À L'ACADÉMIE DES SCIENCES . LE J JANVIER i8q

[ Jfemoim it fAcadUmi* royal, dit tàencu, t. XI , p. S9Î. — AnnaUt dt chimU tt de pkymet* . tXLVI.p. 1*6 , «hier de nuira iSSt.]

1 . L'hypothèse que j'ai adoptée sur la nature des vibrations lumineuses m'a conduit à deux formules générales de l'intensité de la lumière réfléchie par les corps transparents, pour toutes les inclinaisons des rayons incidents; l'une de ces formules est relative aux rayons polarisés suivant le plan d'incidence, et l'autre à ceux qui l'ont été dans un plan perpendiculaire. On conçoit qu'elles devaient être différentes, puisque la lumière polarisée suivant le plan d'incidence éprouve une réflexion dont l'intensité croît toujours à mesure que l'obliquité des rayons augmente; tandis que, pour la lumière polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, il existe, entre les directions perpendi-

" Les éditeurs des Annales ont accompagné la publication do ce Mémoire de la note suivante :

*Ce Mémoire, qu'on croyait égaré, vient d'être retrouvé dans les papiers de M. Fonrier (,) ; comme il n'est connu que par des extraits tout à fait insuffisants (voyez Am. t. XXIX. p. 175), nous nons empressons d'en enrichir les Annales."

On peut voir, comme introduction a ce Mémoire, les n" XVI, XVII, XXI et XXIX.

0 Mort dan. !«• prooien mois de 1880.

N* XXX. culaires et parallèles à la surface, un certain degré d'obliquité, qui rend la réflexion nulle, comme Malus l'a reconnu le premier. Ces formules ont été publiées dans les Annales de chimie et de physique , t. XVII , rallier de juillet i8ai. J'ai fait voir comment j'étais arrivé à la première, mais je n'ai pas indiqué le chemin qui m'avait conduit à la seconde. Je vais exposer ici le principe ou la supposition mécanique qu'il faut ajouter à l'hypothèse fondamentale sur la nature des vibration? lumineuses pour arriver à ces deux formules, en considérant toujours, comme je l'ai fait jusqu'à présent, le cas où les deux milieux continus ont la même élasticité et ne différent que par leur densité.

2. Il faut se rappeler d'abord que cette hypothèse fondamentale consiste en ce que les vibrations lumineuses s'exécutent dans le sens même de la surface de l'onde perpendiculairement au rayon; d'où il résulte qu'un faisceau de lumière polarisée est celui dont les mouvements vibratoires conservent une direction unique et constante, et que son plan de polarisation est le plan perpendiculaire à cette direction constante des petites oscillations des molécules éthérées. Ainsi, quand le faisceau est polarisé suivant le plan d'incidence, les vibrations sont perpendiculaires à ce plan, et par conséquent sont toujours parallèles à la surface réfringente, quelle que soit l'inclinaison des rayons. Il n'en est plus de même pour ceux qui ont été polarisés perpendiculairement au plan d'incidence, parce que leurs vibrations, s'exécutant alors dans ce plan, ne sont parallèles à la surface réfringente que dans le cas de l'incidence perpendiculaire, puis forment avec elle des angles d'autant plus grands que les rayons s'inclinent davantage, et lui deviennent enfin perpendiculaires quand les rayons lui sont parallèles; c'est ce qui rend le problème de la réflexion plus difficile à résoudre dans ce second cas que dans le premier. Dans celui-ci, les mouvements oscillatoires s'exécutant uniquement suivant les directions parallèles à la surface pour les ondes réfléchies et réfractées, comme pour l'onde incidente, on peut admettre que les amplitudes de ces oscillations, ou que les vitesses absolues des molécules dans un élément quelconque de l'onde réfléchie ou de l'onde réfractée ne changent pas, tandis

qu'elles s'éloignent de ia surface (,); du moins i) me semble que ce principe ne serait pas difficile à démontrer rigoureusement. Tadopte aussi la même supposition pour le cas de la lumière polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, c'estr-a-dire celui où les vibrations s'exécutent dans ce plan ; bien entendu qu'il ne s'agit plus alors que des composantes des vitesses absolues parallèles à la surface réfléchissante; ainsi je suppose que ces composantes ont la même intensité lorsque l'ébranlement réfléchi ou réfracté touche encore à la surface, et lorsqu'il s'en est éloigné.

