C. R., T. XIV, p. 1026 (-27 juin

Soit donnée, entre n variables indépendantes

et l'inconnue cr, l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

dans laquelle on a

Si les équations différentielles, que l'on substitue à cette équation aux dérivées partielles, sont intégrées de manière que, pour / = t, on ait

•^ = ^' 7 = ^, -=C, C7 = co, ..., />^(p, q^y, r=.|, ...,

les intégrales obtenues pourront être présentées sous la forme

( ^ = ?> ^==Z, ^ = ^, .X, ^, i, . . . , 0, <i\ ^, Jl, ... désignant des fonctions de

X, y, z, ..., t, w, p, q, r, ... qui ne renfermeront aucune des constantes arbitraires

^. TH, K, ..., w, 9, X, 4^, ...;

et si, en supposant que ces constantes arbitraires deviennent variables, on désigne, avec M. Binet, par la caractéristique § une différentiation relative à leur système, on pourra, comme j'en ai fait la remarque ('), ramener l'intégration de l'équation (i), ou, ce qui revient au même, l'intégration de l'équation différentielle

( 3 ) dwz=zpdx -]- q dy -\- rdz -\-. . . + sdl,

dans laquelle les 2n + I variables

^, 7, -s, . . . , ^, nj, /?, ^, r, . . . , 5

sont liées entre elles par la formule (i), à l'intégration de l'équation différentielle

(1) Œuvres de Cauchy, S. I, T. VI, p. 45i. Extrait n° 163.

EXTRAIT No 168. 469

qui ne renferme plus que in — i variables

Or on vérifie évidemment l'équation (4) en supposant constantes, ou les quantités

(5) ^, -n, K, •.., w, ou les quantités

ou bien encore en supposant constantes l'une des deux quantités E, 9, avec l'une des deux quantités y], y^, avec l'une des deux quantités l, '\f, ..., en même temps que l'expression à laquelle se réduit le polynôme

0) — 9^ — X^i — «IC — • • .

lorsque, parmi les termes négatifs

— 9^, — XYl, —^X, ...,

on conserve seulement ceux dans lesquels les premiers facteurs sont considérés comme constants. Cette simple observation fournit immédiatement, et sans aucune intégration nouvelle, les diverses solutions complètes dont j'ai parlé dans la Note que renferme le Compte rendu de la dernière séance. Ainsi, en particulier, il en résulte que l'on obtiendra une solution complète en supposant les valeurs de l'inconnue CT et de ses dérivées/?, q, r, . .. déterminées, soit par le système des équations (i), soit par le système des suivantes

(7) <ï=9, ^=X' 3\^ = ^, ..., ^ — '-S~X — ^IJ-^i>—... = v,

(p,y, (J;, . . ., u désignant des constantes arbitraires. Plus généralement, on obtiendra une solution complète, si l'on suppose les valeurs de u, p, q, r, ... déterminées par l'une des équations

jointe à l'une des équations

puis à l'une des équations

et enfin à l'équation

i2 a:>(A: - 1) - ^{^--n) - <a(i - C). . . = const., et si dans ces diverses équations on considère chacune des lettres

4» r,, Ç, ..., 9, X, d>, ... comme représentant une constante arbitraire.