rn, 2 m {9. m

rn + l '^ ^-2/11 + ■ j ~

A2 =-S,+ Si,

A4 =S4-3S3+3S,-Si,

Ac = — SoH- 5S5 — 1084+ roSj— 5S2+ Si,

De plus, comme on a, en vertu de la formule du binôme et en supposant .r-<^ 1 ,

OEuvresde C. — S. II, t. VU.

il est clair que l'équation (43) pourra être présentée sous la forme

^" + . . . (Ao-f- k^.x--+- Ai^^H- Ag^-'H-. . .).

Lorsque,' dans cette dernière, on développe le second membre suivant les puissances ascendantes de x, le développement doit coïncider, quel que soit a;, avec le polynôme renfermé dans le premier membre; d'où l'on conclut

-Ao,

A, Ai

Ao,

Enfin, si l'on reporte dans les formules (m) les valeurs de A,, A^, A3, Ai, ... tirées des équations (41), ou, ce qui revient au même, des équations (47) 6t (48), on trouvera

et l'on obtiendra des relations dignes de remarque entre les sommes désignées par S,, S^, S3, On aura, par exemple.

ou, en d'autres termes.

- (e-'^H- 4 e-^'^-hC) e-^'^-l-iô e-*^" + .

SlIU QIIELQIES l»ROPOSrnO\S FOXDAME\TALES

Soit /(^) une fonction qui s'évanouisse lorsqu'on attribue à la variable z des valeurs infinies, réelles ou imaginaires, et supposons que le produit

se réduise alors à une constante déterminée .f. D'apri's ce qu'on a dit dans le premier Volume des Exei'cices, page i lo('), le résidu intégral de la fonction/(^) sera précisément égal à S, en sorte qu'on aura

Comme cette dernière formule peut servir à résoudre un grand nombre de problèmes, il importe de bien fixer le sens de la proposition qu'elle renferme. Tel est l'objet dont nous allons d'abord nous occuper. J'observerai en premier lieu que, dans le cas où l'équation

a une infinité de racines, l'expression résidu intégral désigne la limite vers laquelle la somme des résidus partiels de la fonction /(:;) converge de plus en plus, à mesure que l'on fait entrer dans cette somme un plus grand nombre de termes. Or la valeur de cette limite peut

{}) OEiwres de Cauchy, S. II, T. VI, p. i4i-

dépendre de l'ordre dans lequel on range les résidus partiels pour les ajouter les uns aux autres. C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on suppose

Z SIIITT^

Alors l'équation (3), réduite à

(4) ^sin7T.;=:o,

aura : i" deux racines nulles, correspondantes à un résidu pareillement nul; 2" des racines positives comprises dans la série

et auxquelles correspondront les résidus partiels

'^° des racines négatives comprises dans la série

(7) —I' —2, —3, — \, ..., et auxquelles correspondront les résidus partiels

Or, si, dans l'addition des résidus partiels, on suit l'ordre de grandeur des valeurs numériques des racines, en ajoutant toujours simultanément les résidus qui correspondent à des racines égales, mais aOeclées de signes contraires, la somme obtenue sera constamment nullp, et l'on pourra en dire autant de la limite vers laquelle convergera cette somme, à mesure que l'on y fera entrer un plus grand nombre de termes. Donc, si l'on considère la notation

P / l'r. cosr.z

^^ \\z sinTT^ comme destinée à représenter la limite de laquelle le résidu

<^oo \ \ 3 SiOTT^

s'approche indéfiniment pour des valeurs croissantes de n, on aura

^^\\z siriTT.