3. Cela posé, d'après la nature de l'élasticité que je considère, qui est celle qui s'oppose au glissement d'une tranche d'un même milieu sur la tranche suivante, ou au déplacement relatif des tranches en contact de deux milieux différents, les tranches contiguès des deux milieux doivent exécuter parallèlement à la surface qui les sépare des oscillations de même amplitude, sans quoi l'une de ces tranches aurait glissé sur l'autre d'une quantité d'un ordre bien supérieur aux déplacements relatifs des tranches contiguës de chaque milieu considéré séparément, d'où naîtrait une résistance beaucoup plus grande, qui s'opposerait à ce déplacement. Ainsi Ton peut admettre, comme une conséquence évidente de notre hypothèse fondamentale sur la nature de l'élasticité mise en jeu par les vibrations lumineuses, que les vitesses absolues des molécules voisines de la surface réfringente parallèlement à cette surface doivent être égales dans les deux milieux : or ces mouvements dans le premier milieu se composent à la fois de l'ébranlement apporté par l'onde incidente et de celui de l'onde réfléchie, c'est-à-dire que la composante parallèle à la surface réfringente du mouvement imprimé à chaque molécule du premier milieu par l'onde incidente et Tonde réfléchie doit être égale à la composante parallèle de la vitesse absolue des molécules dans le second milieu; ou, en d'autres termes, et supposant la surface réfringente horizontale pour simplifier les ex-

111 Je suppose ici, bien entendu, que le centre de l'onde incidente est infiniment éloigné, en sorte qu'elle est plane, ainsi que t.

les ondes réfléchie et réfractée, et que leurs intensités ne sont point affaiblies par lenr propagation.

V XXX. pressions, la composante horizontale de la vitesse absolue apportée par Tonde incidente, ajoutée à la composante horizontale de la vitesse absolue imprimée par Tonde réfléchie (prise avec le signe qui lui convient), doit être égale à la composante horizontale de la vitesse absolue des molécules du second milieu dans Tonde transmise. 11 est clair que cette égalité doit avoir lieu près de la surface de contact, et la supposition que nous avons énoncée d'abord, et dont nous allons nous servir, consiste seulement a admettre que ces composantes horizontales restent constantes pendant que les éléments successifs des ondes réfléchies et réfractées s'éloignent de la surface, et que par conséquent l'équation dont il s'agit a lieu à toutes dislances. Avant de donner les raisons sur lesquelles je fonde cette conservation des composantes horizontales, j'attendrai que je puisse traiter la question plus à fond, et présenter en même temps la solution du problème pour le cas où les deux élasticités sont différentes. Je ne me propose actuellement que de déduire de cette hypothèse subsidiaire et du principe de la conservation des forces vives les formules que j'avais publiées en i8sti, et dont nous tirerons les lois qui font l'objet de ce Mémoire.

à. Pour appliquer ici le principe de la conservation des forces vives, il faut pouvoir comparer les masses ébranlées dans les deux milieux, ce qui devient facile au moyen de la loi connue de la réfraction. Soit EF la surface réfringente, AB Tonde incidente, ab la même

onde réfractée; si du point A on abaisse sur ab le rayon perpendiculaire Ao, et que par le point 6 on conçoive pareillement un rayon B6 perpendiculaire à Tonde incidente, il est clair que AB et ab seront des étendues correspondantes des deux ondes dans les deux milieux, c'est-àdire que la partie AB de Tonde incidente occupera dans le second milieu l'étendue ab; quant aux es-

paces relatifs qu elles occupent dans le sens perpendiculaire, suivant N" XXX. la direction des rayons IA et \a, ce sont précisément les longueurs d'ondulation dans les deux milieux, dont le rapport est celui du sinus de l'angle d'incidence IAC au sinus de l'angle de réfraction RAa. Si donc nous appelons i le premier angle et i le second, les dimensions relatives des ondes dans le sens des rayons pourront être représentées par sin i et sin f ; et conséquemment les volumes des deux portions correspondantes que nous considérons dans les ondes incidentes et réfractées seront entre eux comme ABsini est à aAsini. Mais en prenant A6 pour rayon, AB et ab sont les cosinus respectifs des angles BA6 et \ba. ou des angles i et ï, auxquels ceux-ci sont égaux; les deux volumes sont donc entre eux comme sinj'cosi est à sint'cosi". Il nous reste à les multiplier par les densités pour avoir le rapport des masses. Or, comme les deux milieux sont supposés avoir la même élasticité et différer seulement en densité, les vitesses de propagation dans ces deux milieux sont en raison inverse des racines carrées de leurs densités; ainsi l'on a :

• • • •> i i sini :sin» ::—=.:-=,

rf:rf::Snh:sTiïr?î

multipliant ce rapport par celui des volumes, nous aurons pour celui des masses :

sin i cos i sin t cas i sin'i : sinV •

cosi # co$ï sin i ' sin i *

Si donc on prend pour représenter la masse ébranlée dans l'onde

réfractée, ^ sera la masse ébranlée dans l'onde incidente, et en même temps la masse de la partie correspondante de l'onde réfléchie . puisque les parties correspondantes des ondes incidentes et réfléchies ont le même volume, et que d'ailleurs elles sont dans le même milieu.

