SI II I
V— - eus a ,
sin II
Or l'un et l'autre ont parcouru le même chemin et ont élé réfléchis à la surface de séparation des deux milieux, si la réflexion est partielle et les formules réelles, comme nous le supposons ici; en sorte qu'il n'y aura point entre les deux systèmes d'ondes de différence de chemins parcourus, et que dans l'un et l'autre les mêmes périodes des oscillations ou les vitesses absolues correspondantes répondront au même point du rayon; elles seront donc constamment dans le même rapport et produiront toujours le long du rayon réfléchi des résultantes dirigées suivant le même plan; ainsi la lumière réfléchie sera aussi complètement polarisée que la lumière incidente, et le nouveau plan de polarisation sera perpendiculaire aux directions de ces résultantes : or la tangente de l'angle qu'elles font avec le plan d'incidence est égal au rapport des deux valeurs de v que nous venons de trouver, c'est-àdire ;\
sin a tang(i - i" sin (<-n ') rua a tang{< '+ f) sin (i "- i *
ou
cas ( i + i'
Ainsi la cotangente de l'angle du nouveau plan de polarisation avec le plan d'incidence sera égale à cette expression, ou la tangente à
COS [1 - t
cota
COS I l
N* X\\. Telle est l'expression de la loi des déviutions que la lumière éprouve dans son plan de polarisation lorsqu'elle est réfléchie à la surface extérieure des corps transparents. Dans la réflexion intérieure, la même loi doit avoir lieu pour les incidences correspondantes, c'est-à-dire celle des rayons réfractés qui auraient extérieurement l'incidence représentée piir i; car, en raison de la généralité de la formule, si l'on représente toujours par i l'angle d'incidence des rayons extérieurs, il suffira de changer * en ï et i en i dans l'expression ci-dessus pour avoir la tangente du nouvel azimut du plan «le polarisation, lorsque la réflexion s'opère en dedans du corps transparent, ce qui donnera :
ras i — i
rot a
ou
<os / + 1 y
même expression que dans le cas précédent, en supposant, Lien entendu, que a est toujours l'azimut du plan de polarisation du rayon immédiatement avant la réflexion.
10. Je n'ai pas encore vérifié la formule dans ce second cas, à cause de la nécessité de tailler les faces d'entrée et de sortie perpendiculairement aux rayons incidents et émergents pour les différentes obliquités dont on fait l'essai, si l'on veut que la déviation observée soit uniquement due à la réflexion intérieure. A la vérité on pourrait faire cette vérification d'une manière indirecte en employant une glace à faces parallèles et tenant compte des déviations résultant des deux réfractions (jue le faisceau éprouve de la part de la première surface. Ce procédé aurait l'avantage de permettre de varier sans frais, et autant qu'on le désirerait, l'obliquité des rayons incidents. Je n'ai point encore fait ces expériences, mais je ne doute pas que leurs résultats ne fussent conformes à ceux du calcul basé sur les formules que je viens de donner .
" M. Brewrter a confirmé ultérieurement cette prévision. Voyei le» Transactions philosophiques pour i83o.
If MÉMOIRE SLR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 77»
On en déduit pour la tangente de l'angle que le plan de polarisation N" \X\. d'un rayon réfracté fait avec le plan d'incidence :
11. Quand on fait tomber de la lumière ordinaire sur la surface d'un corps transparent, puisqu'elle peut toujours être considérée comme composée de quantités égales de mouvements vibratoires parallèles et perpendiculaires au plan d'incidence, si l'on veut avoir la proportion de lumière polarisée dans les rayons réfléebis, il suflira de calculer, pour ebaque incidence, au moyen des formules
i sin'U f) . i tangV"-i".i â sin' (i-t-/' a lang'(i-i-^
les proportions dans lesquelles se réfléebissent la lumière polarisée parallèlement au plan d'incidence et la lumière polarisée perpendiculairement au même plan , et de diviser la différence de ces deux expressions par leur somme; le quotient sera la proportion de lumière polarisée contenue dans le faisceau réfléchi. Quant a la quantité de lumière polarisée par transmission, elle sera égale à l'autre, d'après la théorie que nous venons d'exposer, comme d'après les anciennes expériences de M. Arago.
12. En étudiant avec un prisme les modifications que la réflexion intérieure imprime à la lumière polarisée dans un azimut de 65° relativement au plan d'incidence, j'avais observé depuis longtemps que les rayons réfléchis ne conservaient leur polarisation primitive que jusqu'à la limite de la réflexion partielle, et que, lorsque la réflexion devenait complète, la lumière réfléchie se trouvait en partie dépolarisée. Cette dépolarisation devenait totale après deux réflexions semblables sous une incidence de 5o° environ. J'en avais conclu, d'après les règles d'interférences des rayons polarisés, que la lumière réfléchie se trouvait alors composée de deux systèmes d'ondes égaux différant d'un quart d'ondulation et polarisés l'un parallèlement, l'autre perpendiculairement au plan d'incidence; ce qui revient à dire que les deux faisceaux polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence
780 THEORIE l)K LA LUMIERE. — I) EU XI KM E SECTION.
Y \\\. dans lesquels on peut diviser le faisceau incident n'ont pas été réfléchis en quelque sorte à la même profondeur, ou, s'ils l'ont été l'un et l'autre à la surface même, y ont éprouvé des modifications différentes dans les périodes de leurs vibrations, et de telle manière qu'après une de ces réflexions le faisceau polarisé suivant le plan d'incidence se trouve en retard d'un huitième d'ondulation sur l'autre, ou en avance de |*. et. après deux réflexions pareilles, en retard d'un quart ou en
avance de '7 (":'.