Mais si, dans l'addition des résidus partiels, on n'a point égard à l'ordre de grandeur des valeurs numériques des racines; si, pour fixer les idées, on ajoute aux n .premiers termes de la série (8) les n ^ m premiers termes de la série (6), m et n étant deux nombres entiers quelconques, on obtiendra la somme

-, II I

qui, se trouvant toujours comprise entre les deux quantités

(-3) ifi+'-^V l6+ "'

ni \ // + I

(^voir p. 274)» pourra converger vers une limite finie et positive, on même vers une limite infinie, tandis que les nombres m et n croîtront indéfiniment. On arriverait à des conclusions du même ijenre, si l'on ajoutait aux 71 premiers termes de la série (G) les // h- m premiers termes de la série (8). Seulement alors la somme obtenue et la limite vers laquelle cette somme convergerait deviendraient négatives. Ainsi, dans le cas que nous considérons, le résidu intégral

aura une valeur générale indéterminée, qui pourra être finie ou indéfinie, positive ou négative; et la formule (i i) ne fournira qu'une valeur particulière de ce même résidu.

Revenons au cas où /(-) désigne une fonction quelconque. Alors l'équation (3) pourra offrir non seulement des racines réelles, mais encore des racines imaginaires. De plus, toute valeur imaginaire de c pourra être présentée sous la forme

(i4) z=r.rei>^~,

r désignant une quantité positive appelée modale, et p une variable réelle, comprise entre les deux limites — t:, -f-û. Enfin l'on pourra concevoir que les variables réelles r et/? représentent deux coordonnées polaires, savoir, le rayon vecteur d'un point mobile, ce rayon étant compté à partir d'une origine fixe, et l'angle que fait le même rayon vecteur avec un axe fixe passant par l'origine. Cela posé, imaginons que, dans le plan des coordonnées r et/?, on trace une courbe fermée ou un contour fermé, dont la forme varie sans cesse et de manière que ses différents points s'éloignent indéfiniment de l'origine. Supposons d'ailleurs qu'on ajoute les uns aux autres les résidus partiels de la fonction/(::) correspondants à des valeurs de r et de/? qui indiquent des points situés dans l'intérieur de la courbe. Le nombre des termes dont se composera la somme ainsi obtenue croîtra sans cesse, et la limite vers laquelle convergera cette somme pourra dépendre de la nature de la courbe dont nous avons parlé. Donc le résidu intégral de la fonction /(-), qui n'est autre que cette limite, aura le plus souvent une valeur générale indéterminée. Mais il n'en sera plus de même si la courbe est réduite à la circonférence d'un cercle dont le centre coïncide avec l'origine, et dont le rayon R croisse de plus en plus. Alors la somme des résidus de /(-) correspondants à des points situés dans l'intérieur du cercle, c'est-à-dire la somme des résidus correspondants aux racines dont le module sera inférieur à R, se trouvera représentée par la notation

(Ri ^(nri

\voir le premier Volume des Exercices, p. 207 ( ' )], et pourra converger vers une limite déterminée, tandis que le rayon R deviendra de plus en plus grand. (]ette dernière limite sera une valeur particulière du résidu intégral

(1 ) OEavres de Caiichy, S. W, T. VI, p. 258.

que nous appellerons valeur principale, et qu'il ne faut pas confondre avec la valeur générale ci-dessus mentionnée. Dans l'exemple que nous avons déjà traité, le résidu intégral

a pour valeur générale une quantité indéterminée, mais sa valeur principale se réduit à zéro.

Les observations que nous venons de faire s'étendent au cas même où, la fonction/(:;) se présentant sous la forme d'une fraction, il s'agirait d'évaluer le résidu intégral relatif aux racines de -y^ = o qui ren-

draient le dénominateur de la fraction nul ou le numérateur infini. Supposons, pour fixer les idées.

Alors les valeurs principales des deux expressions

p((f(^))) p JM

ne seront autres que les limites vers lesquelles convergeront les résidus

tandis que le module R deviendra de plus en plus grand.

Il est maintenant facile de s'assurer que, dans la formule (2), le résidu intégral

doit toujours être réduit à sa valeur principale. Effectivement, pour y parvenir, il suffit d'observer que cette formule peut être déduite de l'équation (64) de la page 212 du premier Volume (') à l'aide des considérations suivantes.

(1) OEuvres de Cauchy, S. II, T. VI, p. 2G5.

