II

Revenons maintenant à la formule (109). Si l'on y suppose

l'(^) r= COS-"'^,

.V désignant toujours une quantité positive, on obtiendra l'équation

(i3<)) COS*j:.-^= — r(''fH-i)

cosax

cos2aa?

(Ki-)]' <^^^-)K'^---)"<-^"-)K-^--)^1'

qui subsiste pour les valeurs de x comprises entre les limites a: — — 7»

07=: -, et pour des valeurs de a positives, mais inférieures à 2. Si l'on

prenait précisément aL = 1, l'équation (iSg) coïnciderait avec la formule (i32). De plus, si l'on combine l'équation (iSg) avec celle que l'on en déduit, quand on remplace a par 2a, on trouvera, entre les

limites a — o, a = i ; ^c -

(i4o) cos^a- =z --^^T{s -+-

cosaœ

cos3a.r

(—-'^ir--') '■C-^"-^')'-C^-)

Lorsque, dans cette dernière formule, on pose successivement a = i, puis .V = 2m et s= im — i, m désignant un nombre entier, on en conclut

(141) COS^cT— — :;

— - — -^ —-, cos.r

cosS^

cos5j:-+-.

2m — I „ (2m — t) (2m — '^) . ^ cos X H ces 3 .:r H- ^ J^. >— COS 5 X ■

cos.r

„ ( /« — J ) ( Art — 2 ) f,

COS 3 .a? + '; ^' 7 cos 5^

( m + I ) ( /rt + 2 )

On aura, par exemple, entre les limites x = > a? = 7 >

4/ cos3.r cosSx cos?^ coso^

cos-^

8 /cos^ cos3j7 cos5.z; 0057.3? cosg^ ^ \ 1.3 "^1.3.5 ~' 3.5.7 ■^■7-9 7-9-"

et, pour une valeur quelconque de x.

coso? — COS:r,

cos'^=; j ( cos^ H- -cos3^ ) = j(3 cosjr + cos3^),

Si l'on prend x = o, les formules (i4') et (i44) donneront s — ( (s — \) (s — 3)

(,46) et

Enfin, si, dans la formule (f 39), on pose a ~ |, alors, en ayant égard à l'équation connue

(i48) Y{'?.s) = '?J^-^rr'^Y{s)Y(s+'-^,

on trouvera, entre les limites x