Mais celte différence de marche ou de période de vibration varie avec l'inclinaison des rayons; et ia toi de ses variations m'avait paru si dilticile à découvrir que, depuis six ans que ces phénomènes de dépolarisation m'étaient connus, je n'avais pas même essayé d'en chercher lu loi, et je n'espérais ia trouver qu'après avoir résolu d'une manière complète le problème mathématique de la réflexion et de la réfraction. La solution que je viens d'en donner an commencement de ce Mémoire est sans doute bien incomplète, i° en ce que je n'ai considéré que le cas où les deux milieux, ayant la même élasticité, différeraient seulement par leurs densités, tandis qu'il doit arriver le plus souvent que les deux milieux diffèrent en même temps d'élasticité; -i° en ce que j'ai appuyé nies calculs sur un principe que je n'ai point démontré, principe évident, à la vérité, lorsque les vibrations s'exécutent parallèlement à la surface réfringente, mais qui aurait besoin de démonstration dans le cas contraire où les rayons sont polarisés perpendiculairement au plan de réflexion, c'est-à-dire ou leurs vibrations s'exécutent dans ce plan.
Néanmoins, comme il parait résulter des faits observés jusqu'à présent que les proportions de lumière réfléchie et transmise à la surface de contact des deux milieux, ainsi que l'angle de la polarisation complète, ne dépendent que du rapport de réfraction des deux milieux, c'est-à-dire du rapport des vitesses de propagation de la lumière dans
<• Voye* V XVI.
chacun d'eux, quelle que soit d'ailleurs leur différence de nature et de N' XXX. densité pondérable (1\ et par conséquent sans doute leur différence d'élasticité, il me paraît très-probable que, si l'on avait égard dans le calcul à cette dernière différence, on aurait le même résultat qu'en attribuant uniquement à une différence de densité les vitesses différentes avec lesquelles la lumière parcourt ces deux milieux, et qu'ainsi l'on retomberait encore sur les formules (i) et (si). Quant à l'hypothèse subsidiaire sur laquelle elles reposent, elle me parait aussi d'une grande probabilité, à en juger par l'accord satisfaisant entre ces formules et toutes les observations exactes sur lesquelles j'ai pu les vérifier jusqu'à présent. Ayant donc tout lieu de croire qu'on doit les considérer comme rigoureuses (et d'autant plus qu'elles ne sont pas seulement vérifiées par des faits, mais encore établies sur des considérations théoriques déjà trèsprobables en elles-mêmes), j'ai cherché si ces mêmes formules qui m'avaient conduit d'une manière si simple à la loi des déviations que les rayons éprouvent dans leur plan de polarisation par l'effet de la réflexion extérieure, ne m'aideraient pas à deviner la loi des modifications d une nature toute différente que la réflexion totale imprime à la lumière polarisée, et j'y suis effectivement parvenu au moyen «les inductions que je vais exposer.
13. Les formules (i) et (a) conservent la forme réelle pour toutes les valeurs de r comprises entre o et o,o°, tant que le second milieu est plus réfringent que le premier; mais quand il l'est moins, c'est-à-dire lorsque le coefficient /», par lequel il faut multiplier sini pour avoir sin ï. est plus grand que i , avant d'atteindre 90°, ou trouve une valeur de 1 pour laquelle la valeur correspondante de sin 1" est égale à 1 et passé laquelle ce sinus est plus grand que l'unité; alors cosi' devient imaginaire et avec lui les formules (1) et (ti) dans lesquelles il entre. Cependant, eu vertu de la loi générale de continuité, si elles étaient une expression exacte des lois de la réflexion jusqu'à la limite dont nous
;i> J'appelle ainsi la partie de la densité particules de ce corps. 011 ne peut \w* le du milieu qu'on |>eut peser, c'est-à-dire celle pcs*?r. porec oju il est incoercible, du corps : quant n l'élher contenu entre les
V XXX. venons de parler, elles doivent encore l'être après; mais l'embarras est de les interpréter et de. deviner ce que l'analyse annonce dans ces expressions imaginaires. C est néanmoins re que nous allons tâcher de faire, sinon par des raisonnements rigoureux, au moins par les inductions les plus naturelles et les plus probables.
