COS ^.3? = COS

— COS i

-7; COS

-; ~ r{ COS h

ORuvres de C. — S. II, t. VII.

m\in — 2) 9^7

On aura, par exemple,

i t: ^ I 3^ I 5j: I njc I qœ

[ = COS h :t cos — — ^ cos • COS ^— H- - cos ~ 1- . . . ,

('•^0 <; TTCOSo^ I ^ I 3x I 5.r I -^ I Q^

— ?-— = ô cos — 1 r cos — + -, — cos ^ — cos ^— cos -—

4 y/ "2 O 2 I.O 2 6.J 2 0.9 2 7. II 2

et

j j ^ I 3 ^ I 7 .r 1.3 1 1 jr 1.3.5 1 5 .r 9J cos^ ^ = cos — H - cos 7 cos ~ \ 7 — ; cos , ^ ., cos

' -~- COS'' a; = cos — h ^ cos \- y cos 7—7 cos h 7->— ?; cos — . . . ,

Ajoutons que, si l'on pose ^ = o dans la formule (149)» elle donnera

Soient maintenant, dans l'équation (loo),

a désignant toujours une constante positive. Alors, si Ton suppose la variable x renfermée entre les limites x^, X et X — .r,)< -, les expressions (98), (99) rempliront les conditions énoncées dans le théorème IV. Donc, en vertu de ce théorème, ou aura, entre les limites ^ ^ ^

Si l'on combine cette dernière formule avec l'équation (79) par voie d'addition ou de soustraction, on en tirera

et

et

|(^)::.-j^ COS ^ 'J^ COS ' ^ " [X/^)^//^

+ COS ■ "M COS — ^-^ ^ (• a) r/'jL + . .

. 3 71 (.r — .r„ ) sin -

puis, en prenant ^o= o, 2X = a = -, on trouvera, pour des valeurs de ce comprises entre les limites o et -,

(109) t'(^) — ^ 15 I COS(2/<4-l)d7 / C0S(2« + l)pL|'(/J

|3 COS(2/<4-l)d7 / C0S(2« + l)pL|'(/Jl)f//Jl " = 0 L «^0 J

et

(160) |'(-^)= - iS sin{2n-hi)j: j sin(2/i -f- i)/ji|'(/jl) ^/jl .

Les formules (iSg) et (160) s'accordent avec celles que M. Poisson a données dans le XVIIP' Cahier du Journal de l'École Polytechnique, p. 425. La première comprend comme cas particulier l'équation (i4o). Les applications que nous venons de faire du théorème lY suffisent pour montrer le parti qu'on peut en tirer. Il serait facile d'étendre indéfiniment ces applications, et de combiner ensuite les formules obtenues avec celles que fournit le théorème III. Eu opérant de la sorte, et désignant par « une constante positive, par />, A, B des constantes quelconques, enfin par f(r) et f,(r) des fonctions entières der,

on trouvera, par exemple : i" pour des valeurs de x comprises entre les limites or = x^, x = \<ioon -^ a,

[f(^,,-)er(^-a:„)f(,.yg(6-r)(a;-a;„)]garfj(,.) i e-'-'l^-^o) f( ^) ^,U

(,6i) \\x)=y^ {{ï{b — r)i\{r)e^'- — 1î{r) ii{b — /'{e'^i^-'-) ))

et

[(A + /-)e'"^^-^o) — (A — /Oe-'-t^-^o'JCR + r) f e'-(«+^.-!^) t'(fJt)^/fx (162) \'{a:) = ^ (( (A + /•) (B ^ rje"' — (A — /•) (B — /•)e-"'7) ~ '

2*^ pour des valeurs de ^ comprises entre les limites a? — o, ^- = a,

[(A+/-)e'"^— (A— /•)e-''^](B + /-) f e'-(«-!^)|'(]^) ^/jl (1^3) f(^) = 4l, ^ (A + /•) (B + /-je»'-— (A - /•) ^B — r}e-^'-) )) '

(•64) r(^)- i^^ ^(,a.^,-a,-)eosar-2)) j„ ^-n(/^)^//-,

(.65) rX^)--^'^ -(âé-+e— )cosa/-+.)) , j„ " 'l(f^)^/.'^-

Les formules (i6*3), (164), (i65) peuvent être employées avec succès, la première quand on recherche les lois suivant lesquelles la chaleur se propage dans une barre métallique, et, les deux dernières, quand il s'a«^it de déterminer les vibrations d'une lame élastique très étroite, dont les extrémités sont fixes, ou l'une fixe et l'autre mobile. On peut consulter à ce sujet le Mémoire que j'ai publié en février 18270, sur l'application du calcul des résidus aux questions de Physique.

En terminant cet article, je ferai observer qu'il serait facile de généraliser les formules auxquelles nous sommes parvenus, de manière à en obtenir d'autres qui serviraient à transformer, non plus une fonction i'(^) de la seule variable x, mais une fonction {{x,y, ...) de plusieurs variables x,y, .... Ainsi, en particulier, si l'on remplace, dans la formule (76), f(^) par {{x, y), on trouvera, entre les limites x=x^,

(») OEuvrex de Caiicliy, S. II, T. XV.

i, y) dix ('66) f(^'j)=-i"-^^^-^e;^rz.~7y)

D'ailleurs on trouvera de même, entre les limites j=7„, j=Y<v„ + /;,

b désignant une quantité positive, et le signe ^ étant relatif à la variable ^. On aura donc par suite, entre les limites ^=:a7o,^—X<.ro+«;

(.68) ix^, j) - ££ - ^'\(e^.ir,)H(y<.rr7))

Pour déduire cette dernière équation de la formule (7), il suffirait de

poser

F(/-) =e«'-— I, o{r)z=zi,

f (^, 7, /■) = l -^(^-gj—

Post-scriptum. — Lorsque, dans la formule (77), on pose a = ih, .cTo = ~ h, X = h, on obtient une équation donnée par M. Poisson dans le XIX^ Gabier du Journal de l'École Polytechnique, savoir

/ n = CD ,

I r . I O r' nrAx — tx) , ^ ,

(169) r(^) = ;j^j r(f^)^^i^+7^ j^ j^^cos— ^^— '^i'(/^)^/.a.

Cette équation, qui subsiste entre les limites x = — h, x = h, se déduit de la formule (78), quand on y remplace la fonction |(^) par A— —h), et les variables^, u. par les binômes ^ 4- t, ^^ 4- û. Or, quoique la formule (77) paraisse plus générale que l'équation (169), on peut néanmoins, en profitant des remarques faites par M. Fourier

dans le Mémoire que nous avons précédemment rappelé, tirer la première de la seconde. Il suffit, en effet, pour y parvenir, d'admettre que les quantités x^, X sont comprises entre les limites — h= — ~a, -^h = r^a, puis de substituer à {{x) une fonction de x qui soit constamment nulle hors des limites x = ^„, x — X, et constamment égale à \'(x) entre ces limites. Ainsi, la formule (77) est renfermée implicitement dans l'équation (78). On prouverait de même que les formules (109) et (iio) peuvent être déduites des équations (ii4) et (ii5) données par Lagrange et par Euler. Observons enfin qu'il suffit d'ajouter, membre à membre, les formules (109) et (iio), puis de remplacer a par ^«, pour reproduire l'équation (77). Seulement, lorsqu'on opère comme on vient de le dire, la formule (77) ne se trouve établie que pour des valeurs de x comprises entre les limites x = x^, X = X<1 .r„ -f- ^a.