SUR LA FORCE VIVE D'UN CORPS SOLIDE

onfin 'j et « ses vitesses instantanées de translation et de rotation. On

aura

M = m -h m' -h 7?i" 4- . . . et (]>-=: /?iw^+ m' w'M-. . .,

OU, ce qui revient au même,

(0 M = im

et

le signes indiquant une somme de termes semblables et relatifs aux masses m, m\ nf, .... D'autre part, si l'on nomme R la distance entre l'axe 00' et un axe parallèle GG' mené par le centre de gravité, r, s les longueurs des perpendiculaires abaissées du point A sur les deux axes GG', 00', et 0 l'angle que ces perpendiculaires forment entre elles, on trouvera encore

(3) ci)^=: -j- -f-.s-y'^,

(4) 9J='j^-i-R^-^\ (0) lms^=lmr^ i-MW-,

(6) ^ R2= /•2+,ç2 2/-.çcOSÔ.

En effet, pour établir ces quatre équations, il suffira d'observer : i^que la vitesse absolue du point A ou G est la diagonale d'un rectangle construit sur la vitesse u de l'axe instantané de rotation et sur la vitesse apparente sa ou R« qu'attribuerait au point A ou G un observateur placé sur l'axe 00'; 2° que la différence entre les quantités Im^'' eiZmr^, c'est-à-dire, entre les moments d'inertie du corps solide relatifs aux deux axes 00' et GG', doit être, en vertu du second théorème de l'article précédent, équivalente au produit de la masse entière par le carré de la distance des deux axes; 3" que cette distance est le côté opposé à l'angle 0, dans un triangle formé avec les trois longueurs r, s etR. Si maintenant on substitue, dans la formule (2), à la place de w-, sa valeur donnée par l'équation (3), on trouvera

(-7) '\>-=M-j^-+H-lms^;

ou D'UN SYSTÈME INVARIABLE EN MOUVEMENT. 139

puis, en ayant égard à la formule (5),

ou, ce qui revient au même,

(9) 'y=:M9J-\-H'lmr\

De plus, si l'on nomme K et ^ les moments d'inertie du corps solide relatifs à l'axe GG' et à un axe parallèle AB mené par le point A, on aura évidemment

(II) c>i: = K4-Mr2, .

et l'on tirera de l'équation (8), combinée avec les formules (3), (6), (lo) et (il),

(i2) d;2=:Ma)2— 2M«2/'5C0SÔ4- cKa^.

Il importe de remarquer que le dernier terme de chacune des équations (7), (9), (12) représente la force vive qu'attribuerait au corps solide un observateur placé sur l'un des axes 00', GG', AB. En effet, la vitesse apparente du point A, pour un spectateur placé sur l'axe 00', étant précisément égale au produit sa, il est clair que la force vive attribuée par ce spectateur au corps solide sera équivalente à l'expression

(i3) ^m{s>iy-=\i-^ms^,

c'est-à-dire, au carré de la vitesse de rotation du corps par le moment d'inertie Hms'- relatif à l'axe 00'; et, si le spectateur se transporte sur l'axe GG', ou sur l'axe 00', il faudra évidemment remplacer, dans l'expression (i3), le facteur 2m5- par l'une des quantités

K = i/?i/'^ ou cX',

qui désignent les moments d'inertie relatifs aux axes GG' ou AP. Quant aux produits Mu^ M(2% McoS chacun d'eux représente la force vive qu'offrirait la masse entière concentrée en un point situé sur l'axe 00', ou GG', ou AB, et animée de la même vitesse que ce point. Ajoutons

ViO SUR LA FORCE VIVE D'UN CORPS SOLIDE, ETC.

que, si l'on suppose le plan qui renferme les axes AB, 00' perpendiculaire au plan qui renferme les axes AB, GG', le facteur coso se réduira simplement à zéro, et l'équation (12) à la formule

(14) 4.-^=Moj2 + n{'8^

D'ailleurs, dans cette hypothèse, si l'on coupe les trois axes parallèles 00', GG', AB par un plan perpendiculaire à ces mêmes axes, les trois points d'intersection formeront un triangle rectangle dont le sommet sera situé sur l'axe AB. Donc alors tous les points de l'axe AB appartiendront à des circonférences décrites, dans des plans perpendiculaires aux trois axes, sur des diamètres propres à mesurer la distance des deux premiers. II en résulte que la droite AB sera l'une des génératrices d'un cylindre droit que l'on pourra considérer comme ayant pour hase une des circonférences ci-dessus mentionnées. Cela posé, la formule (i4) entraînera évidemment la proposition suivante :

TnKor.KME. — Concevons qu'un système invariable ou un corps solide se meuve dans l'espace. Soient, à une époque quelconque du mouvement, 00' l'axe instantané de rotation de ce même corps, et GG' V axe parallèle mené par le centre de gravité Gi. Enfin, supposons que Von construise une surface cylindrique à hase circulaire, et dans laquelle deux génératrices opposées coïncident avec les deux axes dont il s'agit. Pour déterminer la force vive du corps solide, il suffira de calculer celle que lui attribuerait, en se considérant comme immobile, un observateur placé en un point pris au hasard sur la surface cylindrique, et d'ajouter à la force vive ainsi calculée celle qu'on obtiendrait, si la masse entière était concentrée au point dont il s'agit, et animée de la même vitesse que ce point.

Si l'ohservateur se plaçait sur l'un des axes 00', GG', la vitesse co se trouverait réduite à l'une des vitesses i», 12; et la formule (i4) ^i l'une des équations (7) et (9). Ajoutons que la seconde de ces deux équations est précisément celle qui exprime la propriété connue du centre de gravité relativement à la décomposition de la force vive.