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sinTi ( I H- o;)^ I \ 2 / 1 \ 3
sin 27Ï ( I + - I sinSTTl 1
Dans le cas où les constantes i et ^, s'évanouissent, le troisième théorème coïncide avec la proposition que nous allons énoncer.
Théorème IV. — Si, en attribuant au module r de la variable
z:= ryç.o?,p + \J — 1 sin/?)
des valeurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière que les deux fonctions
deviennent sensiblement nulles, quel que soit d'ailleurs l'angle p, ou du moins de manière que chacune de ces fonctions reste toujours f nie ou infiniment petite, et ne cesse d'être infiniment petite , en demeurant finie, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de p, on aura
pourvu que, dans le second membre de l'équation (36), on réduise le résidu intégral
à sa valeur principale.
DES FONCTIONS D'UNE SEULE VAllIABLE, ETC. 337
Exemple. - Supposons
fix) = —, ,
a et h désignant deux constantes réelles ou imaginaires. Les expressions (iG) et (17) deviendront infiniment petites quand on attribuera au module de la variable z des valeurs infiniment grandes, mais sensiblement distinctes de celles que fournit l'équation
Qtiz — 2 ('0'i,bz + e-"" =: o,
et l'on tirera de la formule (36)
ÔTl I
Si, pour plus de simplicité, on prend ^ — a, on trouvera
t^ax — 2 cosao" + e-«-*^
GEavres de C. — S. M, t. Ml.
e"— e-'^ Ti*-\-\a'*x^ e^"^— e-^"^ {0.%)'* -\- \a'* x*
Si l'on prenait, au contraire, h = - sja- + h^ , on en conclurait
gax — 2C0S — - H- e-'^^ v/3
3 7r»/3 37tv/3 (37:)^ + -h37rf a''.r^4--^a*^^
.na^x- r v/3 L ^
v/3 g-Tiv'^ (271)*+ ^{2Tz)- a^ x'^ -^ ^a'* x'*
>27iv/3 g-2Ttv'3 (47r)* + -|(47r)^«-.r"'' + -|a*^-'^
L'équation (38) s'accorde avec la formule (loi) de la page 3 1 5. De plus, si, après avoir développé suivant les puissances ascendantes de x les deux membres de l'équation (38) ou (39), on compare entre eux les coefficients des puissances semblables, on sera immédiatement ramené aux formules (93), (95), (io5), (108) et (110) de l'article précédent.
Il est bon d'observer que l'expression (j6) est toujours nulle dans le cas Q\\f{x) désigne une fonction impaire de la variable x, c'està-dire une fonction qui cbange de signe quand on y. remplace j:- par — X. Alors, la formule (3G) subsistera si, pour des valeurs du module de z infiniment grandes et convenablement choisies, l'expression (17) reste toujours finie ou infiniment petite, et finie seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières de l'angle p.
Exemples. — Si l'on prend successivement pour /(a?) les deux fonctions impaires
on tirera de la formule (36)
(4o) COlJC=zi -^ -,
qX , Q-X ^y j.
OU, ce qui revient au même,
(42) coix^^~ixl-^ — i + T-r' — 5-^ ^ — -,+---V
v \tx'' — jc^ 4Tr^ — OC- 97:- — :r- j
t ri\ e^-+-e-^ r / i 1 i
e^—e^ X \7;^-+-^- 471-4-./'"^ 971^+ cT'^
Ces dernières équations étaient déjà connues, ainsi que plusieurs autres du même c^enre que l'on pourrait aisément déduire de la formule (36).
Supposons encore que l'on prenne successivement, pour /(.r), les deux fonctions impaires
(e«'^' e-«'-^^) sin^^^' (e™'^' + e-«'-^^) sin/>.r '
a, h désignant deux constantes réelles et positives. L'expression i^i-j) deviendra nulle, à très peu près, quand on attribuera au module de z des valeurs très considérables, mais sensiblement distinctes de celles (jui vérifient l'équation
et l'on tirera de la formule (36)
(ea'x»g-«-^')sinè,r C^x-z {{{e^'--'-—e-^'--')^mhz))
e«'*'+e-«''^')sLn6^ *^ x — z (( (e«'-' 4- e-«'=') sin^>^))'
3iO SUR LE DÉVELOPPEMENT
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