Pour fixer les idées, prenons d'abord la formule (i) :
sin i cas i - sin i* cas i
sin i cas i +»in / cas i
qu'on peut mettre sous la forme
i y/ 1 — n* sin' i — « sin t cas t
( sin i
sin i \J 1 — n1 sin" i + n sin i cas i
ou multipliant haut et bas par le numérateur,
sin' ri — n* sin' i j -t- h* sin' t cas* i — a n sin' t cas i y' i — n1 810*7
sin* n' sin' / — n* sin' i cos* i
ou
i - n* sin* i + h" cos* i — M cos t \/ 1 — m' sin '»
Tant que n- sin1! est plus petil que i, cette valeur de v est réelle; quand i = n2sin2j, elle devient
H* COS' l
v t - . ou I i:
- n cos i
c'est-à-dire que la totalité de la lumière incidente est réfléchie; mais lorsque n2 sin2 1 est plus grand (jue i , le radical y/ I — "2 sin3 », qui s'était évanoui dans le dernier cas, reparait, et de réel qu'il était auparavant devient imaginaire; alors nous le mettrons sous la forme y/ n2 sin2 1 — i y/— i, et la valeur de t? sous celle-ci :
( i — n' sin' i ■+- n* cos' i — an cos t y^n' sin' i — i y/— i
— i -t- n* sin' i ' + n* cas' i — i -ni' sin' i -*■ n' cas* i
OU
i 4- »' — a n' sin' < 3 n\/i i — sin' i ] yn' sin' i — i y/ i • n'- i IV
14. On voit que cette valeur de v est la somme d'une quantité réelle et d'une quantité imaginaire. Quand nssin2i=i, le terme imaginaire "^f|
Jigmzea Dy
Il- MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 783
s'évanouit et le terme réel devient égal à i; mais lorsque n* sin2 1 est IV" \X\. plus grand que i, quoique la valeur de v renferme alors un terme imaginaire et que le terme réel devienne plus petit que i , il est certain, d'après la théorie1'' comme d'après l'expérience, que la totalité de la lumière incidente est encore réfléchie; d'une autre part, rien n'est changé dans le milieu que parcourent les rayons réfléchis : c'est toujours le premier milieu; ainsi nous savons d'avance que le coefficient commun des vitesses absolues des molécules dans les ondes réfléchies doil être réel et égal à 1 ; que signifie donc le terme imaginaire qui entre dans ce coefficient v? Il signifie sans doute que les périodes de vibration des ondes réfléchies, qui, dans les bases du calcul, avaient été supposées coïncider à la surface pour les ondes incidentes et réfléchies, ne coïncident plus; en effet, si c'est la véritable interprétation de l'expression imaginaire, l'analyse, ne pouvant pas abandonner dans ses réponses la supposition fondamentale de cette coïncidence, nous donnera nécessairement, pour coefficient des vitesses «absolues réfléchies, une quantité imaginaire; car si l'on représente par t le chemin parcouru à partir de la surface, et que sin [a -\-x) soit la vitesse absolue d'un point de l'onde réfléchie situé à la distance x, dans le cas où ses périodes de vibration coïncidaient à la surface avec celles de l'onde incidente, si ces période* sont retardées ou avancées dans l'onde réfléchie d'une certaine quantité, la vitesse absolue du même point sera sin(«'-f x) : or, quel que soit le coefficient réel A par lequel on multiplie sin (a -f- .r), on ne pourra jamais faire que A sin (a + i ) soit égal à sin [a + x) pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire qu'en continuant à compter les période» de vibration comme on l'avait fait d'abord, il n'est aucun coefficient constant réel qui puisse servir à représenter les vitesses absolues dont les diverses molécules du milieu sont animées à chaque instant par l'effet
mis»' est nulle dans ce cas, el par coosequent , d'après le principe de la conservation des forces vives, la lumière réfléchie don" être égale à la lumière incidente
1,1 A l'aide du principe des interférences . ou démontre aisément (du inoins pour un point éloigné de la surface réfringente d'une distance très-grande relativement a la longueur d'ondulation) que la lumière trans-
Y \X\. fies ondes réfléchies. Cela posé, et suivant toujours la même idée, nous pouvons concevoir le système d'ondes réfléchies décomposé en deux autres différant d'un quart d'ondulation et dont l'un aurait toujours à la surface, entre se» vibrations et celle des ondes incidentes, la coïncidence de période que nous avions supposée primitivement dans notre calcul, ou, en d'autres termes, serait réfléchi à la surface même de séparation des deux milieux; alors le coefficient de ce système d'ondes sera réel et celui de l'autre imaginaire. Si la forme à laquelle nous avons amené la valeur de v met en évidence ces deux coefficients, il faut «pie le carré du premier terme
i - n1 sin' i + n" cos' i
plus le carré du second
an cos i y/»' sin' i - i — i + n'
qui dans la valeur de v est affecté du facteur imaginaire y'— i , donnent une somme égale à l'unité : or c'est effectivement ce qui a lieu. Nous pouvons donc, avec un espoir bien fondé de ne pas nous méprendre, déterminer la position du système d'ondes réfléchi d'après ces deux systèmes composants, dont l'un, partant de la surface même, a pour coefficient de ses vitesses absolues
i + «' an'sin'f . '
et l'autre, qui diffère du premier d'un quart d'ondulation, a pour coefficient
- 2ii y i — sin' i yV sin* i - i m1 — i
15. Après avoir déterminé de celte manière la position du système d'ondes résultant, le procédé le plus direct pour vérifier le résultat du calcul serait de comparer par interférence la différence de marche entre deux rayons voisins dont l'un aurait éprouvé la réflexion totale sous une inclinaison donnée, et dont l'autre, réfléchi sous la même inclinaison et par la même surface, ne l'aurait été que partiellement au
Il- MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 785
moyen du contact d'un liquide réfringent en son point d'incidence. Je X'1 XXX. n'ai pas encore eu le temps de faire cette expérience; et comme l'objet principal de mes recherches théoriques était de découvrir la loi des modifications imprimées à la lumière polarisée par la réflexion totale, modifications qui dépendent de la différence de position que cette réflexion établit entre les ondes polarisées suivant le plan d'incidence et celles qui sont polarisées perpendiculairement à ce plan , j'ai dù calculer d'abord cette différence et voir si elle s'accordait avec les faits que je connaissais, puis en vérifier l'expression générale par des expériences nouvelles.
