RECHERCHE

ÉQUATIONS GÉNÉRALES D'ÉdUILIBRE

SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ASSIJEITIS A DES LIAISO\S QlELCO\QlES.

f^ ()f THE "

§ I. — Considérations générales.

On peut arriver par deux routes différentes aux équations d'équilibre de plusieurs forces dont les points d'application sont assujettis à des liaisons quelconques. Le plus souvent on déduit ces équations du principe des vitesses virtuelles. Mais on peut aussi les établir directement à l'aide de diverses méthodes, entre lesquelles je vais en signaler une qui, à cause de sa simplicité, paraît digne de fixer un moment l'attention des géomètres.

Considérons un système de points matériels A, A', A", . . . sollicités par certaines forces. Si ces points matériels sont libres et indépendants les uns des autres, il sera nécessaire pour l'équilibre que, après avoir réduit à une résultante unique toutes les forces appliquées à chaque point, on trouve chaque résultante égale à zéro. Mais, si les mêmes points sont assujettis à certaines liaisons, comme ces liaisons opposeront au mouvement du système certaines résistances, il ne sera plus nécessaire pour l'équilibre que la résultante des forces appliquées à chaque point s'évanouisse.

Il s'agit maintenant de faire voir comment on peut déduire les formules d'équilibre de la nature des liaisons supposées connues. Nous

commencerons par examiner le cas particulier où il n'existe qu'une seule liaison, représentée par une seule équation entre les coordonnées des différents points. Nous traiterons ensuite le cas général où les liaisons sont en nombre quelconque.

§ M. — Équilibre de plusieurs points assujettis à une seule liaison.

Supposons d'abord que les différents points se trouvent assujettis à une seule liaison. Soient dans cette hypothèse

les coordonnées rectangulaires des différents points A, A', A", ... ;

les forces qui leur sont appliquées, réduites pour chaque point h une résultante unique, et

l'équation de condition qui exprime la liaison donnée, L étant une

fonction des variables x, y, z-, x' , y, z' , Je dis que l'équilibre

pourra s'établir au moyen de la liaison, sans que la force P s'évanouisse, et même, en général, quelle que soit l'intensité de cette force. Pour le démontrer, commençons par imaginer que l'on fixe tous les points du système à l'exception du point A qui a pour coordonnées x, y, z, et qu'en même temps on supprime les forces P', P", .. ., appliquées aux

points A', A", Les coordonnées x, y, z demeurant seules variables

dans l'équation L = o, la liaison exprimée par cette équation n'aura plus d'autre effet que d'assujettir le point A à rester constamment sur une certaine surface courbe; et, si cette surface présente une l'ésistance indéfinie, comme cette résistance a lieu suivant la normale, il suffira, pour que la force P ne trouble pas l'équilibre, qu'elle soit elle-même dirigée perpendiculairement à la surface. Supposons maintenant que l'on restitue au second point A' sa mobilité primitive. L'équilibre sera troublé en général, et le système des deux points mobiles se mettra en mouvement. Mais il est clair qu'on pourra toujours empêcher ce

mouvement parle moyen d'une nouvelle force P' appliquée au point A' dans une certaine direction. La force P' étant choisie comme on vient de le dire, restituons encore au point A" sa mobilité primitive. Pour retenir ce troisième point à sa place, il suffira évidemment de lui appliquer une troisième force P" dans une direction déterminée. En continuant de même, on conclura définitivement que tous les points redevenus mobiles, et liés seulement par l'équation L = o, pourront être maintenus en équilibre à l'aide de certaines forces P, P', P", . . . appliquées à ces mêmes points suivant des directions données. Dans ce cas, la direction de chaque force sera perpendiculaire à la surface, que son point d'application est obligé de décrire, en vertu de l'équation L = o, lorsqu'on fixe tous les autres points du système. De plus, l'intensité d'une force P pourra être choisie arbitrairement. Mais les intensités de toutes les autres forces dépendront nécessairement de l'intensité de la première.

Pour appliquer ces principes à un exemple, concevons que le système donné se compose seulement de deux points A, A' sollicités par les forces P, P', et liés par une droite AA' de longueur invariable; auquel cas l'équation L = o sera de la forme ^'^TcV "fiRor^

(^ x'Y-^{y—y'Y+ {z — 5')2= const. \J^ ^^ ^ VEKSITY

Alors, si l'on vient à fixer le point A', le point A ne pourraplus se mouvoir que sur la surface d'une sphère décrite du point A' comme centre avec la longueur AA' pour rayon et, par suite, pour que le point A demeure en repos, la force P devra être perpendiculaire à la surface de la sphère, par conséquent dirigée suivant le rayon AA', ou suivant son prolongement. Comme on peut faire un raisonnement semblable à l'égard de la force P', il est permis de conclure que, dans le cas d'équilibre, chacune des forces P, P' agira suivant la droite xVA' prolongée dans un sens ou dans un autre. De plus, afin que la tendance de cette droite au mouvement reste la même dans les deux sens, il sera évidemment nécessaire que les forces P, P' aient les mêmes intensités et agissent en sens contraires. Réciproquement, si les forces