N' XXX. Cela posé, je prends pour unité le coefficient commun de toutes les vitesses absolues des molécules dans l'onde incidente, et je représente par v celui des vitesses absolues dans l'onde réfléchie et par u celui des mêmes vitesses dans l'onde réfractée : en divisant par la pensée l'onde incidente en une série d'une infinité d'ébranlemeuts successifs, et les ondes réfléchies et réfractées en un même nombre d'éléments pareils, il est évident que le rapport entre les vitesses absolues de deux éléments correspondants de l'onde incidente et de l'onde réfractée, par exemple, sera constant pour toutes les parties de ces deux ondes, puisqu'il doit être indépendant de l'intensité plus ou moins grande des vitesses absolues dans les divers éléments de l'onde incidente. Si doue on prend pour unité l'intensité du mouvement vibratoire dans l'onde incidente, v et u seront les coefficients par lesquels il faut multiplier chacune des vitesses absolues des éléments de l'onde incidente pour avoir les vitesses absolues des éléments correspondants de l'onde réfractée et de l'onde réfléchie, et indiqueront ainsi le degré d'intensité des vitesses absolues dans ces deux ondes. Par conséquent, la masse de l'onde réfractée multipliée par u2, plus la masse de l'onde réfléchie multipliée par v', doivent donner une somme égale à la masse de l'onde incidente multipliée par 1, pour que la somme des forces vives reste constante; on a donc :

" cosï cosi i , cosj î

-■ — 1 1 = -, — , o -f- -. — v , sin < sin ( sin i

cosi/ 2\ rosi' i

cos 1 1 j» ros i î

sin i v » sm i

sin i cos i (i — «*) = sin i cos ï u1 ( A ).

Telle est l'équation qui résulte du principe de la conservation des forces vives et qui doit être satisfaite dans tous les cas, soit que le rayon incident ait été polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence.

5. Nous avons admis que dans ces deux cas les mouvements parallèles à la surface réfringente devaient être égaux de chaque côté de cette

surface, c'est-à-dire que les vitesses horizontales de l'onde incidente N° XXX. ajoutées aux vitesses horizontales de Tonde réfléchie prises avec leur signe devaient être égales aux vitesses horizontales de Tonde transmise, et cela non-seulement contre la surface, où le principe est évident, mais encore à des distances contenant un grand nombre de fois la longueur d'ondulation. Lorsque Tonde incidente est polarisée suivant le plan d'incidence, c'est-à-dire que ses vibrations s'exécutent perpendiculairement à ce plan, elles sont toujours horizontales ainsi que celles des ondes réfléchie et transmise, et par conséquent les coefficients des vitesses horizontales sont 1, v et u pour les ondes incidente, réfléchie et réfractée, et Ton doit avoir, d'après notre hypothèse subsidiaire.

i+t> = a ou (i 4- v)* — «â.

Divisant par cette équation celle que nous venons d'obtenir au moyeu du principe de la conservation des forces vives, on a :

sin i" cos i( -i-^ ) = sin i cos T,

sin i" cos i ( i — v) = sin i cos i' ( i -4- v);

d'où Ton tire

sin i cos i - sin f cos i V ~ sin i cos T ■+■ sin i" cos i *

sin ( i - f ) , \

v = -smT7Tr! M'

6. Dans le second cas, c'est-à-dire celui où la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, les vibrations s'exécutent alors parallèlement à ce plan et toujours perpendiculairement aux rayons incidents, réfléchis et réfractés, les composantes horizontales des vitesses absolues i, v et u, sont cosï, vcosi et ocosf; on doit donc avoir, d'après l'hypothèse subsidiaire,

cos i -f- v cos i" = u cos i, ou ( i 4- v) cos » = u cos i' , ou élevant au carré,

(i 4- »)* cos* i = «' cos'i'.

