C. R., T. XIV, p. 88i, i3 juin
H ne sera pas sans intérêt de comparer les résultats obtenus dans ces deux Notes avec ceux qu'ont trouvés MM. Jacobi et Binet, ainsi qu'avec ceux que j'avais trouvés moi-même dès l'année 18 ic), dans le Bulletin delà Société philomathique (janvier et février).
Etant donnée une équation aux dérivées partielles du premier ordre, à un nombre quelconque de variables indépendantes, on peut toujours déduire l'intégrale générale d'une quelconque des intégrales particulières, que Lagrange ^i^y^^W^ solutions complètes , et qui renferment autant de constantes arbitraires qu'il y a de variables indépendantes. Par suite, on peut se proposer, ou de trouver directement l'intégrale générale, ou de trouver directement une solution complète quelconque, ou enfin de trouver directement une certaine solution qui mérite d'être remarquée, et qui renferme seulement les constantes arbitraires propres à représenter les valeurs initiales correspondantes ([ue l'on attribue aux variables indépendantes dans l'intégration du système d'équations différentielles substitué à l'équation proposée. Le
premier problème a été complètement résolu dans mon Mémoire de 1819, le second dans une Note du 23 mai dernier; le troisième dans un Mémoire de M. Jacobi, que renferme le Tome III du Journal de M. Liouville; puis dans la Note présentée à l'Académie le 3 mai par M. Binet. La solution complète dont MM. Jacobi et Binet se sont spécialement occupés est aussi celle que, dans la séance du 3o mai, j'ai déduite de la méthode exposée dans la séance précédente, et caractérisée par quelques propriétés importantes. Il y a plus, dès 1819, j'avais déjà constaté l'existence de cette solution complète dans les cas particuliers que j'avais choisis pour exemple, et j'avais donné, dans le Bulletin cité, page 18, certaines formules à l'aide desquelles on peut établir généralement cette existence, comme l'a observé M. Jacobi. J'ajouterai que les formules dont il s'agit, ou plutôt celle qui en dérive, et que M. Binet a déduite du Calcul des variations, peuvent conduire elles-mêmes aux résultats que j'avais obtenus dans le Bulletin de la Société philomal/iique.
Analyse.
Intégrer l'équation aux dérivées partielles
(i) F(.r, j, :?, .. .,t,Tn, p,q, r, . . .,.ç) — o,
dans laquelle
c'est trouver pour
m, p, rj, r, ..., s
des fonctions de
qui vérifient simultanément la formule (i) et l'équation ( 3 ) drn^p dx 4- (] dy -'^ r dz -i- . . . + s dl.
Lorsque les n variables x, y, z, ..., t restent indépendantes entre elles, l'équation (3) doit être vérifiée, quelles que soient leurs valeurs. Donc elle doit être vérifiée quand toutes ces valeurs, à l'exception d'une
seule, deviennent constantes, c'est-à-dire qu'alors l'équation (3) entraîne les formules (2).
Supposons maintenant que les i^ — i variables
deviennent fonctions de / et de constantes arbitraires. Les valeurs de
GT, />, q, r, ..., s,
qui vérifient les formules (i) et (3), pourront elles-mêmes être considérées comme des fonctions de / et des constantes arbitraires dont il s'agit. Désignons, dans cette hypothèse, à l'aide de la caractéristique S, une ditférentiation relative à une ou à plusieurs de ces constantes arbitraires, devenues variables, mais variant indépendamment de /. On tirera de l'équation (3)
d §Tn =z p d da; -+- q d ôj- +- ... -h doc èp -+- df §q -+-... ^ dt §s,
d{dr^ — pèx — q dy —. . .) ^^ dœ dp + dy àq -f-, . . i- dtès — dp èx ~ dq èy — ....
Or cette dernière équation se réduira simplement à une équation différentielle linéaire de la forme
(4) d{àm — p èx — q oy — r ^ — . . .) —- Q{ou^ — p ^œ — q èy — r ^z — . . .) dt, si l'on choisit le facteur G, de manière à vérifier la condition
\ {9p dt — dp) èx + (Oq dt — dq) by -j- {Br dt — dr) or + . . .— Q dt ônr
{ -i- dx èp + dy èq -h dz àr -\- . . . ^ dt ds =: o.