16. Pour avoir les coefficients des deux systèmes d'ondes composants de la lumière réfléchie, lorsque les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan de réflexion, il faut appliquer à la formule (t>) les transformations et les raisonnements que nous venons d'employer pour la formule (1); et d abord nous chasserons les imaginaires du dénominateur en multipliant haut et bas par le numérateur, ce qui nous donnera :
v sin* i cm' i + sin' 1 cos' i" -- a sin i cm t sin f cos i
sin' i vos' i — sin* i cos' f
expression qu'on peut mettre sous la forme :
cos* i + n' i — n* sin' i ) - an cos i sin* i — i v' i
cos i h 1 n sin' i - i
ou
(m* + i] sin' t — «' —
ny t i — sin t 1 1 « sin i — il y'— i
n' - i) [(n1-*- i)sin'< - i] (n' - i [(»* ■+• 1 1 sin' i '- i]
Nous considérerons donc la lumière réfléchie comme composée de deux systèmes d'ondes séparés par un quart d'ondulation, dont l'un, parti de la surface, aura pour coefficient de «es vitesses absolues :
et l'autre
(«'- !)[(«'+ iî sin'/ - il'
an y (i - sin t ) ( n sin1 1 — i m'-iit »'+ îjsin' i - if :
78fi THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION.
\" \\\. et l'on trouve en effet que la somme des carrés de ces deux coefficients est égale à i .
Pour les simplifier, remplaçons la constante ns par c et la quantité variable sin2 r par jt, alors ils deviennent :
«•*-»• i r - r i . a y <" i - x\ ex — i :
e- i [:c + il j ■-- 1]' H (r - i, [(<• + '
Par le môme changement de lettres dans la formule ( A), on a :
«• -t- i -ir.i . - i y'r 1 — x ex - i
pour les coellicients correspondants, dans le cas où la lumière incidente est polarisée suivant le plan d'incidence.
17. On sait que, pour déterminer la position de chacun des deux systèmes d'ondes résultants, quand ces deux systèmes composants sont comme ici séparés par un quart d'ondulation, le calcul d'interférence est absolument semblable au calcul qu'on lait en statique pour trouver la direction de la résultante de deux forces rectangulaires. Ainsi, la longueur d'ondulation étant représentée par une circonférence entière, si nous représentons par l'angle a la distance qui sépare les points homologues du système résultant et du système composant réfléchi à la surface, nous aurons, pour le cas où la lumière incidente est polarisée suivant le plan de réflexion.
e + i — icx a v «• i - r r.r — i eos <x = , et sin a — * .
et représentant par l'angle /3 la distance du système résultant au système composant réfléchi à la surface, dans le cas où les rayons ont été polarisés perpendiculairement au plan d'incidence, nous aurons :
■2 c + i .r c i . a -xsj c i — x e v - \ eos p— - -■ ■. :, et sn8--ï ;
Pour avoir l'intervalle qui sépare les points correspondants des deux systèmes d'ondes résultants, c'est-à-dire leur différence de marche, il suflit de calculer a — JS. ce qu'on peut faire aisément au moyen de la formule
cos(a — jS) - t osatos j3 -f- sin a sin j3;
Il- MEMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 7«7 substituant à la place de cos a, sin a. cos j3, sin |3, leurs valeurs, on a : N1 XXX.
COS (a- jS) - ■' •'-'-■)- '>c .r(rx-,
v r/ (<" - i ,■ [;<'+ i a- il
ou , etrectuaut les multiplications du numérateur et ordonnant par rap- , port à x,
Cos a -.$)■■■ ac(c~ 1 'r'+ ; ,] 1 "' 1 ' f " c~ 1 '
u)^a f3; fc-i^Kc+r-x+ii ou enfin, divisant haut et bas par (c— i)'2.
/ - ara* + ,c + i'i r i cosia — o) — —~ — — .
Pour employer relie formule, il faut se rappeler que x est le carré du sinus d'incidence intérieure, c le carré du rapport de réfraction , et que l'arc a — jS divisé par la circonférence exprime la fraction d'ondulation dont le système d'ondes polarisé perpendiculairement au plan d'incidence est en avance ou en arrière du système d'ondes polarisé suivant ce plan, après la réflexion; car le signe de l'arc a— £ ne peut pas être indiqué par son cosinus.
18. La formule i'i). qui nous a donné le coeflicient des vitesses absolues de l'onde réfléchie, quand les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan de réflexion, présente dans l'interprétation de son signe une petite difficulté qui pourrait, au premier abord, faire penser qu'elle ne s'accorde pas avec les observations sur la déviation du plan de polarisation dans la réflexion extérieure. Pour nous faire mieux entendre, prenons le cas où l'angle i est presque égal à 90°. c'est-à-dire où les rayons incidents sont presque parallèles à la surface; on sait qu'alors le plan de polarisation des rayons réfléchis est sur hprolongement des rayons incidents. Cependant la valeur
si» « cos 1 — sin f cos 1"
SI II l COS I H SI h I COS I
devient alors »=fi, tandis que l'autre formule
sin i cos 1 — sin i cos »
sin 1 cos 1 ■+ sin 1 cos 1
donne dans le même cas v= - 1, ce qui semblerait indiquer, au pre-
V \\\. inier abord, que le premier .système d'ondes exécute ses vibrations au point d'incidence dans le même sens que le faisceau incident, et le second système d'ondes en sens contraire du faisceau incident qui l'a produit, d'où résulterait un mouvement composé perpendiculaire à celui de l'ensemble des deux faisceaux incidents. Mais il faut faire attention que cette interprétation du signe est vraie pour les rayons polarisés suivant le plan d'incidence, dont les vibrations sont toujours parallèles dans les ondes iucidentes, transmises et réfléchies, quelle que soit l'inclinaison de ces rayons; tandis qu'on ne peut pas entendre de la même manière le signe -f- dans le second cas, où la direction des vibrations réfléchies fait en général un certain angle avec celle des vibrations incidentes. Quand les rayons sont perpendiculaires à la surface, ces deux directions coïncident; mais, à mesure que l'obliquité augmente, elles s'écartent l'une de l'autre et ne Unissent par coïncider de nouveau à l'autre limite qu'après avoir décrit chacune 90° ou ensemble 180°, d on l'on pourrait déjà conclure que le signe de la valeur de v doit être interprété d'une manière opposée. Et en effet, si l'on remonte à l'équation par laquelle nous avons exprimé que la composante horizontale de la vitesse absolue dans l'onde transmise était égale à la somme de celle de l'onde incidente et de celle de l'onde réfléchie prise avec son signe, on voit que le signe positif ou négatif de celle-ci indique qu'elle port*' les molécules parallèlement à la surface, dans le même sens que l'onde incidente ou en sens contraire; or, considérons le cas où les rayons ayant dépassé l'inclinaison de la polarisation complète, la valeur de v
