H — OU

Ainsi, dans le cas présent, on tirera de la formule (22) ^ = \ ,

6" -\- C " gf cos p+r sin ptj—l , f,— r cas p—r sin p^—l

D'ailleurs, en prenant/; = ± -, on trouvera z = zt r\/— 1 , (26)

ces/-

Or, cette dernière valeur de A deviendra infinie si l'on pose

n étant un nombre entier aussi grand que l'on voudra; mais elle restera finie, et se réduira simplement à l'unité, si l'on pose

(28) r—nn,

300 SUR QUELQUES PROPOSITIONS FONDAMENTALES c'est-à-dire, si l'on prend pour r un terme de la série

Il y a plus : si le nombre entier n devient infiniment grand, la valeur de A correspondante à r == nr. restera toujours finie, lorsqu'elle cessera d'être infiniment petite, ou, ce qui revient au même, lorsque

l'angle /> diffère très peu de l'une des quantités — -, 4- -• Pour le démontrer, nommons A le module de la différence A et à' un arc réel choisi de manière à vérifier l'équation

(30) <»l(cosâ''4-v'^sin<I') = A= ^^ -:=.

^rcos/i+r sin/> y/— 1 i a — i'cosp—rsinp y/— 1

On tirera de cette équation

(Si) e(Vr= -i . — . -.

e^'"™^/^-t- 2 cos( 2/- sni/>j + «--'■'■"'*/'

Si maintenant on cherche les maxima etminima de l'expression

(32) ^2rcos/.^ 2 cos ( 2 /■ si n /?) + &--'■<■'"'/%

en considérant p comme seule variable, on reconnaîtra qu'ils sont donnés par la formule ^

2 cosp sin(2r sin/?) + (e-'" '"'"'/'— e--'''"^"'') ainp = o, à laquelle on ne peut satisfaire qu'en supposant

ou

(34) sin/) = o,

puisqu'on en tirerait dans toute autre hypothèse

g2rcos/^g-2r,os/; ^ sin(2/-sin/?; 4/cos/> • 2/'sin/»

et, par suite,

(ircosp)- {^rcospY* 1.2.3 1.2.3.4.-^

DU CALCUL DES RÉSIDUS. :îOl

ce qui serait absurde. Il est aisé d'en conclure que l'expression (3-2) admettra un seul maximum correspondant à sin/? = o, savoir

et un seul minimum correspondant à cos/? — o, savoir

(36) I -h 2 C0S2/- -+- I = 4cos'-'/'.

Donc la quantité A'- sera comprise entre les limites

COS^/'

et le module A de la difTérence A ne surpassera jamais la valeur numérique du rapport

COS

Ce rapport devient infini, comme on devait s'y attendre, quand on suppose

^lais, si l'on prend /' = nr., la valeur numérique du môme rapport, ou la limite supérieure du module A, se réduira simplement à l'unité. Donc alors, dans la différence A, la partie réelle et le coefficient de V^— I seront renfermés entre les limites — i, + i, et cette différence sera toujours une valeur finie, quand elle cessera d'être infiniment petite, ce qu'il s'agissait de démontrer. On aura donc, en vertu de la formule (2),

<^((z(e=+e-))) pourvu que l'on réduise le résidu

à sa valeur principale. La formule (39), étant développée, fournit l'équation connue

De tout ce qu'on vient de dire, il résulte qu'on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème \. — Si, en attribuant au module r de la variable

z =z r (cosp -+- \J — 1 sin/»)

des valeurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière que le produit

devienne sensiblement égal à une constante déterminée ^, quel que soit d'ailleurs l'angle p, ou du moins de manière que la différence

zf{z)-ff

reste toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse d'être infiniment petite, en demeurant finie, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de l'angle p, on aura

pourvu que, dans le premier membre de l'équation (2), on réduise le résidu intégral

à sa 7'aleur principale.

Corollaire I. — Lorsque les conditions énoncées dans le théorème précédent sont remplies, la valeur principale du résidu intégral

est complètement déterminée par la formule (2). En d'autres termes, l'expression

(Ul (Tî)

s'approche indéfiniment d'une limite fixe, tandis que le nombre A devient de plus en plus grand, et cette limite fixe est précisément la constante 1^. Donc, si l'on nomme

les divers modules des racines de l'équation (3), rangés par ordre de grandeur, et u^ la somme des résidus partiels, relatifs aux racines qui offrent le module r„, la série

(42) «0, Ui, ih, •■, "«, ...

sera convergente, et l'on aura

Si, au lieu de prolonger la série (42) à l'infini, on l'arrêtait après un certain terme, la somme des termes conservés ne serait pas rigoureusement égale à J, mais la différence entre cette somme et la somme de la série serait représentée par l'intégrale (18). Nous montrerons, dans un autre Article, comment on peut calculer par approximation l'intégrale dont il s'agit, et par conséquent le reste de la série (42).

Corollaire IL — Si le nombre des valeurs de p, dans le voisinage desquelles la différence

cesse d'être infiniment petite en demeurant finie, croissait indéfiniment avec le module r de la variable:;, alors, pour que l'on pût compter sur l'exactitude de l'équation (7), il deviendrait nécessaire que la somme des intégrales semblables à l'intégrale (20) s'approchât indéfiniment, pour des valeurs croissantes de r, de la limite zéro.