D'ailleurs, si l'on nomme
les dérivées partielles de la fonction
prises par rapport aux quantités
on tirera de l'équation (i), différentiée par rapport aux constantes arbitraires,
(6) X a^ + Yôj + ZÔ2 + . . ! + n ÔCT + P 5/> + Q a^ + R oV + . . . + S Ô5 = o; et, par suite, pour vérifier l'équation (5), il suffira d'assujettir
Q, X, y, z, ..., CT, p, q, r, ,.., s,
considérées comme fonctions de /, à vérifier la condition
—9dt
[Bpdt—dp 0(]dt — dq Qrc
-dr
^ j dx dy dz
dt
Or on tire de la formule (7)
puis de cette même formule, combinée avec l'équation (3), dx dy dz - dt dm
dp dq dr
^ -(X+/Jn) '~~ -{Y-\-q\l) ~ - (Z 4- /-H)
Pour passer immédiatement de la formule (7) à la formule (9), il suffit d'observer que des fractions égales entre elles sont encore égales à celle qu'on obtient quand on divise la somme des numérateurs de quelques-unes de ces fractions par la somme de leurs dénominateurs, et qu'on peut même, dans ces deux sommes, substituer aux deux termes de chaque fraction le produit de ces deux termes par un facteur arbitrairement choisi.
Concevons à présent que, s étant éliminé de la formule (9) à l'aide de l'équation (i), on intègre les 2n — i équations différentielles que comprend la formule (9). Leurs intégrales générales renfermeront in — i constantes arbitraires
I, Y), Ç, ..., co, 9, X' 4^' •••'
qui pourront être censées représenter des valeurs particulières des
variables
^, y, c, ..., cî, p, q, r, ...
correspondantes à une valeur donnée t de la variable /; et ces intégrales elles-mêmes pourront être présentées sous les formes
(lO)
les lettres
(S=o, ^=x, âi = 'J^,
cx, ^, r-, ..., .Q, (x\ .^^ ,j|^ ..,
désignant des fonctions déterminées de x, y, z, ,. . , t, xn, p, q, r, . . . , qui ne renfermeront aucune des constantes arbitraires, et qui se réduiront respectivement à
or, y, z, ..., nr, p, q, r, ...,
pour la valeur t de t, en sorte qu'on aura, pour / ^= t,
Lorsque
Q, ^, J, -, •■•, HT, p, q, /•, ...
sont déterminés, en fonction de / et des constantes arbitraires, par les formules (8) et (ro), alors, en posant, pour abréger,
et intégrant la formule (4) considérée comme une équation différentielle linéaire, on obtient, entre la valeur générale du polynôme
àjs — poœ — q dy — r dz — ...
et sa valeur initiale
ôw — ç de. — ySrt — ^ d^ — . . . ,
correspondante à / = t, une relation exprimée par la formule
(i3) ÔGT— /;(5j? - q èy — ro:; — . . . = 6(00) — 9Ô; —yor, — ■ho^. . .).
Jusqu'ici nous avons supposé que, dans les formules (lo), les constantes arbitraires
restaient indépendantes les unes des autres. Supposons maintenant (ju'elles se trouvent assujetties à vérifier certaines équations de condition
dont les premiers membres
représentent des fonctions données de
^, Tt, K, ■■■, ('h o, y, ']),
Si ces équations de condition sont telles (juc l'on ait
( 1 5 ) (5oj = 9 ôç 4- X 0"^ + '-P 0? -I" • • • )
la formule (i3) donnera généralement ( 1 6 ) (5cT rr /> ôjt 4- // ô y + /• (5-; H- . . . ;
en d'autres termes, pour que la différence
ÔCT — p d^ — q ôy — /' oz — ...
s'évanouisse, il suffira généralement que la différence
OW — o àû — X OY] — '^0, — ...
se réduise à zéro. Observons d'ailleurs que, chacune des équations (i4)
étant de la forme
f{l,n,^, . . ., co, 9, X, <];,...) =o,
si l'on en élimine les constantes arbitraires à l'aide des formules (lo), on obtiendra une autre équation de la forme
qui établira une relation entre les quantités variables a-, y, z, ..., CT, /J, V, /',
OJ^uyies de C. — S. I, t. M. ^7
Concevons à présent que les équations de condition, c'est-à-dire les formules (ï4), soient en nombre égal à ji. Si l'on en élimine
à l'aide des formules (lo), elles se transformeront en n autres équations
(17) 11= o. Dn = o, Db = o,
qui ne renfermeront plus que
et pourront servir à déterminer
xn, p, ç, r, ...
en fonction de
Voyons maintenant dans quels cas les valeurs de
ainsi obtenues, et la valeur correspondante de s tirée de l'équation (t) vérifieront la formule (3).