est devenue positive; soit IC l'onde 111-
Ht ; "il est évident, par la seule inspection de la ligure, qm; dire que les composantes des deux vitesses absolues parallèles à la surface AB ont le même signe, agissent dans le même sens, c'est dire que. si la vitesse absolue qui agit suivant IC tend à éloigner la molécule I du milieu inférieur, la vitesse absolue de l'onde réfléchie agissant suivant RI tend à l'y faire entrer, et qu'en conséquence, à la
cidente qui a produit l'onde réfléchie
ir MÉMOIRE SUK LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 789
limite , lorsque les rayons étant parallèles à la surface les deux ondes Y X\X. lui seront perpendiculaires, leurs vitesses absolues agiront précisément eu sens contraires. Ainsi, puisque, d'après nos calculs, la vitesse absolue a le même signe que sa composante horizontale, nous nous rajipellerons qu'une valeur )>ositive de v indique seulement la similitude de signe dans les composantes horizontales des ondes incidentes et réfléchies, ou, ce qui est plus simple pour le cas dont nous nous occupons, nous changerons le signe de v en convenant que les vitesses absolues dans les ondes incidentes et réfléchies porteront le même signe, quand elles pousseront les molécules de la surface du même tété, et des signes contraires, lorsque l'une les poussera en dedans du premier milieu et l'autre en dedans du second1''.
Cela posé, la Valeur de v changeant de signe dans le cas où les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan de ré-
'» Il résulte île ces considérations que l'expression exacte de la vitesse de vibration réfl.rhie ««st. |KHir la lumière polarisée dans le plan d'incidence
si n (i
Mil t + t
et |m.iii la lumière polarisée perpendiculairement an plan d'incidence
tangji /) tang ( + *')'
Si . le deuxième milieu étant plus réfringent que le premier, i est plus grand que / . I expression |'-+|-/ est toujours négative, mais l'expression j~~7^r'"'j ftSl P*w'»v«. tant
«pie ' + 1 est plus petit que 90°. Il n'y a donc pas toujours perte d'une demi-longueur d'ondulation dans la réflexion de la lumière lorsque le deuxième milieu est plus réfringent que le premier, comme Fresnel. après Young. l'a supposé daus la théorie des anneaux colorés ( voir les n" IV et X). et il peut y avoir pelle d'une demi-longueur d'ondulation dans certains cas. lorsque le deuxième milieu est moins réfringent que le premier. Mais il y a toujours opposition de signe entre les vitesses réfléchies sous des incidences correspondantes aux doux surfaces d'une lame transparente environnée de toutes parts par le même milieu. Cette opposition de signe est en réalité tout ce qu'exige la théorie des anneau*
colorés. [K. VfDDKT.]
\" X\\. flexion, sin|3 et cosfi en changent aussi, et par conséquent la >aleur de cos(a — |S), qui devient :
I î>. Vérilions d'abord cette formule sur les faits qui nous sont connus : nous savons d abord qu'aux deux limites de la réflexion totale il n'y a plus aucune dépolarisation partielle du faisceau incident polarisé dans l'azimut de 45°: et en effet , pour la première, nsini — i , par conséquent n'sin3/, ou
cx = i , cos(a -jS) — ~~~^Y ' '* ou cos(a |S)— pour la seconde limite, quand les rayons sont parallèles à la surface. .r=i. et «»(*-■ - *■
\insi, dans un cas comme dans l'autre, l'angle a— f3 est égal à zéro ou à un nombre entier de circonférences, et conséquemmeut il n'y a pas de différence de marche entre les deux systèmes d'ondes polarisés [wrallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence qui composent le faisceau réfléchi; leur réunion doit donc reproduire une lumière complètement polarisée, comme la lumière incidente, et précisément dans l'azimut donné par l'expérience. Nous savons encore que sous l'incidence de 5o°. la différence de marche entre les deux sy stèmes d'ondes réfléchis est égale à un huitième d'ondulation, ou du moins n'en diffère que très-peu; or, si l'on met dans la formule siu4 (.W) à la place de x, et à la place de c le carré de i.Jii , qui est l'indice de réfraction de la glace de Saint-Gobain, on trouve :
ce qui donne pour a— jS un arc de 65° 63' quantité presque égale au huitième de la circonférence, puisqu'elle n'en diffère pas d'un soixantième.
20. J'avais reconnu aussi dans mes anciennes observations que la dépolarisation partielle produite par une seule réflexion dans le verre ne
dopasse guère ce terme, et qu'après être restée quelque temps au même X" XXV point pendant qu'on augmente l'inclinaison des rayons incidents, elle diminue continuellement jusqu'à la seconde limite de réflexion totale, où elle devient tout à fait insensible. On peut, a l'aide de la formule (C). calculer ce maximum, qui répond au minimum de cos (a— |3), en dilTérentiant par rapport à x et égalant le coefficient différentiel à zéro, ce qui donne, après plusieurs réductions,
d'où Ion lire
cl, substituant cette valeur de .r dans la formule (C), on a
en substituant à la place de r sa valeur, on trouve /|.">" SlY ^ pour le maximum de a -jS, ce qui excède bien peu, comme on voit, le huitième de la circonférence. En mettant aussi pour c sa valeur dans la formule .r ou sin*i — -- ^— , on trouve i = ïn" 20'.-.; tel est l'amde d inri-
dence qui donne le maximum de dépolarisation partielle produite par une seule réflexion intérieure du verre de Saint-Gobnin.
