II

6)=:GT — ( g/? + -^7 -I- gr+. . . 4-.VJ (f — t)+....

Or, en supposant les équations (4) réduites aux formules (r i), il suffira, pour obtenir l'équation (6), de tirer la valeur de D^-în des formules (11) différentiées par rapport à .r, en considérant

et, par suite,

comme des fonctions explicites des seules variables x, y,z, . . .,t. Mais, dans ce cas, la première et la dernière des formules (ii) donneraient

tandis que l'on tirera des autres

D'ailleurs, on conclura des formules (12)

(i4) D^us

Dx[wp-h^q-^^r-h...-{-s)+.

Dx(|K-

Enfin, en réduisant / — Ta zéro, on verra les formules (10) et (i4) se réduire aux suivantes :

(l5) D,(|Wo, I)J|^zz:o,

(16) Da;CT

D'autre part, en considérant

GT, p, q, r, .. ., s

comme fonctions de x, y, z, ..., t, on tirera de l'équation (i), ditférentiée par rapport a ce,

(17) PD^/?+ QD^^ + RD^/- + ...4-SD^.v = o, ou, ce qui revient au même,

et, en vertu de cette dernière formule jointe aux équations (i5), on aura, pour / = t,

Donc l'équation (i6) donnera simplement

(19) • D^CT=i/A

Donc, dans l'hypothèse admise, et pour/ = t, l'équation (6) se trouvant réduite à la formule (19), la première des formules (7) se réduira elle-même à une équation identique

La même remarque étant applicable à chacune des équations (7), il en résulte que l'équation (10) sera, comme nous l'avions annoncé, une intégrale particulière de l'équation (i).

Il est bon d'observer que, de l'équation (i), jointe à la formule (2), on déduit immédiatement la suivante

dx dy dz dt dm

dp dq dr ds

~ -(X+pH) ~ -(Y + <7n) -(Z + rlI) *" -(S + ^Il) dont les intégrales seront de la forme

-Y-, ij, 20, . . ., Q, ($, ^y ^y •••» S désignant des fonctions déterminées de X, y, z, ..., t, XTS, p, q, r, ..., s, et les constantes arbitraires

ç, f], Ç, •••, w, 9, x» ^» •••' « étant liées entre elles par l'équation

Si des équations (21) on élimine s et ;, à l'aide des équations (i) et

(22), on retrouvera : i*" les formules (8); 2" une équation qui se déduira de ces mêmes formules. On peut donc aisément revenir des formules (21) aux formules (8), et, par conséquent, à l'équation (10). Il y a plus, pour obtenir cette dernière équation, il suffira toujours d'intégrer les équations différentielles comprises dans la formule (20), de manière que l'on ait, pour / = t,

(23) x-=.\^ y=--r], - = C, ..., GT — w, p=-'i, ^ = Z, r = ']/, ..., s = ç,

puis d'éliminer

p, g, r, ..., s, cp, 7, <];, ..., ç

entre les intégrales ainsi obtenues, jointes à l'équation (21).

Puisque l'intégrale (10) renferme, avec la constante donnée t, n constantes arbitraires

elle est, par rapport à l'équation (i), ce que Lagrange appelle une solution complète. Pour déduire de cette solution complète l'intégrale générale, il suffira, comme on sait, de poser

ce qui rendra K fonction des seules constantes arbitraires

K, -fi, K, ■■■,

puis d'éliminer ces mêmes constantes, devenues variables, entre les équations

(25) K:=0, D|K = 0, D^,Kr=:o, D^K = o,

Alors l'inconnue cr aura nécessairement, avec les variables indépendantes

une relation qui dépendra de la forme de la fonction arbitraire représentée par ï{ijc, y, z-, . . .). D'ailleurs, pour t = 7, les formules (9) coïncideront avec les n premières d'entre les équations (23), c'est-à-dire.

EXTRAIT iV 162. Ul

eu égard à la condition (24), avec les formules

et l'élimination deE, y], l, ... entre ces dernières formules produira la suivante :

(27) TsJ = f{x,y,z, ...).

