S), se réduisent respectivement à
X, y, -, . . . , CT, /?, q, r, . . . ,
pour / = T. Les intégrales des équations (2) seront de la forme
^, y], 'C, ..., oj, 9,7, '},... étant des constantes arbitraires propres à représenter les valeurs initiales de œ, y, z-, . .., ui, p, q, r, . . .; et si, entre les seules équations
(9) ^—^^-y rj—^,,K = ^, ■■ -, co = 12,
on élimine^, q, r, . . ., on obtiendra une équation résultante
dont le premier membre K renfermera uniquement les quantités variables X, y, z, ...,/, cnr avec les constantes arbitraires
^, ri, ç, —
Cela posé, pour savoir si l'équation (10) représentera ou non une intégrale particulière de l'équation (i), il suffira, d'après ce qui a été dit ci-dessus, d'examiner si les formules (7) sont ou ne sont pas identiquement vérifiées, lorsqu'on réduit les fonctions
aux fonctions - . •
il suffira môme d'examiner si, dans ce cas, les équations (7) deviennent ou non identiques pour une valeur particulière de /, par exemple pour la valeur / = t. Or c'est là en effet ce qui arrivera, comme on peut
s'en assurer en attribuant à /, non pas précisément la valeur t = t, pour laquelle les derniers membres de la formule (7) se présenteront sous la forme -> mais une valeur très voisine de t. Entrons à ce sujet dans
quelques détails.
Si l'on pose, pour abréger,
n«— g- D^8 + -g- Dj,«-}- -D, «+... + (g/? + -^7 + -/•+... 4-5 j DcT^
et
alors, en attribuant à la différence / — t un module assez petit pour que les séries demeurent convergentes, on aura
a; = a? 4- Vj7 h- V- o^ h- ... ,
^ — y + Vj + V V + . . . ,
£2 = GT 4- VCT H- V^ CT 4- .
D'ailleurs, si l'on considère la différence t — t comme une quantité très petite du premier ordre, on pourra en dire autant de l'intégrale
— f n«^^ = — (f — t) n«4- r {t — ':)\)iU>idt,
qui se réduira sensiblement à
et les divers termes d'une série de la forme
seront respectivement des quantités du premier, du second, du troisième, ... ordre. Cela posé, en se bornant à écrire, dans les développe-
ments do x, :j, %, . . ., 0, les termes du premier ordre, on aura
-t) nj7 + --.
ïï
ij
