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■" 8 ~ 6 2 1.2' rJ* I 2^—1 r,''

râ I 2^71®

33i SUR LE DEVELOPPEMENT

Il serait facile de vérifier numériquement, dans des cas particuliers, les formules (24), (^j), (2G), (27) et (28). Ainsi, par exemple, si l'on prend ^=-, la formule (27) deviendra identique, et la formule (28) donnera

7rv/4.3

. 71 J'2 .3 . TT v/4 • •>

sm — i sm —^^ —

. 7rv/6.5 . 7rv/8.7 sin — ^^ sm — '^ — ~

sin

r. y/io-O

. 71 v/6 . 7 . 71 v/'8 • () sm — '^ ^ sin — ^ — ^ sm

Afin d'évaluer plus aisément la somme des sinus que renferme l'équation précédente, nous observerons que l'on a sensiblement, pour de très grandes valeurs du nombre entier n,

sm --^ ^

(2/i — \)\/2n{2n — l) (2/i -I- l) \/2/i(2rt + l)J «" 4 4"

On trouvera d'ailleurs

. 71 v/a . I . 71 v/2 . 3 sm — sm — ^^

. 7:v/4T3 sm —

. 7rv/8.7 sm —

. 7: v/4 . 5 sm — ^-î —

o,oi;jio,

. 7:v/8.9 sm — '^ — -

. Ttv/lO.q . TTv/lO.IJ

sin — ^ 2 s\n-^ ,-

= 0,00845. . . -i^- 0,00601 . . . = — — + o,ooo3, . . ,

9^/10.9 iiy'io.ii ' 100

et, par conséquent,

. TZ\]'i..i . Ti\/^.3 . r.J6.5 . r.\/87n . ttv/io.q

sm -* siii— î sin— ^^ sm—^ — ^ sin — ^^ -

IV2.I 3v/4-3 5v/6.5 7V/8.7 gV'io.g

71 y/?.. 3 7r\/4.5 . Tiv/ô.y . Trs/STq . ttv/io.ii

sin sin — ^- sin — - — - sin — ^^ — - sin — ^^ —

3^/2.3 5\/4.5 7v/6.7 9v/8-9 iiy/io.!!

— (i-^yH h...) + 0,2973... + o,oi35 .. +0,0025... +0,0007... + o,ooo3,.. + ,

ainsi que l'on devait s'y attendre.

Lorsqu'on attribue au rapport^, ou au produit 2^', dans les formules (24 ), (2G), (29), ou bien à la variable x, dans la formule (3o), une valeur réelle supérieure à k, les sinus renfermés dans un ou plusieurs termes de ces formules se cbangent en exponentielles. Ainsi, par exemple, on tirera de la formule (3o) : i" en supposant la variable X comprise entre les limites x — i, x = 1,

,7rv'^^-7rv/:i-T , ^'"^^('~f) , sin3r('i-|

i{x —- lY

sin7r(. + ^r I sin27r(,+ f)' ^ sin37r(i+|)'

2" en supposant la variable a? comprise entre les limites it= 2, a: =3,