Donc l'équation (10) a cela de remarquable, que, de cette dernière équation, jointe à la formule (24), on tire précisément l'intégrale générale présentée sous une forme telle que la valeur de l'inconnue cr, fournie par cette intégrale, se réduit à la fonction f{x,y,z-, ...), pour une valeur donnée z de la variable /.

Appliquons maintenant les principes que nous venons d'établir à quelques exemples.

Supposons d'abord l'équation (r) réduite à la suivante :

( 28 ) pqrs — xyzt = o.

Alors, en multipliant tous les rapports qui composent les divers membres die la formule (20) par le produit

(29) pqrs-xyzt,

on verra cette formule se réduire à

pdœ=iq dy =.vdz^^ s dt r= {diij = x dp ^= y dq = z dr ^ l ds ;

puis on en conclura

ja ^ ^ f'v fh' fi'' __ ''- (i"^ __ dt

par conséquent

.r ^ 7 Yî r Ç t

2' \dx!S—%x dx = ^ y dy =f-z dz = ^-fdl;

OEuvres de C. — S. I, 1. VI. 56

par conséquent

Enfin, en ayant égard à l'équation (22) ou, ce qui revient au même, à la formule

(32) 9X^ç = çyîCt, on tirera de la formule (3i)

Or, il est facile de s'assurer que, dans le cas où l'on regarde H, y], '(, w comme désignant des constantes arbitraires, la formule (33) représente une intégrale de l'équation (28) ou (29). Car on tire de cette formule, en la différentiant par rapport à x, 7, z ou /, après avoir pris les logarithmes des deux membres,

P'^-zï—T^^ ;;r:rr/^

Cî — co ^"^ — Ç* 5J — 0) f-—-!:-'

par conséquent

Si maintenant on veut obtenir l'intégrale générale de l'équation ( 28 ), savoir, la valeur de cî qui se réduit pour ^ = t à une fonction donnée î[œ,y,z.) des trois variables œ, 7, z, il suffira de poser dans la formule (33)

puis d'éliminer ^, y], "( devenues variables entre l'équation

(34) r^-f(^^,in,C)-j^^ ^^, r,^ (^, ^,) (^2 Ç2) (^. ^2)

et les trois dérivées de cette équation successivement différentiée pai rapport à chacune des trois quantités ^, yj, '(. Si l'équation donnée, étant de la forme

pqr . . .s ■=. xyz. . .1,

renfermait /i variables indépendantes, alors, en opérant comme dans l'exemple précédent, on verrait l'équation (lo) se réduire à

(^.2__ l^){f-- Yi^) (:;2 ^2) , (^2- T^).

Si l'équation donnée était de la forme

alors P, Q, R, ..., S seraient seulement fonctions de/>, q, r, de l'équation (20) réduite à

d.T dy dz

dt

dz

S P/7-4-Q7 + R/-^...4-S5 dp dq dr ds

S, et.

on tirerait

UJ — W

Pp + Qq -hRr-{-

Ss

Alors aussi, pour obtenir l'équation (10), il suffirait d'éliminer /^, <y, r, ... entre les formules (38) jointes à l'équation (Sy). Ainsi, par exemple, si l'équation (Sy) se réduisait à

(39) pi-^g^-i-r'-^...-}-s---=i, l'équation (10) deviendrait

(40) (cT-(o)-=(^-->)2-+-(7--ri)2+(:;-C)» + ...+ (f--)*.

Dans un autre article, je comparerai les résultats des deux méthodes d'intégration exposéqs, d'une part, dans cette Note, d'autre part, dans

kkï COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

le Bulletin de la Société philomathique de rSu). Cette comparaison montre qu'il existe entre les fonctions

et les fonctions

(les relations qui pourraient encore se déduire des principes établis dans un Mémoire de M. Jacobi, combinés avec les propositions que nous avons obtenues.

Calcul intégral, — Addition aux deux Notes sur l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre.