C. R., T. XIV, p. 1020 (■;'.7 juin

Dans la théorie des équations, les géomètres ont avec raison considéré comme fondamentale la question de savoir si toute équation a une racine. Pareillement, dans le Calcul intégral, une des questions les plus importantes, une question fondamentale, consiste évidemment à savoir si toute équation différentielle ou aux dérivées partielles peut être intégrée, et si un système de semblables équations peut l'être pareillement. Or, ce qui a droit de nous surprendre au premier abord, c'est que, malgré les nombreux travaux des géomètres sur le Calcul intégral, cette question si importante ne se trouve nulle part résolue dans toute sa généralité. A la vérité, l'existence des intégrales générales des équations différentielles, qui renferment une seule variable indépendante, se trouve maintenant établie par deux méthodes diverses que j'ai données, la première dans mes Leçons à l'École Polytechnique, la seconde dans un Mémoire lithographie de i835. A la vérité encore,

l'existence des intégrales générales des équations aux dérivées partielles se trouve établie dans certains cas où l'on parvient à intégrer ces équations, par exemple lorsqu'elles se réduisent, soit à une seule équation du premier ordre, soit à des équations linéaires dans lesquelles les coefficients des inconnues et de leurs dérivées demeurent constants. Mais un système quelconque d'équations différentielles ou aux dérivées partielles admet-il toujours un système correspondant d'intégrales générales? Tel est le problème dont la solution m'a paru digne de l'attention des géomètres. Cette solution repose sur des considérations que je vais indiquer en quelques mots.

Depuis longtemps les géomètres, en supposant, sans le démontrer, que toute équation différentielle ou aux dérivées partielles admet une intégrale générale, ont regardé la formule de Taylor comme un moyen de développer cette intégrale en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières d'un accroissement i attribué à une variable indépendante t, qui peut être censée représenter le temps. D'ailleurs, à l'aide d'un tbéorème général que j'ai donné en i83i, et qui est relatif au développement des fonctions, on peut s'assurer que, dans le cas où la série obtenue est convergente, la somme de cette série vérifie, comme intégrale, l'équation différentielle ou aux dérivées partielles, au moins pour des valeurs numériques ou pour des modules de l'accroissement i qui ne dépassent pas une limite fixe. Il y a plus, la même remarque est applicable aux sommes des séries que l'on obtient, lorsqu'en admettant l'existence des intégrales générales d'un système d'équations différentielles ou aux dérivées partielles, on cherche à développer ces intégrales par la formule de Taylor. Mais, dans tous les cas, il restait à démontrer que les séries obtenues étaient convergentes, du moins pour des modules de i suffisamment petits. Or ce but peut être atteint à l'aide d'un théorème fondamental qui détermine, non seulement une limite en deçà de laquelle le module de i peut varier arbitrairement sans que les séries obtenues cessent d'être convergentes, mais encore une limite de l'erreur que l'on commet en arrêtant chaque développement après un certain nombre de termes. La démonstration

de ce théorème fondamental repose, comme on le verra ci-après, sur les principes du nouveau calcul que j'ai nommé calcul des limiles, et sur un artifice d'analyse qui peut recevoir de nombreuses et utiles applications.

Analyse.

Sur les modules des fonctions et sur les limites de ces modules. Considérons d'abord une seule fonction

de diverses variables

attribuons à ces variables des accroissements imaginaires

X, y, z, ..., t dont les modules, représentés par

soient tellement choisis que, pour ces mêmes modules, ou pour des modules plus petits, l'expression

reste fonction continue des arguments et des modules des accroissements imaginaires

X, y, 5, ..., t; enfin soit

le plus grand des modules que puisse acquérir l'expression

f{x-\-'x, y-^y, z-^z, ...,t-+-'t), quand on y fait varier les arguments dps accroissements imaginaires

X, y, z, . . -, i, en laissant leurs modules invariables. On aura, d'après les principes

du calcul des limites, non seulement

modf{a-,y,z, . . ., t)<t,

mais encore

(2) modD^D- . . . D?/(^, j, .^ . . ., 0 < N —

la valeur de N étant

D'autre part, si la fonction u=f{x,y,z,...,t) devient réciproquement proportionnelle à chacune des variables

•^1 yi ^1 • • • j ') c'est-à-dire si l'on pose

u—f{x,y,z, . ... , t) = ax-'^y~yz''K . .r\

a désignant une quantité constante, on en conclura

(-^)'(-7)'"---(-0"' et, si dans le second membre de la formule (3) on remplace

^, y, z, ..., u par

on retrouvera évidemment le second membre de la formule (2). En conséquence, on peut énoncer généralement la proposition suivante :

Théorème I. — Concevons que, dans une fonction donnée de diverses variables

on attribue à ces variables des accroissements imaginaires dont les modules

soient tels que, pour ces modules et pour des modules plus petits , la fonction reste continue par rapport aux arguments et aux modules des accroissements imaginaires dont il s agit. Soit d' ailleurs t le plus grand des modules

de la fonction qui correspondent aux modules

des accroissements. Si, avant défaire croître les variables

on différentie une ou plusieurs fois la fonction donnée par rapport à une ou à plusieurs de ces variables, on obtiendra une dérivée d'un certain ordre ; et, pour trouver une limite supérieure au module de cette dérivée, il suffira : i^ de réduire la fonction donnée à un produit de la forme

2" de calculer, pour ce cas particulier, la valeur de la dérivée, et d'y remplacer le produit u = ax~* y~* z'^ . . . t~* par x , ou, ce qui revient au même, la constante a par le produit xxyz. . .t, puis les variables

par les modules

pris 'chacun avec le signe — .

La proposition que nous venons d'établir entraîne immédiatement le théorème fondamental dont voici l'énoncé :

Théorème II. — Soient

(4) ■ lo, II', ijiS •••

les divers termes d'une série ordonnée suivant les puissances ascendantes d'une certaine variable i ; et concevons que, dans cette série, lés coefficients

'o) lij I2, • • •

se réduisent à des polynômes composés de termes dont chacun soit le produit d'un nombre constant ou plus généralement d'une constante positive par les dérivées de divers ordres de diverses fonctions

OEuvres de C. — S. I, t. VI. Sg

ou même par des puissances de ces dérivées. Soient d'ailleurs

les variables qui entrent dans les fonctions u, v, w, ... ; soient encore

les modules d' accroissements imaginaires attribués à ces variables, et tellement choisis que, pour ces modules ou pour des modules plus petits, les fonctions, modifiées en vertu de ces accroissements, restent continues par rapport aux arguments et aux modules des accroissements dont il s'agit. Enfin soient

les plus grands modules des fonctions u, ç, w, . . . correspondants aux modules \, y, z, ... des accroissements imaginaires des variables. Pour obtenir des quantités positives

respectivement supérieures aux modules des coefficients

lo) M) l2> • • • )

d suffira de calculer ces coefficients dans le cas particulier où chacune des fonctions u, v, v^, . . . devient le rapport d' un facteur constant

a, ou a', ou a",

au produit des variables quelle renferme, puis d'attribuer aux variables

X, y, z, ..., t et aux constantes

les valeurs déterminées par le système des formules

ix = -x, 7 = -y, z = — z,, ..., t = —i, . (5)

Corollaire I. — Nommons i le module de i. Si la série .(6) \, -5,t, -\lS ...

est convergente, on pourra en dire autant à plus forte raison de la

série (4). Soient, dans cette hypothèse,

et

Si, pour calculer les sommes S et S, on arrête les deux séries après un même nombre de termes, le reste de la série (4) offrira évidemment un module inférieur au reste correspondant de la série (6). D'ailleurs, si la somme s peut être présentée sous une forme finie, elle pourra évidemment se déduire d'une valeur particulière de la somme S, par l'artifice de calcul qui sert à transformer I„ en 5„, et par la substitution du module i à la variable i.

Corollaire IL - Les valeurs des inconnues qui doivent vérifier des équations différentielles ou aux dérivées partielles se développent, par la formule de Taylor ou de Maclaurin, en séries précisément semblables à la série (4). Donc les principes que nous venons d'établir s'appliquent à l'intégration de ces équations par séries, et, pour démontrer l'existence de leurs intégrales générales dans tous les cas, il suffît d'intégrer ces équations dans le cas particulier où chacune des fonctions qui forment leurs seconds membres devient réciproquement proportionnelle aux quantités variables dont elle dépend. C'est ce que nous expliquerons plus en détail dans les prochaines séances.

Analyse mathématique. - Note sur certaines solutions complètes d'une

équation aux dérivées partielles du premier ordre.