Exemples. — Appliquons maintenant le théorème 1 à quelques exemples, et posons successivement

<«' /(-) = ; xt:"".^'

:m su H QUELQUES PROPOSITIONS FONDAMENTALES

On aura, dans l'un et l'autre cas, .T' = i . De plus, les valeurs de A, qui correspondent aux valeurs précédentes de/(:;), savoir

(46) A— . . ""^ ..., et

resteront toujours finies ou infiniment petites, lapremière, pour toutes les valeurs de /'comprises dans la série

ro I 3 5 7

et la seconde, pour toutes les valeurs de r comprises dans la série (29), et ne cesseront d'être infiniment petites, en demeurant finies, que pour des valeurs de p très voisines de -h J^ ou de — -• f.ela posé, on tirera de la formule (2)

puis, en développant les équations (49) et (5o), on retrouvera les for mules connues

Il I 71-

Lorsque la série (42) est divergente, l'équation (2) ne saurait subsister, et par conséquent l'on peut être assuré que les conditions énoncées dans le théorème I ne sont pas remplies. Ainsi, par exemple, si l'on sup[)Ose

m désignant un nombre entier quelconque, la série (42) deviendra

et sera divergente. Donc alors il sera impossible d'assigner au nioduh^ de:- une valeur telle que la différence A reste finie ou infiniment petite, quel que soit/;. Cette conclusion est d'autant plus remarquable qu'on a, dans le cas précédent, J = o, et que l'expression

^ /-^ - ^ — ^-"''^' >"^"' ^'^ I cos ( 2 //< 4- 2 ) /; H- y/— I sinj'im -h .i)p\

s'évanouit en général pour des valeurs infinies du module r de la variable z. Mais, si l'on attribue à l'angle « l'une des valeurs — ~, -f- -, la même expression réduite à

sur/-

deviendra infinie, quelle que soit la valeur infiniment grande attribuée au module r, ce qui s'accorde avec la conclusion à laquelle nous étions parvenus.

Lorsque, dans la formule (2), on suppose la constante S réduites à zéro, on obtient, au lieu du théorème I, celui que nous allons énoncer.

Théorème IL — .SV. en attribuant au module r de la variable

z ■=. /(cos/? -h v^ — I sin^ )

des l'aie urs injiniment grandes, on peut les cfioisir de manière que le f)roduit

devienne sensiblement égal à zéro, quel que soit d'ailleurs l'angle p, ou du moins de manière que ce produit reste toujours fini ou injiniment petit, et ne cesse d'être infiniment petit, en demeurant fin i, que dans le voisiiutge de certaines valeurs particulières de p, on aura

(55) ^((/(»)):zrO,

OF.uvres de C. — S. II, t. VU. 89

poiifra (jiic, dans le second membre de l'équation (55), on réduise le

résidu intégral

à sa râleur principale.

Exemples. — Posons successivement

cote

Alors, si l'on attribue au module de ^ une valeur infiniment grande prise dans la série (4^)» le produit -/(-) deviendra intiiiiment petit, quel que soit l'angle p. Par suite, la formule (55) entraînera les deux équations

qui coïncident l'une et l'autre avec la formule (5i). Il est d'ailleurs facile de s'assurer que ces deux équations s'accordent entre elles, attendu que, pour passer de la première à la seconde, il suffit de remplacer z par z-\l — I.

Prenons encore

(e'*- — e-"^) co'àbz

a et h désignant deux quantités positives. L'équation (3) sera vérifiée, non seulement par la valeur :: = o, mais encore par les valeurs de z comprises dans les deux séries

Or, si l'on attribue au module de z une valeur infiniment grande, tellement choisie que la différence entre cette valeur et le terme le plus voisin de chacune des suites

oo) -, — , — , •••,

soit une quantité finie, le produit -/(-) deviendra infiniment petit, quel que soit l'angle/?. On aura donc, en vertu de la formule ( j5),

ou, ce qui revient au même,

^ I ^ 71/; 7:/; "' 2TI/; 2 71 /) ^tTIi 3 7r/< ""

Ij \ TZ fl -Kii -i-Kil 'JTZrl 5 71 « STla

~o fT u, ~ib ^ - 2 h f.TJT e~ TT

Pareillement, si l'on désigne par f(::) et F(::) deux fonctions entières de z, on trouvera successivement

(^>7) /. iï .^ TZ,- ■.- ) ) - o,

Si l'on suppose, pour plus de commodité, que p^|^ soit une fonction paire de -, et que les racines de l'équation

soient inégales entre elles; en désignant par ^,, z^^, ... ces mômes

racines, on tirera de la formule (67)

1 Hçl ?, F(o) "

f Hv'-

2 Lf'(--

Si l'on suppose, au contraire, que —^ soit une fonction impaire de z, choisie de manière à s'évanouir pour z = o, on tirera de la formule (08)

/2Tr / \ 1^'

2 Tl /< 2 7t A

2TZi.

f(cO

F'(c,) (e«-.— e-«^.)sin^^^, F' (5,) (e^'=.— e-«-.) sin^^j Concevons en particulier que l'on pose dans l'équation (71)

et dans l'équation (72)

Alors on trouvera

in II "YT

2C {e'"-'-]- e-'"'} suiac

et

/,2c^ + 7^2 TWi 1W£ ^2ç2^/^^2 2U^ 27W< b'- C' + QT.'^ ^î^

Si, après avoir multiplié par c- les deux membres de l'équation (73), on prend c = ce, on retrouvera la formule (6G). Ajoutons que, si, après avoir multiplié par la eonstante a les deux membres de ehaeune des formules (78) et (74). on réduit cette constante à zéro, on obtiendra les équations