P, P' sont égales et agissent en sens contraires suivant la droite AA', il est clair qu'elles se feront équilibre aux extrémités de cette droite. Revenons maintenant au cas où plusieurs points A, A', A", ... se trouvent assujettis à une liaison représentée par l'équation

Soient toujours 00, y, z; ir\ y, z', ... les coordonnées de ces points; P, P', P", ... les forces qui leur sont appliquées, et désignons par

les projections algébriques des forces P, P', P", ... sur les axes des a-, des y et des z. Chaque force devant être perpendiculaire à la surface que son point d'application est assujetti à décrire, en vertu de la liaison L = o, lorsque tous les autres points deviennent fixes, on aura

nécessairement

'dL\ ~ /dL\ ~~7àL dœ) \0y) \dz

(dL\ (dh\ ~ (ÔL

X=/,-r— , YnirA-r-, l — /.--

o^' dy' d

À, A', . . . désignant des coefficients dont le premier dépendra de l'intensité de la force P, le second de l'intensité de la force P' De

plus, comme l'intensité de la force P est une quantité arbitraire, mais de laquelle dépendent nécessairement les intensités des forces P', P", . . . , il est clair qu'on pourra choisir à volonté la valeur du coefficient À, mais que, la valeur de X étant donnée, celles de \', A", ... devront s'en déduire immédiatement. Pour découvrir la relation qui

existe entre X' et X, supposons que tous les points deviennent fixes à l'exception des deux points A, A'. Alors, ces deux derniers points restant seuls mobiles, si la liaison L = oa pour effet de les maintenir constamment à la même distance l'un de l'autre, il faudra que les forces P, P' soient égales et dirigées en sens contraires, ou, en d'autres termes, que l'on ait

(4) X':=-X, Y'=-Y, Z'=rr-Z.

Or, dans la même hypothèse, l'équation L = o se réduisant à la forme

(a: — x' y -h [y — y y -i- {z — z'y'= consi.,

on en conclura

^'^ dx'

dL dx

ÔL

dL dz' -

dL dz

Par suite, les formules (3) donneront

Y'= l'^J^ dy

dz dz

et les valeurs de X, Y, Z; X', Y', Z' satisferont aux équations (4), si l'on a

Supposons maintenant que, dans le cas où les points A, A' restent seuls mobiles, la liaison

n'oblige plus ces deux points à rester constamment à la même distance l'un de l'autre. On pourra joindre à la liaison L = o celles qu'on établit entre les deux points, en les unissant par une droite invariable, et fixant le milieu de cette droite. Cela posé, si l'on désigne par a, h, c les coordonnées du point milieu, et par ^ la longueur de la droite, on

16 RECHERCHE DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES D'ÉQUILIBRE aura, entre les six variables

^> j'> -^î •^' > y j -^ > les cinq équations

{ (^^')2+(j y)^+(x:s')2z:zz^2,

dont la dernière peut être remplacée par la suivante :

(10) (a-a:y--^-{b-yy+{c-zy=~.

En vertu des cinq équations (9), les positions des points A, A' ne seront pas complètement déterminées; mais ils pourront décrire deux courbes correspondantes tracées sur la surface d'une même sphère, de manière à se trouver toujours situés aux extrémités d'un môme diamètre. Dans ces courbes, les cordes correspondantes et, par suite, les tangentes menées par des points correspondants seront évidemment parallèles. Si l'on suppose

la courbe décrite par le point A en particulier sera déterminée par le système des deux équations

i/i-^yf,^! -^a — x, 2b — y, 2c -- z, . . .) = o,

(il) £^2

{a~xY+{b~yy+{c-zf-=-j-' \ 4

De plus, si l'on décompose la force P en deux autres, l'une perpendiculaire à la courbe que peut décrire le point A, l'autre dirigée suivant la tangente à cette courbe, la force perpendiculaire étant incapable de produire aucun effet, on pourra en faire abstraction, et ne considérer que la force dirigée suivant la tangente. On pourra de même remplacer la force P' par sa composante suivant la tangente à la courbe que peut décrire le point A . Cela posé, comme les points A, A' sont situés

