IV XXII

NOTE

SI R LE CALCUL DES TEINTKS QUE LA POLARISATION DÉVELOPPE l)A>S LES LAMES CRISTALLIHKKS \ [ Aimait» 4r ckimwet de pftynfw. I. XVII". p. 109 , 167 *t 3ia |

1. On a vu, dans le rapport de M. Arago, que la nature de ces teintes est déterminée par la différence de marche entre les deux systèmes d'ondes dans lesquels la lumière se divise en traversant un cristal qui jouit de la double réfraction; mais que les deux images produites par le rhomboïde de spath calcaire, au travers duquel on l'ail passer la lumière émergente, étant toujours complémentaires, il en résulte nécessairement que, si l'une répond a la différence de marche

i,; Celte noie a paru en Irais parties sous les titres suivante :

1 0 Note tur le calcul de* teintes que la polarisation développe dune le* lame* cri*talli*é<*

( rahier de mai 1811, page 1 on ) ;

•1* Deuxième note tur la coloration de* lame* cristallisées 1 cahier de juin 1 Hu 1 . page 167'*): 3* Addition à la Deuxième note insérée dans le cahier précèdent (cahier de juillet 1 K -» 1 .

page 3 11).

Ces trois parties ont ensuite élé reunies au rapport de M. Arago dans un tirage à pari: la suppression de quelques mots rétablit les transitions. .Nous reproduisons le texte du tirage à part.

On a classe* cette note après les diverses pièces de la polémique avec M. Biot, bien qu'elle ail été publiée antérieurement. C'esl presque uniquement en effet au rapport d Arago que la polémique se rattache.

* Nota. De la page 1 1 3 à la page 1 76 du tome XV 11 de» Annale», les chiffres de pagination ont .lté par erreur augmente* d'une centaine.

Y XXII. des deux systèmes d'ondes dans la lame cristallisée, l'autre répond à la même différence augmentée ou diminuée d'une demi-ondulation. Voici la règle générale qui fait connaître pour laquelle des deux images il faut ajouter une demi-ondulation à la différence des chemin* parcourus : l'image dont la teinte correspond précisément à la différence de* chemins parcourus est celle dont les plans de polarisation des deux faisceau,r constituants , après s'être écartés l'un de Vautre, se rapprochent ensuite par un mouvement contraire pour ne réunir; tandis que les plans de polarisatum des deux faisceaux constituants de V image complémentaire continuent à n'éloigner l'un de V autre ( considérés d un seul côté de leur commune intersection), jusqu'à ce qu'ils se soient placés sur le prolongement l'un de Vautre.

Cette règle devient plus facile à entendre, à l aide de la figure sui- \anl»\ dans laquelle PP' représente le plan primitif de polarisation des

rayons incidents, 00' la section principale de la lame cristallisée, et SS' celle du rhomboïde au travers duquel on la regarde.

On voit que la lumière incidente, d'abord polarisée suivant CP, se divise, en traversant la lame cristallisée, en deux parties, l'une qui éprouve la réfraction ordinaire et reçoit une nouvelle polarisation suivant CO, l'autre qui éprouve la réfraction extraordinaire et se trouve polarisée dans un plan CE' perpendiculaire à CO. Représentons le premier par F„ et le second par Ff. Le passage au travers du rhomboïde divise F0, polarisé suivant CO, en deux autres système» d'ondes, l'un polarisé suivant la section principale CS, que je représente par F0 + tf, et le second polarisé suivant un plan perpendiculaire CT, que j'appellerai F0 + f . De même Fr, polarisé suivant CE', se divise dans le rhomboïde en deux systèmes d'ondes, le premier F, + #\ polarisé suivant CS, et le second Ff+, , polarisé suivant CT'. Si l'on suit le mouvement des plans de polarisation des deux faisceaux F^,, et Fe+0', qui concourent à la formation de l'image ordinaire ( en les considérant d'un seul côté de leur commune inlerser-