21. Après m'être assuré ainsi que la formule ((!) représentait bien la marebe générale du phénomène entre les deux limites de la réflexion complète, et donnait précisément à ces deux limites et dans l'incidence de 5o° les résultats que j'avais observés depuis longtemps, j'ai fait quelques expériences nouvelles pour vérifier cette formule' dans les incidences intermédiaires. Le degré de dépolarisation le plus facile à constater est celui de la dépolarisation complète, parce qu'il donne deux images d'égale intensité quand on analyse la lumière avec un rhomboïde de spath d'Islande, et deux images incolores quand on la fait jwsscr dans un tube rempli d'essence de térébenthine; c'est pourquoi j'ai toujours fait en sorte d'arriver à la dépolarisation complète par la succession des réflexions totales, dans les expériences nouvelles que je vais rapporter.
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N" XXX. D'après la valeur maximum que nous venons de trouver pour a — /S, et qui excède à peine d'un degré le huitième de la circonférence, il est clair que, pour avoir entre les deux faisceaux une différence de marche «'•gale à un quart d'ondulation, il faut au moins deux réflexions totales dans l'intérieur du verre. J'ai voulu déduire de la formule (C) l'incidence exacte qui satisfaisait à cette condition, c'est-à-dire donnait rigoureusement un huitième d'ondulation de différence.à chaque réflexion, et, pour que la formule put servir à d'autres expériences ou le nombre des réflexions serait plus considérable, j'ai résolu le problème d'une manière générale en représentant par a le cosinus de la partie quelconque de circonférence h laquelle ou voulait que l'arc a— § fût égal, et . égalant la valeur de cos fa— jS) au cosinus donné a , j'ai eu l'équation :
ia' — 1 c -+- 1 1 .-r •+- j -ii \ i . \
— [Kr t — -a, ou acr - (c + i)x+ i = <i(c-f i)x-a, ou enfin,
d'où l'on tire
Qf 3C
On voit que x, ou sin'i, a en général deux valeurs différentes, qui ne deviennent égales que dans le cas du maximum de la différence de marche a— (3, parce qu'alors a étant égal à
ou a+i à -^-ï, (c+ i)'J(' -i-a)-8c=o.
c-hiy [c-hi
et le radical s'évanouit.
(}uand on fait a égal à cos 45° ou y/^ , on trouve pour les deux valeurs
correspondantes de l'angle d'incidence, i' = 48°37 'I et i = 54°37'i.
La première des valeurs étant plus voisine que l'autre de la première limite de la réflexion complète, qui est différente pour les diverses espèces de rayons, on sent aisément que, calculée d'après le rapport de réfraction des rayons jaunes, elle devra donner des résultats moins semblables pour les rayons de différente réfrangibilité; c'est donc la
seconde valeur qu'il faut adopter de préférence, si Ton veut avoir plus d'uniformité dans les modifications imprimées aux diverses espèces de rayons colorés qui composent la lumière blanche. J'ai fait tailler un
parallélipipède de verre de Saint-Go-
sortie étaient inclinées de 56° 87' sur les deux autres, de manière qu'elles fussent perpendiculaires au faisceau polarisé dans l'azimut de 65°, qui éprouvait successivement deux réflexions intérieures sur celles-ci, sous l'incidence calculée de 56° 37'. Alors, analysant les rayons émergents avec un rhomboïde de spath calcaire, j'ai trouvé les deux images sensiblement incolores et d'égale intensité, dans quelque azimut que je tournasse sa section principale.
22. Cette expérience, n'étant guère qu'une répétition de celles que j'avais faites anciennement, mais seulement plus exacte et éclairée par la théorie, ne pouvait en être considérée comme une vérification nouvelle; c'est pourquoi j'ai essayé de produire la même modification, ou d'obtenir une différence de marche d'un quart d'ondulation, d'abord par trois et ensuite par quatre réflexions totales.
Dans le premier cas, il faut que et— fi soit égal à un tiers de quadrant, ou que a soit égal à cos3o° : cette valeur, substituée dans la formule (D), donne pour l'angle d'incidence 1, qui satisfait à cette condition, 63° 10' \ et 690 iî' y. J'ai voulu vérifier par l'expérience ces deux valeurs de i, et pour cela j'ai fait tailler deux verres trapézoïdaux ,
dont les faces d'entrée et de sortie étaient inclinées en sens contraires sur les deux faces réfléchissantes, dans l'un de 63° 1 1' et dans l'autre de 6 90 1 2', de sorte qu'elles fussent perpendiculaires aux rayons incidents et émergent» réfléchis dans le premier verre sous l'incidence de 63° n't et dans le second sous celle de 690 1 q'.
^' XW. La première incidence s'approche trop de l'origine de la réflexion totale pour que la valeur de a— jS ne varie pas sensiblement d'une espèce de rayon aux autres; aussi ai-je remarqué quelques traces de coloration dans les deux images eu analysant le faisceau émergent avec un rhomboïde de spath calcaire; mais d'ailleurs il paraissait aussi complètement dépolarisé qu'on pouvait s'y attendre.
L'autre verre, taillé d'après l'incidence de (>o,° ia', m'a donné un faisceau modifié d'une manière beaucoup plus uniforme pour les diverses espèces de rayons, et qui, analysé par la double réfraction, donnait toujours deu\ images blanches et d'égale intensité dans quelque azimut qu'on tournât la section principale du cristal.
J'ai ensuite produit la même modification par quatre réflexions consécutives; il faut pour cela que a— jS soit égal à un quart de quadrant, on que fl = cos a a0 3o'; ce qui donne pour i les deux valeurs suivantes :
i = 4 a" ig'5o" et 7/,";'u'5o".
La première valeur de i était trop voisine de l'origine de la réflexion totale (que les rayons jaunes éprouvent à !u° a8' ao" d'incidence) pour que je ne fusse pas certain d'avance qu'elle me donnerait des images colorées; c'est pourquoi je n'ai employé que la seconde, en
faisant tailler un parallélipipède de verre dont les faces d'entrée et de sortie faisaient un angle de 7 6° 4a' avec les deux surfaces réfléchissantes, et dont la longueur était calculée de façon que les rayons éprouvassent dans son intérieur les quatre réflexions totales, sous l'incidence calculée. J'ai obtenu de cette manière un faisceau parfaitement dépolarisé ou, en d'autres termes, qui avait reçu bien complètement la polarisation circulaire.
23. J'ai voulu vérifier encore mes formules par une expérience sur la réflexion totale au contact du verre et de l'eau. J'ai cherché d'abord la valeur maximum que cette réflexion pouvait donner pour a - (3, et j'ai
trouvé i u", qui répond à l'incidence t — 6 1>° 3 4 ; par conséquent six ^" XXV réflexions pareilles ne suffiraient pas pour atteindre 900 et produire exactement la dépolarisation complète; il en faudrait au moins sept, et comme elles auraient lieu sous des incidences assez obliques, il faudrait une plaque de verre d'une assez grande longueur pour que l'on put craindre que, quelque bien recuite qu'elle fût, elle ne produisit sur un aussi long trajet entre les deux faisceaux quelque différence de marche indépendante des réflexions complètes et provenant d'une double réfraction très-faible. C'est pourquoi j'ai préféré combiner seulement deux réflexions totales au contact du verre et de l'eau avec deux réflexions totales au contact du verre et de l'air qui devaient compléter la dépolarisation commencée par celles-là. J'ai trouvé que l'incidence qui donnerait a- ^3 = - 3 i°dans la réflexion intérieure du verre seul était <^=G8°2 7', différant peu, comme on voit, de l'incidence i=6$03l\', qui répond au maximum de a— jS pour le contact du verre et de l'eau; or, comme une quantité varie peu autour de son maximum, en adoptant l'incidence de 68° 27', je devais avoir encore bien près de 1 h° pour la réflexion au contact du verre et de l'eau; et en effet j'ai trouvé par le calcul 1 3° 53' ! ■ , qui, ajouté à 3i°, donne hk° 53' 7, dont le double est 8o,°U7 ' qui dillèrent bien peu, comme on voit, d'un quart de circonférence. J'ai donc fait tailler un parallélipipèdc de verre, dont les faces d entrée et de sortie étaient inclinées sur les deux autres de (>8° 'X 7', et dont la longueur avait été déterminée de manière qu'après quatre réflexions intérieures sous l'incidence de 68° «7', les rayons incidents qui entraient par le milieu de la face antérieure sortissent aussi par le milieu de la seconde, en sorte qu'il suffisait d'incliner le parallélipipèdc de verre jusqu'à ce que la face d'entrée vînt se peindre au milieu de la face de sortie pour être certain que les rayons qui arri- . vaient à l'œil avaient été réfléchis sous l'incidence calculée'11. Lorsque le parallélipipède de verre n'était en contact qu'avec l'air, le faisceau émergent analysé par un rhomboïde de spath calcaire donnait deux
(i) J'avais régté de la même manière la longueur des autres morpeaux de verre employé* Hans les expériences précàleulea.
Y XXX. images d'intensités variables et généralement inégales, et l'on pouvait reconnaître que la lumière avait passé le point de la polarisation circulaire. Mais quand on appliquait une feuille de papier mouillé sur une des faces réfléchissantes, le faisceau émergent paraissait complètement dépolarisé ou polarisé circulaireinent, conformément au calcul. Enfin quand on mouillait les deux faces réfléchissantes, la lumière n'était dépolarisée qu'en partie, et l'on pouvait reconnaître, à la direction de son plan de polarisation partielle, qu'elle était encore en deçà et non pas au delà de la dépolarisation complète, comme dans le cas où aucune des deux faces n'avait été mouillée.
24. Je me suis borné jusqu'à présent à ces cinq expériences, qui. jointes à mes anciennes observations sur les mêmes phénomènes, me paraissent établir suffisamment l'exactitude de la formule (C). Je ne doute pas qu'elle ne fournisse aussi une représentation fidèle des phénomènes de coloration très-sensible qu'on observe surtout dans le voisinage de la limite commune des réflexions totale et partielle, en supposant toujours qu'on emploie de la lumière polarisée dans un azimut de u5° relativement au plan de réflexion, et qu'on analyse le faisceau émergent avec un rhomboïde de spath calcaire'1'. Pour vérifier la formule dans ce cas, il faudrait d'abord calculer, d'après les différents degrés de réfrangibilité des diverses espèces de rayons colorés, les différentes valeurs de a— ^ qui correspondraient à l'incidence donnée : ayant déterminé ainsi la différence de marche entre les deux systèmes d'ondes émergents polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence, pour les sept principales espèces de rayons colorés, on calculerait aisément, au moyen des formules d'interférence, l'intensité que chaque espèce devrait avoir dans l'image ordinaire et l'image extraordinaire pour un azimut quelconque de la section principale du rhomboïde, et substituant les intensités trouvées dans la formule empirique
111 M. Brewster est le premier qui ail re- ces effets de la réflexion totale des phéno-
m arqué ces phénomènes; mais, d'après la mènes ordinaires de polarisation résultant
manière dont il les décrit et les lois qu'il de quelque trempe accidentelle des prisme
leur suppose, il paraît qu'il a confondu avec qu'il aura employés.