à l'extrémité d'une droite invariable dont le milieu est fixe, et que les tangentes menées par ces points aux courbes qu'ils peuvent décrire sont parallèles, il est clair que les forces dirigées suivant ces tangentes, pour maintenir eu équilibre les points A, A', devront être égales et agir dans le même sens; ce qui exige que les forces P, P', respectivement multipliées par les cosinus des angles que forment leurs directions avec la direction de l'une des tangentes prolongée dans un sens déterminé, fournissent des produits égaux et de même signe. Or la tangente à la courbe que peut décrire le point A, prolongée dans un certain sens, forme avec les axes des angles qui ont pour cosinus

dcc dy dz

\/dx'- + <ij2 ^ ^,2 ' y/<^^2 4- dy^ + dz^ ' \Jdx'' -h df^ + dz^ '

tandis que les cosinus des angles formés avec les mêmes axes par les directions des forces P, P' sont respectivement

Par suite, les cosinus des angles compris entre la direction de la tangente et celles des forces P, P' seront respectivement égaux, le premier à

X dœ -^-Ydy -\-7jdz

P \/dœ^ -H dy"" 4- dz^ ' et le second à

X^ dx + T dy + TJ dz

P' \ldx^ 4- dy"- + dz'^

En multipliant le premier parla force P, le second par la force P' et égalant les produits, on trouvera

l^dx ^Ydy + 'Ldz __ X'dx-hY'dy + Z' dz sjd^-^ dy^'-^ dz'- ~ \j~cU^-^df~-\-li^ '

OU, ce qui revient au même,

(12) Xdx + X dy ^Zdz-^\! dx + \' dy + T dz.

ORuvres de C— %.\\,\..\\\. "S

Si, dans cette dernière équation, on remet pour X, Y, Z, X', Y', Z' leurs valeurs tirées des formules (3), elle deviendra

./(IL , dL , ôL i\^,fdL , ôL . ÔL

D'ailleurs, en différentiant la première des équations (i i), on en conclut

ÔL , ÔL ^ dL , dL j d\. ^ dL ^ (i4) ^dœ+ -^~dy^-dz=^-,da:+^,dy+-,dz.

Donc, par suite, on aura généralement

on trouvera de même X = \", X = A", .... Cela posé, les équations (3) prendront la forme

Y = A^i% dy

y dL

(>6) U'-7^L ï^-^dx"

y, . 7 dL

et l'on en conclura

^^^' dL ~~ dL ^ d'L

X' Y' ~~ dL ~ dL

~ dL '"■

dx dy dz

dx' dy'

dz'

Donc, pour qu'il y ait équilibre entre les forces P, P', P", . . ., dans le cas où leurs points d'application A, A', A", ... se trouvent assujettis à la seule liaison L = o, il est nécessaire et il suffit que les projections algébriques de ces forces sur les axes coordonnés soient respectivement proportionnelles aux dérivées de la fonction L, prises par rapport aux variables x,y, z\ x' , y' , z'\ Alors, si l'on désigne par n

le nombre des points A, A', A", ..., la formule (17) fournira 3n — 1 équations distinctes qui seront précisément les équations d'équilibre. Ajoutons que les résistances opposées par la liaison L = o aux mouvements des points A, A', A'', . . . seront employées à détruire les forces

P, P', Donc ces résistances seront égales et directement opposées

aux forces dont il s'agit. Donc les projections algébriques de ces résistances sur les axes coordonnés seront respectivement égales aux seconds membres des équations (r6), pris avec le signe —, c'est-à-dire

aux quantités

i . àL - OL ,àL

I aa- Of d-

(i8) l . OL ^ OL ^ ()L

dy à y Oz'

Pour montrer une application des principes que nous venons d'établir, supposons que, en vertu de l'équation L = o, la somme des distances iVA', A' A", iV'xM", ..., respectivement comprises entre les points

A, A', A" rangés dans un certain ordre, doive demeurer constante.

Dans cette hypothèse, l'équation L = o pourra être représentée sous la forme

j v/P-.^)^ +(7'-j)^ ^{z'-zY (19) __^

( +v/('^-"-'^')'+(j"-/')'-+-(-"-^')- + -- =consl.; et si l'on fait, pour abréger.

-yr+i^"

la formule (17) donnera

X' Y' yj

En égalant les trois premières fractions entre elles, on trouve

et l'on en conclut que, dans le cas d'équilibre, la force P est nécessairement dirigée suivant la droite AA'. En égalant les trois fractions suivantes, on trouve

-^'yV^'

/^'-^ x'-x"\ ^rjy-y

"-x'r + iy-

-ff+iz"-zr

et comme on a, en vertu des équations (20), on tire évidemment de la formule (23)

OU, ce qui revient au même,

Cette dernière équation exprime que la force P' forme avec les deux droites AA', A' A" des angles égaux. De plus, comme, en prenant pour plan des x, y celui qui renferme ces deux droites, on a

et qu'alors on tire de la formule (21)

il est clair que la direction de la force P' est comprise dans le plan do ces mêmes droites. Par suite, elle est dirigée de manière à diviser l'angle des droites AA', A' A" en parties égales.