Pour que les valeurs de
^, y, z, ..., jjy, p, g, r, ..., s,
tirées des formules (i) et (10) et représentées par des fonctions déterminées de
deviennent propres à vérifier les équations (17), il suffit que, dans ces valeurs, les constantes arbitraires
^> 'n, C, ..., oj, 9, X, (];, ...,
cessant d'être indépendantes les unes des autres et de la variable /,
soient assujetties à vérifier les conditions (i4). Mais alors la valeur du
polynôme
dxn — p dx — qdy — r dz — . . .^ s dt,
qui était nulle, en vertu de l'équation (3), se trouvera augmentée cIl' la
quantité
ôct — p ojc ~ <i or — /■ dz ^ . . . ,
le signe o indiquant une différentiation relative au système entier des constantes arbitraires. Donc, pour que l'équation (3) continue de subsister, il suffira que les équations de condition établies entre les constantes arbitraires, c'est-à-dire les équations (i4), entraînent la formule (iG), ou, ce qui revient au même, la formule (i5). Donc, si les constantes arbitraires
E, ri, C, ..., w, 9, /, '^, ...
sont assujetties à vérifier n équations qui entraînent la formule (i5), l'équation (i), considérée comme une équation aux dérivées partielles du premier ordre, sera intégrée, c'est-à-dire vérifiée, en même temps (jue l'équation (3), par les valeurs de
cj, p, 7, /•, ...
tirées des formules (r;).
Eu résumé, par la méthode précédente, l'intégration de l'équation
différentielle
dm =: p djc -^ f] dy -h r dz + . . . -h s dt,
dans laquelle les 2/1 -f- i variables
sont liées entre elles par la formule (1), se trouve ramenée à l'intégration de la seule équation différentielle
qui ne renferme plus que in — i variables. D'ailleurs, en vertu de cette dernière équation, dont le second membre renferme les différentielles des seules variables
0) ne peut être qu'une fonction de ces variables, et rien n'empêche de
supposer ces mêmes variables indépendantes. Or, dans cette supposition, la formule (r5) donnera
(i8) D^(o=:9, D,,w = X, D,'Oj = ']^,
Si, pour fixer les idées, on représente par
la valeur de co, f(^,y],'(, ...) pourra être une fonction quelconque de ^, y], '(, ..., et les formules (i8) donneront
w= f{l,n,'c, . . .), 9=D^f(?,-o, ?,...), (^9) jx=î)r,f(ç,n,Ç,...),
d/ = D. f(ï,Yi,C,...),
Ces dernières formules représenteront, en effet, les intégrales les plus générales possibles de l'équation différentielle
Si l'on y substitue les valeurs de
tirées des formules (lo), on obtiendra" /^ autres équations
.•^ = o, OlL = 0, 3L^=o, . . .,
qui représenteront n intégrales de l'équation (3) jointes à la formule (i). Enfin, si entre ces n autres équations on élimine
on obtiendra une équation définitive
(20) Dii = o,
qui renfermera seulement les variables
Donc cette équation définitive sera une intégrale de la formule (i), considérée comme une équation aux dérivées partielles. Elle en sera même l'intégrale générale, puisque la relation établie par cette intégrale entre les n variables indépendantes
et l'inconnue cr dépendra de la fonction
c'est-à-dire d'une fonction arbitraire de /z — i variables indépendantes. Si l'on veut savoir à quoi se réduiront, pour t — ^., les valeurs de
^, p, q, '', • • • tirées des formules
4^ zr: O, 31L =: O, .3b := O, . . . ,
il suffira d'observer que, pour / = t, les formules (lo) se réduisent aux formules (i t), et que l'élimination des constantes arbitraires
entre les formules (n) et (19) fournit les équations
/ xnz= f(^,J, Z, . . .),
Donc la valeur générale de cî, fournie par l'équation (20), sera précisément celle qui a la double propriété de vérifier, quel que soit /, l'équation (i) considérée comme une équation aux dérivées partielles, et, pour / = T, la condition
Il est bon d'observer que, étant donnée la valeur initiale ï(x,y,z, ...) de l'inconnue gî, l'équation (29.), combinée avec les formules (2),
entraînera, pour / = t, toutes les formules (21), desquelles on déduira
immédiatement les formules (19), en substituant aux lettres
a-, y, z, . . ., CT, p, (/, r, . ..
les lettres
La même substitution suffira pour déduire la formule (i5) de l'équation (3) réduite, pour une valeur constante "z de /, à la formule
dz =z p dx ~h q dv -^ r dz + . . . .
Nous avons jusqu'à présent laissé la fonction i'(œ,y,z, ...), ou la valeur initiale de l'inconnue ct, entièrement arbitraire. Si cette valeur initiale était réduite à une fonction entièrement déterminée de ct et de n constantes arbitraires a, Ç, y, . . . , l'équation (20) représenterait, non plus l'intégrale générale, mais ce que Lagrangc appelle une solution complète de l'équation (i).
