I SI
n|);jsin[
cos V' — I sm - \z
ou, ce qui revient au même,
/ e" '<'"'* sin (7: cos 0 — niB) -\- e^'^'*'"'^ sin (t: cos (5 -hmO)
^/27rsi..o 2cos(2 7:cos6') + r--^^*"^J I e-'^'''"^sin(?-TîCos5 — m9) -+- e--'^"'"^ shï{2r. co&O + mO)
,f'2in-i-l
gi7t.siii6 r, cos (4t: cos 9) -h e-^"^^'"^
I e''^*''"^ sin (3 71 cos 6» — mO) -f- e-=*'^**'"'^sin(3Tr cos5 4- mO)
32/ra+i
g6i:sin6 g cos(67:cos6) -h e-'^"'*'"^
sin ( cos - + y/ — i sin - ) ^ sin ( cos ; v^ — 1 sin - j ;:
ii^""^'))
La formule (io4) subsiste dans le cas même où l'on y remplace ni par — m. Seulement le second membre s'évanouit alors, dès que le nombre /// devient supérieur à l'unité.
Lorsque, dans la formule (ro/j), on prend 0 = -? on est ramené à
l'équation (9)). Si l'on prenait, au contraire, 0= ^^ cette formule donnerait
I I I \ jht:
\ COS-— -
\ I I I \ . niT:
sin
e-^s/^—e-^^"' 42"'+' ^,27tv/^,^.--j7iv/â ■■ ; ' 3
8 <--,,3,,cos^^3 + e-- a^-'"^'))' puis on en conclurait : i" en remplaçant m par — r,
r 477 Iguy/â f'-''^v'5 e?-^V^ e^'^'^V^ ^HUy'Ti g-:mV» i 'V '
2" en remplaçant m par — w, et supposant le nombre m supérieur à l'unité,
/UTC
ces -7;-
f -[ ( = r rî i 7= — . . . SI 11 —7- :- O.
Ajoutons que, si l'on remplace m par 3m, on tirera des formules (10:)) et (107)
tr. y':i 7; y :« ;-j U //t-l- 1 a Tî y'â 3 TT y 3
■^ ^ e'" — ■! cos - v^^ + ^''
ot
36/«-l ^Gm-l
TT V 3 % y/à
- 1 .- ' r- Slty'S STTv'S 57tv/:l ôTty'S
On conclura, en particulier, de la formule (108), en prenant m = o,
71 V 3 ■K^'ï SiZy'i 37Tv3 5 TT y''» S TC y^ ' ' /^8
Parmi les diverses formules que nous venons d'établir, les unes fournissent immédiatement les sommes de certaines séries. Telles sont les formules (93), (94). (9^^)61 suivantes. D'autres servent seulement à transformer les sommes des séries que renferment leurs premiers membres. Or, ces transformations seront souvent fort utiles pour le calcul numérique des sommes dont il s'agit. Ainsi, en particulier, concevons que l'on propose d'évaluer la somme
pour une valeur de x très peu différente de l'unité, par exemple, pour ,r = I ,ooor. Comme, dans la série
1,0001— (1,0001)-— ( -) (l.OOOl)'* —
1,0001 \ 1,0001/ \l,OOOI
le terme dont le rang est indiqué par le nombre 1/40000, savoir:
I 'lOOOO
surpasse un dixième, il est clair que, pour obtenir à un dixième près et par un calcul direct la somme demandée, il faudra évaluer environ cent quarante mille termes. Par conséquent, le calcul direct de la somme demandée sera impraticable. Mais il est aisé de transformer
cette somme à l'aide de la formule (85). En effet, si l'on pose dans cette formule
■Kh
e" = ^ =: I , OOO I ,
et si l'on fait d'ailleurs, pour abréger,
Lr 1(1, 0001) ^ ^ ^^^
on en conclura
Or, dans le second membre de l'équation (m), on pourra négliger
sans erreur sensible les termes qui renferment X, et dont le premier,
savoir
a une valeur numérique plus petite que l'expression
On aura donc, avec une approximation extrêmement considérable, I 2 3 I
je
Les applications que nous venons de faire de la formule (Sj) suffisent pour en montrer l'importance. On pourrait, au reste, multiplier indéfiniment ces applications. Parmi les équations remarquables aux. quelles on parviendrait de cette manière, nous citerons encore les trois formules
(,,3) r(( '. l^'lUo
<--' V\cos?. r 3 — cos 2 Tia) (e^'^- H- &-=="-— 2 008 2 71(3:) z JJ '
dans lesquelles a, s désignent des quantités réelles ou des expressions imaginaires, et |'(:;') une fonction rationnelle de z\ qui peut être quelconque dans la formule (ii3), mais qui doit s'évanouir avec ^ dans la formule (i r2). Si l'on développe ces trois formules, on en tirera
(ii5) <•
I 4 <^ {e-^--—e-^-)6hniz \\ z JJ'
a e-"^ — 2C0S2 7:a + e- -^^^ ' a +i f^-"'*-*-*) — 2COS2 7:aH-6?-"^^'=<-^''
= ^sin2Trar ^ f f(i^V
2 <-^ (cos27:^ — cos2 7:a)(e-'^-+e--'^=— 2COS2 7ïa
II 12 I 3
TT 2 — (e'^v'^»- -h e-^ V-'') cosT- v/T^-
\ 2 5 4 — 4(eW^'>■^-e-"v^*■)cosTCv/2 5 + e2^V^■^-2cos2 7:v/2 5^-e~■-~v'-•^•
l.orsqu'on pose ^ = o, la formule (117) reproduit la première des équations (91). Ajoutons que, si l'on prend
.y' + z* les formules (ii5) et (i iG) donneront