On se trouverait conduit aux mêmes conclusions par la Géométrie, en observant que la force P' doit être perpendiculaire à la surface que le point A' est obligé de décrire quand il demeure seul mobile. Or, dans cette liypotbëse, il ne reste de variables que les longueurs AA', A' A" dont la somme doit être constante. Le point A' décrit donc alors un ellipsoïde de révolution engendré par une ellipse dont les points fixes A', A" sont précisément les deux foyers; et la force P', devant être normale à l'ellipsoïde, par conséquent à l'ellipse génératrice, divisera nécessairement l'angle formé par les rayons vecteurs menés aux foyers, en deux parties égales.

§ IIL — ' Equilibre de plusieurs points assujetUs à diverses liaisons.

Considérons maintenant des forces P, P', P", ... dont les points d'application A, A', A", . . . soient assujettis à des liaisons quelconques. Soient toujours x, y, z\ x\ y', z'; ... les coordonnées des différents points; X, Y, Z; X', Y", Z'; ... les projections algébriques des forces P, P', ... sur les axes coordonnés; et supposons que les diverses liaisons soient exprimées par les équations

L, M, N, ... désignant des fonctions des variables r, y,z', x' , y' , z'; .... Si l'équilibre a lieu, en vertu des liaisons données, entre les forces P, P', P", ..., on pourra, sans troubler cet équilibre, substituera la première liaison L = o le système des résistances qu'elle oppose aux mouvements des différents points, c'est-à-dire, un système de forces dont les projections algébriques sur les axes seraient des quantités de la forme

On pourra ensuite supprimer la seconde liaison, pourvu qu'on la remplace par un système équivalent de forces, dont les projections algé-

. dL

,^L dz

, dL

, dL ^-df'

, dL ~^d^'

briques sur les axes seraient de la forme

^M JM dM

-^^' -^df' ~^Tz'

(3) -; ÔM âM dM

OJ^- ' dy ' dz'

En continuant cle même, on finira par supprimer toutes les liaisons, dont chacune se trouvera remplacée par le système des résistances qu'elle oppose aux mouvements des différents points. Alors, ces points étant redevenus libres et indépendants les uns des autres, il devra y avoir séparément équilibre entre la force et les résistances appliquées à chacun d'eux. Cela posé, l'équilibre entre la force et les résistances appliquées au point A fournira les équations

dy ^ ôy '^ dy ^'

., , ÔL ÔM (}N

ou, ce qui revient au même, les suivantes :

l ^ 0^ ôx dx ' ' " '

j ày ^ dy dy

f „ .dL dm ()N

\ d:- dz dz

On trouvera pareillement, en considérant l'équilibre des forces appliquées au point A',

^., , dL â\i dN

^-='^dx'''-^'-^'''"d^'^----

^., , dL dM JN

(5) { dy' ^dy' dy

.„ , dh dU ^N

Si n désigne le nombre des points A, A', A", ..,, etm le nombre des liaisons L — o, M = o, N = o, ..., 3/i sera le nombre des équations (4), (5), . . .; et, lorsqu'on aura éliminé entre ces équations les inconnues X, [ji, V, ..., il restera 3/i — m équations d'équilibre. Les variables x^ y, z\ x' , y , z'\ ... étant elles-mêmes au nombre de 3Ai, et liées par m équations, '^n ~ m sera encore le nombre des variables indépendantes.

Les 3^^ — m équations que nous venons d'indiquer, et qui sont nécessaires dans le cas d'équilibre, suffisent évidemment pour l'assurer. En effet, ces ?>n — m équations expriment qu'on peut satisfaire simultanément par des valeurs convenables de X, [x, v, ... aux formules (4), (5), .... Or, dans cette hypothèse, la force P pourra être remplacée par des forces Q, R, ..., dont les projections algébriques sur les axes soient respectivement

la force P' par des forces Q', R', ..., dont les projections algébriques sur les axes soient respectivement

ÔL ^ dh ^ dL dM cm ô^\

En conséquence, au système des forces P, P , ..., on pourra en substituer plusieurs autres, savoir : i*' le système des forces Q, Q', ..., qui seront détruites par la liaison L = o ; 2° le système des forces R, R', . . . , qui seront détruites par la liaison M = o, .... Donc le système des points A, A', ... sera dans le même cas que s'il n'était sollicité par aucune force. Donc il y aura équilibre.

Nous avons remarqué ci-dessus que le nombre des équations d'équilibre était toujours égal au nombre des variables indépendantes. On vérifie cette proposition dans le cas d'équilibre d'un polygone dont les côtés sont invariables. 11 est également facile de s'assurer qu'elle est vraie pour un point libre, ou assujetti à rester sur une surface ou sur une courbe, et pour un système invariable libre dans l'espace, ou assu-

jetti à tourner autour d'un point fixe, etc. Lorsqu'il n'y a qu'une seule liaison entre n points, le nombre des équations d'équilibre se réduit, ainsi que le nombre des variables indépendantes, à 3/i — i; et ces équations coïncident avec les formules (3) du § II.