lion projetée en G), on voit que, partis primitivement de CP, ils !S" Wll. s'écartent l'un de l'autre pour prendre les directions CO et CE', et, se rapprochant ensuite, se réunissent en CS. Or, dans ce cas, l'image ordinaire répond précisément à la différence des chemins parcourus, au même instant, par les rayons ordinaires et extraordinaires sortis delà lame cristallisée. Si l'on suit de même la marche des plans de polarisation des deux faisceaux de l'image extraordinaire F0 + ,- et F, + /, on voit tjue, partis l'un et l'autre de GP, et après avoir pris dans la lame cristallisée les directions CO et CE', au lieu de se rapprocher ensuite ils continuent à s'écarter jusqu'à ce qu'ils se soient placés sur le prolongement l'un de l'autre dans les directions CT et" CT; ainsi, d'après la règle que nous venons de donner, il faut ajouter une demi-ondulation à la différence des chemins parcourus par ces deux systèmes d'ondes, ou, ce qui revient au même, changer dans l'un d'eux les signes des mouvements oscillatoires, pour calculer, par la formule d'interférence, le système d'ondes qui résulte de la réunion de ces deux faisceaux. On voit que les choses se passent absolument comme s'il s'agissait de la combinaison de forces dirigées dans le plan de la Ggure, c'est-à-dire perpendiculairement aux rayons, suivant leurs plans de polarisation, ou perpendiculairement à ces plans; car les composantes des deux forces GO et CE', qui se réuniraient en CS, auraient le même signe, comme les deux faisceaux F0 + 0' et F(. + 0' qui s'y sont réunis, el les deux autres composantes CT et CT', agissant en sens opposés, devraient être affectées de signes contraires.

Le principe de la conservation des forces vives indiquait d'avance que les deux images doivent être complémentaires l'une de l'autre; mais il ne désignait pas laquelle des deux répond à la différence des chemins parcourus, et laquelle répond à la même différence augmentée d'une demi-ondulation; c'est pourquoi j'ai eu recours aux faits, et j'ai déduit des observations de M. Biot la règle que je viens d'énoncer.

Elle explique pourquoi deux faisceaux de lumière directe, qui ont été polarisés à angle droit, ne présentent aucune apparence d'influence

V XXII. mutuelle lorsqu'on les ramène à un plan commun de polarisation par l'action d'une pile de glace ou d'un rhomboïde de spath calcaire. Ce n'est pas qu'ils n'exercent alors aucune influence l'un sur l'autre; car. indépendamment des considérations mécaniques, cette supposition serait trop contraire à l'analogie; mais c'est que les effets produits par les différents systèmes d'ondes de la lumière directe se compensent et se neutralisent mutuellement. En effet, on peut concevoir la lumière directe comme l'assemblage ou, plus exactement, la succession rapide d une infinité de systèmes d'ondes polarisés dans tous les azimuts, et de telle sorte qu'il y a toujours autant de lumière polarisée dans un plan quelconque que dans le plan perpendiculaire : or, il résulte de la règle que nous venons d'énoncer, que si, par exemple, l'on doit ajouter une demi-ondulation à la différence des chemins parcourus pour calculer l'image extraordinaire produite par la lumière polarisée suivant le premier plan, il ne faut point l'ajouter pour l'image extraordinaire qui résulte de la lumière polarisée suivant le second; en sorte que les deux teintes qu'elles apportent ensemble ou successivement dans l'image extraordinaire sont complémentaires. La compensation qui s'établit ainsi, et de la même manière pour tous les azimuts, empêche d'apercevoir les effets d'interférence.

2. Reprenons le cas représenté par la figure, où la lumière infidélité a éprouvé une polarisation préalable suivant le plan PP', avant de traverser la lame cristallisée, dont la section principale 00' fait un angle i avec ce plan, et cherchons, pour une espèce particulière de lumière homogène d'une longueur d'ondulation égale à X, quelles doivent être les intensités des images ordinaires et extraordinaires données par le rhomboïde de spath calcaire, dont la section principale SS' fait un angle s avec le plan primitif PP*. Je ferai abstraction, dans ce calcul, de la perte de lumière occasionnée par les réflexions partielles aux deux surfaces de la lame cristallisée et du rhomboïde, parce qu'elle n'a d'influence que sur les intensités absolues des images, et aucune sur leurs intensités relatives, les seules qui nous intéressent ici. Je représente par ¥ l'intensité des vitesses des molécules éthérées dans leurs

oscillations1", pour le faisceau incident polarisé; son intensité de 'lumière \" X\ll. sera représentée par F*, ou ( intensité de la force vive, d'après le sens même qu'on attache à la première expression, et la manière dont ou évalue les intensités de lumière dans toutes les expériences d'optique: puisque c'est la somme des forces vives, et non celle des vitesses d'oscillation qui reste constante, comme l'intensité totale, dans les diverses subdivisions que la lumière peut éprouver. Cela posé, le faisceau incident, en traversant la lame cristallisée, se divise en deux autres, dont les intensités lumineuses doivent être égales, d'après la loi de Malus, à Pcos* i, pour celui qui subit la réfraction ordinaire, et F sin't, pour celui qui subit la réfraction extraordinaire : l'intensité des vitesses d'oscillation sera donc dans le premier Fcosi et dans le second Fsini;î. Ainsi la lumière incidente, en traversant la lame cristallisée, se di\ise en deux systèmes d'ondes, qu'on peut représenter de la manière suivante :

cos»F„ siniF, P.O P. F/.