Supposons que la fonction /(:;) ne demeure pas infinie pour z — o. Alors, en remplaçant / par z, /(t) par/(^), et /'o psi" zéro, dans l'équation (64) de la page 212 du premier Volume ('), on trouvera

(.6) ( ((/(-)))^ / Re/^v^/(Re/'f-0^/'-

J'ajoute que la formule (16) s'étend au cas même où la fonction/(c)

devient infinie avec -, pourvu que, dans ce cas, on considère le résidu

de f(z) relatif à ^ = o comme renfermé dans la somme désignée par la notation

En effet, soit m le nombre des racines nulles de l'équation (3), et faisons, pour abréger.

Les premiers termes du développement de /(^) suivant les puissances ascendantes de z composeront le polynôme

et la différence

rn{z) = f{z)

sera une nouvelle fonction de z qui ne deviendra plus infinie avec -■ On aura donc, en vertu de la formule (16),

Or, si l'on substitue dans l'équation précédente la valeur de ct(^), en observant que l'on a, pour /i >► I ,

((^)) = o, £^ ^^, dp = K— £ e-"-...>CT ,p^,,,

(1) Œuvres de Cauchy, S. Il, T. Vï, p. x'à'i.

et, pour n = i,

on obtiendra la formule

qui pourra être évidemment réduite à la formule (i6).

Cela posé, désignons par .f une constante déterminée, et admettons que, en attribuant au module /■ des valeurs de plus en plus grandes, on puisse choisir ces valeurs de manière que la différence

s'approche indéfiniment de zéro, quel que soit/;. En désignant par K une des valeurs dont il s'agit, et par 0 la valeur correspondante de l'intégrale

(18) -^ f Adp, on conclura de l'équation (iG)

iOi i — ni

puis, en prenant R = :/d et supposant le résidu intégral

réduit à sa valeur principale, on trouvera détinitivement

La démonstration précédente de la formule (2) subsisterait encore si les valeurs de la différence

OEuvrcs de C. — S- U, t. VU. 38

correspondantes à de très grandes valeurs de z, étaient sensiblement nulles pour des valeurs de/? sensiblement distinctes de certaines quantités/?o, />,, /?,, ..., et demeuraient finies pour des valeurs âe p très

rapprochées de p^, p,,p., En effet, les parties de l'intégrale (i8),

correspondantes à ces dernières valeurs de p, seraient de la forme

\ /'O -1 /'n — il /

t,, i., désignant des nombres très petits, et A,, A^ des quantités finies. Or, chacune des intégrales réelles

/ A, rf/>, / ^,dp

étant égale au produit de la somme £0 -\- s, par une moyenne entre les diverses valeurs de A, ou de A., resterait fort petite dans l'hypothèse admise; et l'on pourrait en dire autant, non seulement de l'expression (20), mais encore de l'intégrale (18), dans laquelle toutes les parties relatives à des valeurs sensibles de A seraient sensiblement nulles. Ainsi, pour que notre démonstration subsiste, il suffit que des valeurs de A, correspondantes à de très grands modules de z, demeurent généralement, ou très petites, ou finies, quel que soit l'angle p, et ne puissent cesser d'être très petites, en devenant finies, que pour certaines valeurs particulières du même angle. H y a plus : il suffit que cette condition puisse être remplie pour des modules de z convenablement choisis, mais supérieurs à toute limite assignable, par exemple pour des modules respectivement égaux aux différents termes d'une série donnée et toujours croissante. Il pourrait d'ailleurs arriver que d'autres valeurs de A, qui correspondraient à des modules de c très considérables, mais pris hors de la série donnée, fussent infinies; et c'est ce qui arrivera d'ordinaire, lorsque l'équation (3) aura une infinité de racines.

Pour faire mieux saisir ces principes, appliquons-les à un cas particulier, et supposons

(21) fi^) = ~

Comme on trouvera dans ce cas

(22) Zf{z) = \-^

il est clair que le produit -/(-) différera très peu de l'unité, pour de très grandes valeurs attribuées au module r de la variable

z = re^v'-'— r(cosp -\-\/~ i s'inp),

tant que l'on n'aura pas sensiblement

(23) cos/y = o, c'est-à-dire,