§ IV. — Principes des vitesses virtuelles.

La rccberche des équations d'équilibre de plusieurs forces P, P', P", ..., dont les points d'application {x, y, z), (x\ y', z'), ... sont assujettis à des liaisons représentées par les formules L = o, M = o, ..., peut être réduite, comme on l'a vu dans le paragrapbe précédent, à l'élimination des inconnues X, a, v, ... entre les équations (4), (5), ..-. Or, un moyen fort simple d'efï'ectuer cette élimination est de recourir à la considération des vitesses virtuelles, en opérant comme l'a fait M. Poinsot dans le XIII" Gabier du Journal de l'Ecole Polytechnique. Je vais rappeler en peu de mots les résultats auxquels on parvient de cette manière.

Lorsqu'un point matériel se meut sur un plan ou dans l'espace, les coordonnées x, y, z, ainsi que l'arc s de la courbe décrite, varient avec le temps /; et, si l'on suppose cet arc compté de manière à prendre un accroissement positif A^, dans le cas où l'on attribue au temps / un accroissement positif A/, la limite vers laquelle convergera le rapport -r-> tandis que ses deux termes recevront des valeurs de plus en plus

petites, ou, ce qui revient au même, le rapport entre les accroissements infiniment petits et simultanés de l'arc s et du temps /, seri^fCe qu'on nomme h vitesse du point matériel à la fin du temps /. Donc, si l'on désigne par w cette vitesse, on aura

ds sjdx'^ H- dy^ -)- dz^

^ ' dt dt

De plus, la direction de cette vitesse ne sera autre chose que la direction de la tangente menée par l'extrémité de l'arc 5 à la courbe décrite, et prolongée dans le sens du mouvement; d'où il résulte que les cosinus

des angles a, ^, y, formés par cette direction avec les demi-axes des coordonnées positives, seront respectivement

^ ^ dx ^ dy dz

(2) cosa = — 7-» cospr=-i-5 cosy = -j-'

ds ^ ds ' ds

Cela posé, si l'on imagine que la vitesse w soit représentée par une longueur portée sur sa direction à partir de l'extrémité de l'arc .v, les trois produits

WCOSa, r,)COS^, ço cosy

exprimeront ce qu'on doit appeler les projections algébriques de la vitesse sur les axes des x, y ai z \voir le V^ Vol., p. 89 (' )], et se trouveront déterminés par les équations

, „ , dx ^ dy dz

(o) Cl) COSa =: --7-, wCOSptrr-^, «COSy=:-— •

^ ' dL ^ dt ' dt

Supposons maintenant que plusieurs points A, A', A", . . . soient assujettis à certaines liaisons

F^, M, N, . . . étant fonctions des coordonnées oc, y, z', x' , y\ z' , .... Tous les mouvements que le système de ces points pourra prendre par l'effet d'une cause quelconque, sans que les liaisons soient troublées, seront ce qu'on appelle des mouvements virtuels, et les vitesses des différents points dans un mouvement virtuel quelconque seront ce qu'on nomme des idtesses virtuelles. Or, comme il suffira de connaître les valeurs de x, y, z; x' , y' , z' ; . . . , exprimées en fonction de /, pour en déduire immédiatement celles des quantités

dx dy dz dx' dy' dz'

^^^ ~di' W dt' 'dt' ~dt' 'dt' ■■■'

il est clair que les projections algébriques des vitesses virtuelles seront liées entre elles par autant d'équations que les coordonnées des dif-

( ' ) OEuvres de Caiichy, S. II; T. VI, p. 57.

OFAivresdeC. — 'i.\\,\..S\\. 4

férents points. En e0'et, on aura, dans tout mouvement compatible avec les liaisons données,

' àL cLf Oi^ dy âL dz dL dx' idx dt ^ df dt~^ dz dt '^ ~d^'' ~dt '^ ^'

(^) ' dm^dj^ md^ à^dz dW dx'

i dx dt ^ dy dt ^ ^ dl '^ Jx' ~dt '^ ^'

Cela posé, concevons que les différents points, étant parvenus au bout du temps t dans de certaines positions, puissent y être maintenus en équilibre par le moyen de forces

dont les projections algébriques sur les axes des x, y, z soient respectivement X, Y, Z; X', Y', Z'; .... Alors, pour obtenir les équations d'équilibre, il suffira d'éliminer les inconnues X, [x, v, ... entre les formules (4), (5) du § III. Or on y parviendra évidemment, si l'on

ajoute ces formules, après avoir multiplié la première par ^, la

1 •< dv 1 , • -v dz 1 .. dr'

deuxième par ^^, la troisième par ^, la quatrième par -^-, •■•• On trouvera de cette manière

I \ ^ dx dy „dz ^,dx'

Par conséquent, lorsqu'il y a équilibre, l'équation (7) subsiste dans îin mouvement virtuel quelconque.