île Newton qui donne In couleur résultant d'un mélange de rayons, N* XXX. on trouverait les teintes <{ue doivent offrir les deux images, et l'on verrait si elles s'accordent avec l'observation.
Je me propose de faire ces expériences et ces calculs lorsque j'aurai plus de loisir; mais je crains que l'époque où il me sera possible de lf»s entreprendre et de compléter la vérification directe des formules (i) et (q) ne soit encore un peu éloignée.
*25. Malgré tout ce que mes recherches sur la réflexion laissent mrore à désirer, tant sous le rapport théorique que sous celui des vérifications expérimentales, il me semble qu'elles établissent déjà avec un haut degré de probabilité l'exactitude des formules que j'ai données dans ce Mémoire, vu le nombre de faits exacts par lesquels elles sont déjà confirmées et la variété des phénomènes qu'elles embrassent. (îar les formules (i) et (a), par exemple, qui s'accordent avec les phénomènes connus de la réflexion de la lumière polarisée, et se trouvent \ érifiées par deux observations très-précises de M. Arago sur l'intensité «le la lumière réfléchie sous des incidences obliques, représentent t'iicore très-bien les déviations que j'avais observées dans le plan di; polarisation de la lumière réfléchie à la surface extérieure du verre et de l'eau, et cela par une déduction qui est une conséquence immédiate « l forcée des idées théoriques qui m'ont servi à découvrir ces formules. Quant à la formule (C), que j'en ai tirée aussi et qui représente la loi des modifications imprimées par la réflexion totale, je dois convenir qu'elle n'en découle pas d'une manière aussi nécessaire; mais elle m'en paraît l'interprétation la plus naturelle, quand la valeur de v devient imaginaire, et cette interprétation, qui se vérifie sur les formules mêmes, se trouve d'ailleurs confirmée par les cinq expériences que je viens de rapporter et par mes observations antérieures
1,1 On sait que les expériences «le M. Janùn mit mis bore de doute l'exactitude de la formule {('.), et qu'elles ont montré au contraire que les formules (i) et (a) ne suffisent pas à la représentation des phénomènes qui ont lieu au voisinage de l'angle de polarisation. ( Voyes Annale* de ekimit et de phyeique, 3* série, t. XXIX , XXX et XXXI. ) [ E. Vudit. j
798 THÉ0R1K l>K LA Ll'MIKRK. — DKl'MÈME SECTION.
N* X\\. Pour résoudre le problème rigoureusement, au lieu de chercher à deviner ce que l'analyse indique dans des formules qui devienne/! I imaginaires, il aurait fallu recommencer le calcul pour le cas de la ré- ' llexion complète, en y exprimant la condition que le mouvement vibratoire ne peut pas se propager dans le second milieu, ou que du moins s'il y pénètre, comme certaines expériences paraissent l'indiquer. îl ne s'étend qu'à une pelile dislance de la surface de contact des deux milieux. Je me propose de reprendre par la suite le problème dans son entier, et de le traiter d'une manière plus rigoureuse et plus générale, en supposant que les deux milieux diffèrent non-seulement en densité, mais encore en élasticité. Dans ces nouvelles recherches théoriques, le» résultats (pie j'ai obtenus déjà me seront très-utiles, car c'est un grand point de connaître d'avance les théorèmes auxquels on doit arriver el de n'avoir plus qu'à les démontrer.
"26. Je me proposais d'exposer à la lin de ce Mémoire des calculs d'interférences qui présentent sous une forme très-simple le genre des vibrations imprimées aux rayons polarisés par la réflexion complète: mais, n'en ayant pas le temps et ces calculs étant d'ailleurs sans difficulté, je me contenterai d'en énoncer les résultats principaux.
Lorsque le faisceau incident est polarisé dans un azimut de 66° relativement au plan de réflexion, les deux systèmes d'ondes polarisés parallèlement et perpendiculairement à ce plan dont la lumière réfléchie est composée sont d'égale intensité; si par deux ou un plus grand nombre «le réflexions totales on a établi entre eux une différence de marche égale à un quart d'ondulation, ou à un nombre entier et impair «le quarts d'ondulation, les molécules décriront des petits cercles autour de leurs positions d'équilibre et avec une vitesse uniforme : si la différence de marche est un nombre pair de quarts d'ondulation, elles décriront des lignes droites; enfin, si cette différence n'est pas un nombre entier de quarts d'ondulation , les courbes décrites seront des ellipses. Ce seront encore «les ellipses, la différence de marche étant un nombre entier et impair de quarts d'ondulation, si les deux systèmes d'ondes n'ont pas la même intensité, comme cela aurait lieu dans le
Il- MÉMOIRE SIR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 799
cas on la lumière incidente n'aurait pas été polarisée à 65° du plan de N° X\X réflexion, ou si deux systèmes d'ondes polarisés venant à interférer dans des circonstances quelconques, leurs plans de polarisation n'étaient pas rectangulaires.
H\ 1)1 PRKMIKR \Ol.lMK.
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