Les petites lettres o et e, placées au bas de F", ne changent eu rien la valeur de cette quantité; elles indiquent seulement la longueur des chemins parcourus au même instant par les rayons ordinaires et extraordinaires après qu'ils sont sortis de la lame cristallisée, et déterminent ainsi, par leur différence o- e, l'intervalle qui sépare les points correspondants des deux systèmes d'ondes. Les majuscules P.O et P.E' montrent la marche successive du plan de polarisation de chaque faisceau, pour faciliter l'application de la règle énoncée précédemment.

Chacun de ces deux systèmes d'ondes se divisera en deux autres

Dorénavant . pour abroger, j'appellerai je suis très-porté à le croire, s'exécutent unice» vitesses wVm*« d'oscillation. Il ne faut quement dans le plan de l'onde, perpendi-

pas les confondre avec la durée d'oscillation . culairemenl au plan de polarisation , la loi

qui reste toujours constante pour la même de Malus devient une conséquence simple

•wpeee de rayons, quelle que soit l'intensité et rigoureuse du principe de la composition

de la lumière. et de la décomposition des petits

■*' Si les

Y XXII. par l'action du rhomboïde de spath calcaire, ce qui produira eu tout les quatre faisceaux suivants, dont les deux premiers sont produits par le premier système d'ondes, et les deux autres par le second :

rosîcos (i — s) F0+0 cos i sin (i — +

sin isin (î - s) F, + 0 sin i cos (i — s) F, + t

Le premier avec le troisième composent l'image ordinaire, et le deuxième avec le quatrième, l'image extraordinaire. Calculons d'abord l'intensité de celle-ci.

3. On voit, d'après la marche des plans de polarisation indiquer par les majuscules placées sous chaque faisceau, que le deuxième et le quatrième, ramenés à un plan commun de polarisation, doivent dilférer d'une demi-ondulation, indépendamment de la différence o — e entre les chemins parcourus; il faut donc ajouter une demi-ondulation à o — e, ou, ce qui revient au même, changer le signe d'une des expressions qui représentent l'intensité ou le facteur commun des vitesses d'oscillation. Il s'agit donc de trouver la résultante de deux système* d'ondes, dont la différence de marche est o — e et les intensités de.* vitesses d'oscillation sont respectivement égales à

F cos i sin (i — s) et — F sin j cos (t — s).

En appliquant ici la formule générale que j'ai donnée dans l'extrait de mon Mémoire sur la diffraction, page ^58 du tome XI des Annales de chimie et de physique W,

A2 = aa -+- a* -+- aoa' cos aw ,

dans laquelle a et a représentent les intensités des vitesses d'oscillation des deux systèmes d'ondes, an la circonférence dont le rayon esl i , c la différence des chemins parcourus et X la longueur d'ondulation.

Page J91 du présent volume.

on trouve pour Imtensité de la lumière homogène dans l'image ex- V Wll traordinaire :

F2 J\'Os2isina(i-5) f sin2icosî(i'-.«)-2sinicosisin(j-5)ros(i-.ï)cos27r^^j j , ou

F'}i-cos»sin(»-s)-f sin»cos(ï- s)]s4-asin»cosisin(i-i)cos(i'-5) [i -cos27T [-'jpj J j. ou enfin,

F2 [sin1 s + sin a i sin 2(1- s) sin2 it (^y' ) ] •

En faisant un calcul semblable sur les deux faisceaux constituants de l image ordinaire , et observant que les deux expressions F cos 1 cos (1 s) et F sin 1 sin (i— s) doivent avoir le même signe, en raison de la marche des plans de polarisation, on trouve, pour l'intensité de la lumière dans l'image ordinaire :

F'2 [cos2 s — sin 2 1 sin 2 ( i — s) sin2 w (^y^) ] •

Voilà les formules générales qui donnent l'intensité de chaque espèce de lumière homogène dans les images ordinaire et extraordinaire en fonction de sa longueur d'ondulation et de la différence des chemins parcourus o — e par les rayons qui ont traversé la lame cristallisée. Connaissant son épaisseur et les vitesses des rayons ordinaires et des rayons extraordinaires dans ce cristal, il sera facile de déterminer o — c. Dans le sulfate de chaux, le cristal de roche et la plupart des autres cristaux jouissant de la double réfraction, o-e n'éprouve que de trèslégères variations en raison de la différence de nature des rayons lumineux, en sorte qu'on peut le regarder comme une quantité constante, du moins pour les cristaux que nous considérons ici, où la dispersion de double réfraction est très-petite relativement à la double réfraction. Si après avoir calculé la différence de marche o — e, on la divise successivement par la longueur moyenne d'ondulation de chacune des sept principales espèces de rayons colorés; et si l'on substitue successivement ces différents quotients dans les expressions ci-dessus, on aura le*