Réciproquement, si l'équation (7) subsiste dans un mouvement'virtuel quelconque, je dis qu'iJ y aura équilibre. En effet, dans cette hypo- Ibèse, la formule (7) sera satisfaite pour tous les systèmes de valeurs des quantités ,0, dx dv dz dx'

^^^ Tir tt' di' Tdi' '"

qui seront propres à vérifier les équations (6). Par suite, si, au moyen des équations (6), on élimine de la formule (7) m de ces quantités,

toutes les autres pouvant être choisies arbitrairement, leurs coefficients devront se réduire à zéro. Or, pour effectuer l'élimination, il suffira d'ajouter à la formule (7) les équations (6) respectivement multipliées par des facteurs indéterminés

et d'égaler ensuite à zéro les m premiers coefficients de

da: dy dz dt dt dt

Les facteurs A, a, v, ... étant choisis de manière à remplir ces conditions, c'est-à-dire de manière à faire disparaître les jn premiers termes de la formule

^ , (JL ()M ^N \ dx

dx ~ dx dx ' / dt

^ '' ' dz ^ dz dz

,v, . dL dU dN

les coefficients des 3n — m derniers termes devront encore être séparément nuls. En conséquence, on pourra réduire à zéro les coefficients de tous les termes, c'est-à-dire, satisfaire aux équations (4)» (5), ... du § III par des valeurs convenables des facteurs X, [x, v, . . .; d'où il résulte qu'il y aura équilibre dans le système des points A, A', A",

L'équation (7), qui subsiste, lorsqu'il y a équilibre, pour tous les mouvements virtuels, renferme ce qu'on appelle le principe des inlesses virtuelles. Elle peut être présentée sous une autre forme qu'il est utile de connaître, et que nous allons rappeler ici.

Soit (0 la vitesse virtuelle du point matériel A, et (P, w) l'angle compris entre la direction de cette vitesse virtuelle et la direction de la force P. Comme les cosinus des angles formés par ces deux directions

avec les axes sont respectivement

(lO)

[dtj

\di)

\dt ,

on aura évidemment

(i i) cos(P, w) = -

dt dt dt

On trouvera de même, en désignant par co' la vitesse virtuelle du point A',

Par conséquent, l'équation (7) pourra s'écrire ainsi qu'il suit :

(i4) Pwcos(P, w) + P'oj'cos(P', co')+...= o.

Dans cette dernière, chaque terme représente le produit d'une force par la vitesse virtuelle de son point d'application et par le cosinus de l'angle compris entre la direction de la force et la direction de la vitesse virtuelle. Un semblable produit est ce que nous nommerons le momenl virtuel ào; la force. On peut l'obtenir en multipliant la force par la vitesse virtuelle projetée sur la direction de la force, ou la vitesse virtuelle par la projection de la force sur la direction de cette vitesse. Cela posé, on peut énoncer le principe des vitesses virtuelles de la manière suivante :

Pour que l' équilibre ait lieu entre plusieurs forces dont les points d application sont assujettis à des liaisons quelconques, il est nécessaire, et d suffît, que la somme des moments virtuels de ces différentes forces soit égale à zérOy dans tous les mouvements virtuels possibles, c est-à-dire, dans tous les mouvements compatibles avec les liaisons données.

POUR UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS, ETC. ûd

Lorsqu'on veut déduire du principe des vitesses virtuelles toutes les équations d'équilibre relatives à un système donné, il suffit de considérer successivement autant de mouvements virtuels distincts les uns des autres qu'il y a de variables indépendantes parmi les coordonnées

Le nombre de ces mouvements virtuels sera donc 3n — m, si n désigne le nombre des points donnés, et m le nombre des liaisons auxquelles on les suppose assujettis.

Pour montrer une application de la formule (7), concevons que les liaisons établies entre différents points A, A', A", . . . permettent d'imprimer à ces mêmes points un mouvement commun de translation parallèlement à l'axe des œ. Ce mouvement de translation sera un mouvement virtuel, dans lequel les vitesses virtuelles co, w', w", ... seront égales entre elles; et, si, pour fixer les idées, on suppose le mouvement dirigé dans le sens des ce positives, on aura évidemment

dx'

dx"

lit ~

~' dt

~~ dt

dz'

dz"

dt "

^ dt

Par suite, la formule (7) donnera

et comme, par hypothèse, la quantité w n'est pas nulle, on tirera de l'équation (16)

De même, si un mouvement commun de translation, en vertu duquel les différents points acquerraient simultanément des vitesses égales et parallèles à l'axe des y ou à l'axe des z, est virtuel, c'est-à-dire

compatible avec les liaisons données, la formule (7) entraînera l'équation

(18) Y-i-Y' + Y" + ... = o ou la suivante ^

(Concevons encore que, sans troubler les liaisons établies, on puisse imprimer au système des points A, A', A", ... un mouvement général de rotation autour de l'axe des x; et supposons, pour fixer les idées, que ce mouvement de rotation soit direct, la courbe décrite par le point (a:,y,z), dans le mouvement virtuel dont il s'agit, sera un cercle dont nous désignerons le rayon par r, et dont les équations seront de la forme

(20) jr=rCOnSt., j2+3-=r/'2.

