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Les seconds membres des deux équations qui précèdent peuvent être facilement exprimés par le moyen des nombres de Bernoulli, comme nous le montrerons dans un autre Article. Ces équations comprennent d'ailleurs comme cas particuliers les formules (93) et (9^). Si l'on y

OEwrrs de C. — S. Il, t. VU. ^O

:îi^ suh quelques propositions fondamentales

change m en — m, elles donneront

j 3W;i — 1 ylm— 1

(98) ^ — 3^- Ts — rî^ + -i^ — lï^""---'^'''

pourvu que le nombre entier m ne se réduise pas à zéro. Les tbrniules (97) et (98) pourraient encore se déduire des équations (80) et (81). Si l'on pose dans la formule (G8)

et, dans la formule (()9),

!'(::'') désignant une fonction rationnelle de :;'', on tirera de ces formules

Prenons, pour fixer les idées,

s désignant une quantité réelle ou une expression imaginaire. Alors les

formules (99) el (100) donneront

(lOl)

W.S'*Y (,71s sll

Q-iti 2* | ^.i ^/in ^-37t 34 | jï

1 cos {tiskJ 1) + c'^-'' v

(lOfî)

•lî 5'* H- .V*

iG.s'*

rV^+ 2 COS I -T-. 1 + r:- »

Jusqu'ici nous avons supposé que les constantes, désignées par « et h dans les formules (67), ((38), (09), etc., étaient des quantités positives. Mais il serait facile de prouver, à l'aide du théorème II, que ces formules peuvent être étendues à des valeurs négatives ou imaginaires des mêmes constantes. Cette observation fournit encore divers résultats dignes de remarque. Si, pour fixer les idées, on pose, dans la formule (68),

rt==l C0S- + V/-1 sin-jv'— ', ^=:cos--hv'— I sin-, P(Tj = ^^7;m'

m désignant un nombre entier et 0 un arc réel, on trouvera

cos-