V XXII. intensités de chaque espèce de rayons colorés dans les images ordinaire et extraordinaire, et l'on pourra déterminer alors leurs teintes à l'aide de la formule empirique que Newton a donnée pour trouver la teinte résultant d'un mélange quelconque de rayons divers dont on connaît les intensités relatives. C'est pourquoi l'on doit considérer les formules générales qui donnent l'intensité de chaque espèce de lumière homogène en fonction de sa longueur d'ondulation, comme l'expression même de la teinte produite par la lumière blanche. C'est du moins tout ce qu'on peut déduire à présent de la théorie, et pour le reste il faut avoir recours à la construction empirique de Newton fondée sur l'expérience; car expliquer et calculer théoriquement l'effet produit sur l'œil par un mélange de rayons hétérogènes, c'est un double problème de physique et de physiologie qu'on est sans doute encore loin de résoudre.

h. Reprenons les formules ci-dessus, en supprimant le facteur commun F5, qu'on peut prendre pour unité de lumière :

Image ordinaire cos2j — sin 21 sin 2 (1 — 5)sin27r

I mage extraordinaire , sin2 s + sin 2 i sin 2(1—5) sin1 ir ( ) .

On voit, à l'inspection de ces formules, que les deux images doivent devenir blanches lorsque le terme qui contient

s'évanouit, puisque c'est le seul qui varie avec la longueur d'ondulation, et qui rend l'intensité différente pour les divers rayons colorés. Ainsi les images deviendront blanches quand on aura :

sin 21 sin 2 (i — 5) = o;

équation à laquelle on satisfait en égalant à zéro ,

sin 21 ou sin 2 (/ — s);

ce qui donne pour i les quatre valeurs

et pour 5, Y XXII.

Il suffît donc, pour que les images deviennent blanches, qu'une de ces huit conditions soit satisfaite, c'est-à-dire que la section principale de la lame cristallisée soit parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation ou à la section principale du rhomboïde; ce qu'on pouvait déduire aisément de la théorie sans le secours de la formule; car, lorsque la section principale de la lame est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, la lumière incidente ne subit qu'une espèce de réfraction dans ce cristal; et lorsque cette section principale est parallèle ou perpendiculaire à celle du rhomboïde, chaque image ne contient que des rayons qui ont éprouvé la même réfraction dans la lame cristallisée : ainsi, dans un cas comme dans l'autre, chaque image ne contient qu'un seul système d'ondes; partant plus de couleurs, puisqu'il n'y a plus d'interférences.

Les deux images sont au contraire colorées l'une et l'autre avec le plus de vivacité possible, quand le coefficient du terme variable est égal à l'unité; ce qui arrive lorsque 5 = 0 et i = 45°; alors les deux expressions deviennent :

Image ordinaire, i~sin37r(^) ou cos27r(^).

Image extraordinaire sin27r(^y^).

Il est à remarquer que la seconde expression est semblable à celle qui donne, pour les anneaux colorés, la résultante des deux systèmes d'ondes réfléchies sous l'incidence perpendiculaire à la première et à la seconde surface de la lame d'air, lorsque son épaisseur est ég« [{0 — e), ce qui rend la différence des chemins parcourus

0 — e. En effet, représentons par J l'intensité d'oscillation do chaque système d'ondes, et remarquons que leurs vitesses d'oscillation doivent . être prises avec des signes contraires, parce que l'un est réfléchi en dedans du milieu le plus dense et l'autre en dehors; ce qui entraine

l'opposition de signe, comme il résulte des calculs de M. Young et de

raie a

XXII. M. Poisson sur la réflexion des ondes à la surface de contacl de d»'ti\ milieux élastiques de densités différentes. Cela posé, on trouve pour l'intensité, de la lumière résultante, d'après la formule que nous avons déjà employée :

ii il /« r\ il (o - r\

^-2x-x-cost»r(T -). ou ---cosa^-j-), ou enfin

Ainsi, les teintes de l image extraordinaire produites par les lames cristallisées doivent être semblables a celles des anneaux réfléchis, du moins Unit que la différence de marche o — e produite par le cristal ne varie pas sensiblement avec la nature des rayons ; car dans les anneaux colorés,cette différence de marche, étant le double de l'épaisseur de la Ihiiu* d'air, est rigoureusement la même pour toutes les espèces de rayons.