Or, si l'on différentie ces équations par rapport au temps, on trouvera

, . dx dy dz

D'ailleurs, dans un mouvement de rotation direct autour de l'axe des œ, le point [oc, y, z) sera porté du côté des z positives ou du côté des z négatives, suivant que l'ordonnée y sera elle-même positive ou néga-

tive; et, par conséquent, le coefficient différentiel -7^ sera une quantité

de même signe que j. Cela posé, on tirera de l'équation (21)

XdLj \dt) \

dyy [dz\

y -^ sjy' + z'

Ajoutons que, si l'on nomme s, s', ... les arcs de cercle décrits par les différents points à la fin du temps /; /-, r', ... les rayons de ces

mêmes cercles; et As, As', ... les accroissements infiniment petits que prennent les arcs s, s', . . . pendant l'instant A/, on aura évidemment

As r

As'

. ., ou

I As 1 As'

et, par suite,

I ds 1

ds'

TJt^ r'

dt '

ou plus simplement

Donc les vitesses virtuelles des différents points seront proportionnelles aux rayons des cercles décrits; et si l'on appelle « la vitesse angulaire du système, c'est-à-dire la vitesse d'un point situé à l'unité de distance de l'axe des x, on aura

, , , w w' co"

(20) o^ziy/-, o'-rr «/•', o/ttz^/-", ....

Cela posé, les équations (21) et (22) donneront

^ „^ dx dy dz

(26) —-=0, -^=— «x;, -j-nzaK.

^ ' dt ' dt ' dt -

On trouvera pareillement

^ ^ dx' dy' , dz'

puis on tirera de la formule (7)

et comme, par hypothèse, la quantité « n'est pas nulle, on trouvera définitivement

(29) ^Z. sY+j'Z'— 2'Y' + ...= o.

De même, si un mouvement général de rotation, en vertu duquel chacun des points A, A', A", ... décrirait autour de l'axe des y ou des c un arc de cercle proportionnel à sa distance à cet axe, était virtuel, c'est-k-dire compatible avec les liaisons données, la formule (7) entraînerait l'équation

ou la suivante :

(3i) ^Y-jX + ^'Y'— y'X'-i-...r-o.

Il est bon d'observer que les équations (17), (18) et («9), ou ('-29), (3o) et (3i) sont précisément celles qu'on obtient en égalant à zéro les sommes des projections algébriques des forces P, P', P", ... ou de leurs moments linéaires sur les axes des ^, j, z-. Ajoutons que chacune des sommes ainsi calculées coïncide avec l'une des projections algébriques de la force principale ou du moment linéaire principal.

Lorsque les points A, A', A", ... composent un système invariable de forme, mais entièrement libre dans l'espace, les six mouvements généraux de translation parallèlement aux axes coordonnés et de rotation autour de ces axes sont compatibles avec les liaisons de ce système. Par suite, la formule (7) entraîne les six équations (17), ('8), (19), (29), (3o) et (3i). D'ailleurs, dans la même hypothèse, celles des variables

que l'on peut considérer comme indépendantes se. réduisent évidemment à six. En effet, puisqu'on suppose les points A, A', A", A'", ... liés invariablement les uns aux autres, la position de chacun d'eux sera complètement déterminée dans l'espace, si l'on connaît la position des trois premiers, c'est-à-dire les neuf coordonnées x, r, z ; x\ y', z'; a-", y", z". De plus, les trois points A, A', A" étant liés eux-mêmes par trois droites invariables, les neuf coordonnées dont il s'agit seront

assujetties à trois équations de condition, en vertu desquelles trois de ces coordonnées deviendront fonctions des six autres. Donc il n'y aura effectivement que six variables indépendantes, et les six équations qu'on obtient en égalant à zéro les sommes des projections algébriques des forces données ou de leurs moments linéaires sur les axes des x,y et G suffiront pour assurer l'équilibre. En d'autres termes, il suffira, pour l'équilibre, que la force principale et le moment linéaire principal s'évanouissent.