Enfin, au lieu de laisser les constantes arbitraires
indépendantes l'une de l'autre, ce qui permet de passer de la formule (i5) aux équations (18), on pourrait réduire séparément à zéro cbaque terme de l'équation (i5) en posant
ô; =1 o, . âr) = o, 0^ = 0, . . . , 5(0 = o,
c'est-à-dire, en supposant
indépendants des variables
Donc les seules équations
(23) A: = ç, iT = -/], 3i=C, ..., ^=co
fourniront des valeurs de
CT, p, q, r, ...
qui, étant exprimées en fonction de
et do
vérifieront simultanément les équations (r) et (3), quand on continuera de considérer H, -q, t, ..., w comme propres à représenter des constantes arbitraires. Si, entre les formules (23), on élimine
on obtiendra une certaine équation
très distincte de la formule (20), et qui représentera, non plus une solution complète quelconque de l'équation (i), mais la solution complète dont j'ai signalé diverses propriétés remarquables dans la séance du 3 mai. Cette solution complète sera encore celle dont l'existence a été constatée, dans mon Mémoire de 18 19, pour les cas particuliers traités dans. ce Mémoire, et pour tous les cas, dans les Mémoires de M. Jacobi et de M. Binet.
Les calculs ci-dessus développés deviennent plus symétriques lorsqu'aux divers rapports compris dans la formule (9) on joint le suivant
du
qui équivaut lui-même à chacun des autres. Alors aux intégrales (10) se joint une intégrale de la forme
-S étant une fonction déterminée de s, et ç une constante arbitraire liée avec les autres par la formule
Observons encore que l'on pourrait réduire à une constante donnée et non arbitraire, non plus la valeur particulière t de ^ mais la valeur
particulière de l'une quelconque des autres variables indépendantes, ou même de l'inconnue cj, ou bien encore d'une autre variable liée à
par une équation donnée. Dans ces diverses liypotbëses, en opérant toujours de la même manière, on obtiendrait, aulieudelaformule(i3), d'autres formules qui seraient toutes comprises, comme cas particuliers, dans la suivante :
( ÔGT — p à.v — ^ ô )- — r dz — ... — sdl
( := 0 ( âco — o de, — y on — 'ji ô^ — ... — çàz).
Dans l'équation (25), tout comme dans l'équation (i3), on peut supposer à volonté que le signe 0 indique des différentiations relatives, soit à tout le système des constantes arbitraires, soit à une partie de ce système. D'ailleurs, si, w, o, y, '|, ... étant fonctions de l, y], '(, ..., la formule (i3) se trouve une fois démontrée pour le cas où l'on fait varier une seule des quantités
elle se trouvera démontrée, par cela même, pour le cas où l'on fera varier toutes ces quantités simultanément. Cette simple observation suffit pour prouver que la formule (i3) est une conséquence immédiate des équations établies dans le Bulletin de la Société philomathique (année 1819, pages i3 et 18).
La formule (4) avait été donnée par M. PfafT. En intégrant cette formule, on obtient l'équation (i3), qui est digne de remarque, et qui se tire immédiatement, comme on vient de le voir, des formules comprises dans mon Mémoire de 18 19. La formule (i3) elle-même a été obtenue par M. Binet. Enfin, une formule analogue à l'équation (ï3), et à laquelle on parvient, en posant, dans l'équation (21),
ôw = o, savoir
= — 0(9 ôq 4-/010 + i|^ÔC + . . .-hçÔT),
a été donnée par M. Jacobi. Les principales différences qui existent entre l'analyse dont j'ai fait usage dans le Mémoire de 1819, et les calculs employés par MM. Jacobi et Binet, consistent : i** en ce que je me suis servi de la formule (i3), en supposant successivement la caractéristique B relative à chacune des constantes arbitraires H, Tj, ^, ... pour établir l'équation (20), tandis que MM. Jacobi et Binet se sont servis, l'un de la formule (26), l'autre de la formule (i3), pour établir l'équation (24). Ajoutons que dans la Note de M. Binet, comme dans les calculs qui précèdent, les différentiations sont relatives au système entier des constantes arbitraires, tandis que dans mon Mémoire de 1819 elles se rapportaient, pour chaque formule, à une seule des constantes arbitraires
^, ri, C,
Enfin, dans mon Mémoire de 1819, les constantes arbitraires qui représentent les valeurs initiales des diverses variables étaient, comme on vient encore de le faire, immédiatement introduites dans les calculs, et non substituées à d'autres constantes, comme dans les Mémoires des deux géomètres dont il s'agit.
Calcul intégral. — Mémoire sur l'intégration des équations simultanées
aux dérivées partielles.