Si un système invariable de forme était retenu par un point fixe, les mouvements de translation dirigés parallèlement aux axes cesseraient d'être des mouvements virtuels, puisqu'ils ne pourraient avoir lieu sans rompre les liaisons établies. Mais, en prenant le point fixe pour origine des coordonnées, on pourrait encore imprimer au système des points A, A', A", ... un mouvement de rotation autour de l'un quelconque des axes coordonnés. Par suite, la formule (7) entraînerait toujours les trois équations (29), (3o), (3i); et ces équations, dont le nombre serait précisément ég'al à celui des variables indépendantes, suffiraient pour assurer l'équilibre.

Si le système invariable était retenu par deux points fixes, un mouvement virtuel ne pourrait être qu'un mouvement de rotation autour de l'axe fixe passant par ces deux points, et la formule (7) ne fournirait plus qu'une seule équation d'équilibre, relative à ce mouvement virtuel. Si l'on prenait l'axe fixe pour l'axe des z-, l'équation unique d'équilibre serait celle qu'on obtient en ajoutant les projections algébriques des moments linéaires des forces sur cet axe, et égalant la somme à zéro, c'est-à-dire l'équation (3i). 11 est d'ailleurs facile de voir qu'il n'existe dans le cas présent qu'une seule variable indépendante.

Si le système invariable pouvait recevoir, non seulement un mouvement de rotation autour de l'axe des z-, mais encore un mouvement de translation dirigé parallèlement à cet axe, ces deux mouvements virtuels fourniraient les équations (19) et (3i), qui suffiraient pour assurer l'équilibre.

OEuvres de C. — S. II, t. VII. 5

Enfin, si les points renfermés clans le plan des x, y sont assujettis à n'en jamais sortir, le mouvement de rotation autour de l'axe des z-, et les mouvements de translation dirigés parallèlement aux axes des r et j, fourniront pour le système invariable trois équations d'équilibre, savoir, les formules (17), (18) et (3i). Comme, dans la même bypotbèse, le nombre des variables indépendantes sera égal à trois, les équations dont il s'agit suffiront pour exprimer les conditions d'é- (juilibre.

Les conséquences que nous venons de déduire du principe des vitesses virtuelles s'accordent évidemment avec les résultats auxquels nous étions parvenus, dans le premier Volume, par la considération directe des projections algébriques des forces et de leurs moments linéaires.

Concevons maintenait que, les points A, A', A", . . . étant assujettis à des liaisons quelconques, les forces P, P', P", . . . qui sollicitent ces mêmes points se réduisent à des poids. Admettons en outre que l'axe des a- soit vertical, et que les ac positives se comptent dans le sens de la pesanteur, on aura, dans ce cas,

(32) Y:^0, Y't=0, Y"=rO,

et la formule (7) donnera

^ ^ dt dt dt

D'ailleurs, si l'on nomme \ l'abscisse du centre des forces parallèles 1\ P', P", . . . respectivement appliquées aux points A, A', A", . . . , c'eslà-dire, en d'autres termes, l'abscisse du centre de gravité du système, on aura

(34) Px-+-P'x'+P"^"^-... = (P + P'^-P"^-...)ç,

(,'t. ])ai* suite,

(Il dt

da"

di dl

Donc la l'ormule (33) [)oui'i'a être réduite à

Oi', il résulte de cette dernière équation que, dans tout mouvement compatible avec les liaisons du système, la vitesse virtuelle du centre de i<ravité, étant projetée sur l'axe des x, donnera une projection nulle. Donc, pour qu'il y ait équilibre entre différents poids, il est nécessaire et il suffit que, dans cliaque mouvement virtuel, la direction primitive de la vitesse du centre de gravité soit borizontale.

Dans ce qui précède, nous avons admis que les résistances opposées aux mouvements de différents points par des liaisons établies entre eux |)ouvaient croître indéfiniment et au delà de toute limite. (Concevons maintenant que ces résistances ne puissent dépasser certaines limites sans que les liaisons se trouvent rompues, alors il ne suffira plus pour l'équilibre que l'on puisse déterminer les coefficients X, a, v, ... de manière à vérifier les équations (4), (5), ... du § III. Il faudra encore que les valeurs de X, a, v, ... tirées de ces équations, et substituées dans les produits

I dL y I (fl^ \- I dL

\dv) -^\d;-) + bj

dj r/N

dnAv

■dSV

di}A

n^Y /d^Y /dSy

fournissent des nombres dont les racines carrées ne dépassent pas les limites des résistances que la première, la deuxième, la troisième, ... liaison peuvent opposer, sans se rompre, au mouvement du premier

•ÎG lîECHERCHE DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES, ETC.

point. 11 sera de même nécessaire que les racines carrées des produits

/'clLY- fdL'

VdL

\dj-'

dy'

\ dx' } '^\dV'

dW^-

d^ dx'

dy'

dz'

d^\-' dJ'

ne dépassent pas les limites des résistances que les diverses liaisons peuvent opposer au mouvement du second point; et ainsi de suite.