\\\. Divisant l'équation (A), qui résulte du principe de la conservation des forces vives, par cette dernière équation, l'on a :

V i 4-1/ si ii i cos t «in r cos r

( i — r) sin i' cos f — ( i + r ) sin i cos i ï;

d'où l'on tire

s m m us i sinicosi' / \

sin i cos i ■+■ sin i cos i * '

Telle est l'expression de la vitesse absolue dans l'onde réfléchie, quand le plan de réflexion est perpendiculaire au plan de polarisation de la lumière incidente. On voit que cette expression devient nulle pour une certaine obliquité des rayons, lorsqu'on a sin i cos i = sin T cos i', ou sin ai = sinai", c'est-à-dire quand ai = i8o°— ai", ou i = go° — i. c'est-à-dire enfln quand l'angle de réfraction est le complément de l'angle d'incidence, ou, ce qui revient au môme, lorsque le rayon réfracté est perpendiculaire au rayon réfléchi, conformément à la loi de Brewster. Il n'en est |>as de même pour la formule (i); elle ne pourrait devenir nulle que dans le cas particulier où i' serait égal à i, c'est-à-dire où les ondes lumineuses auraient la même longueur dans les deux milieux en contact. Mais d'ailleurs les deux formules donnent la même vitesse réfléchie pour l'incidence perpendiculaire, et pour l'autre limite 1 = 90, et, dans le second cas, elles indiquent l'une et l'autre que la totalité de la lumière est réfléchie; ce qu'on trouverait sans doute aussi par l'expérience, si l'on pouvait atteindre à cette limite. Dans le cas de l'incidence perpendiculaire, les deux formules donnent :

sin 1

sin 1 — sin 1 «m 1 r— 1

sini' + snT? sin 1 ' °U ' r-»- 1 * sin 1

en appelant r le rapport constant du sinus d'incidence au sinus de réfraction. C'est précisément la formule que M. Young a donnée le premier, et à laquelle M. Poisson est arrivé ensuite par une analyse plus savante et plus rigoureuse; mais en ne considérant l'un et l'autre

Il* MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 77 f>

que le genre d'élasticité auquel les géomètres ont attribué unique- N° X\\. ment jusqu'à ce jour la propagation des ondes sonores, je veux «lire I» résistance des milieux vibrants a la compression.

7. L'intensité de la lumière, d'après le sens même qu'on attache aux expressions lumière double, lumière triple, etc. étant mesurée par la somme des forces vives qu'elle contient, si l'on veut estimer la quantité de lumière réfléchie dans les deux cas que nous avons considérés, il faudra élever la valeur de v au carré; et en la retranchant de i, qui représente la lumière incidente, on aura la quantité de lumière transmise. Si la lumière, au lieu d'être polarisée parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence, l'était dans un autre azimut, alors, connaissant la direction suivant laquelle s'exécutent ses vibrations d'après l'azimut de son plan de polarisation, qui leur est perpendiculaire, on en déduirait les composantes de ces petits mouvements parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence. Ainsi, par exemple, si l'angle que le plan de polarisation fait avec le plan d'incidence est égal à a, l'angle que les vitesses absolues du faisceau incident feront avec ce dernier plan sera 90° — a; par conséquent les composantes parallèles h ce plan seront toutes multipliées par sin a, et les composantes perpendiculaires par cos a. Si donc on représente par 1 l'amplitude de vibration de la lumière incidente, sin a en sera la composante dans le plan d'incidence et cos a suivant la direction perpendiculaire. C'est à la première composante qu'il faudra appliquer la formule (a) et à la seconde la formule (1) pour avoir les amplitudes d'oscillation de la lumière réfléchie, et l'on aura ainsi pour la composante suivant le plan de réflexion :

/ sin i cos 1 — sin f cos 1 \

— Sin a ( : : : ï ; } .

\sin t cos! -+-sin 1 cost /

et pour la composante perpendiculaire,

/ sin 1 cos C — sin i* cos 1 \

— COS a : -, : ; . ) ,

\sin 1 cosi -»-»in 1 cosi/

ou bien

Une 1 — i". , sin 1 — 1)

-s,n''û7nIÏ7T7} ct-cosa55rï7T7ï,

776 THÉORIE DE LA LUMIERE. — DEUXIEME SECTION. Y XXX. dont la résultante est

• s tang* (i-i) , j sm i-i sin a . — T-p — - + cos a -^-rj-. — - ;

et si l'on veut avoir l'intensité de la lumière réfiérhié, il suffira d'élever cette expression au carré, ce qui donnera

sin a -, — T-p — 7^ -f- cos a -r-rp — A • tang* (1 -f- 1 1 sur )

8. lumière directe, qui n'a reçu aucune polarisation préalable, peut être considérée comme l'assemblage ou la succession rapide d'une inGnilé de systèmes d'ondes polarisées dans tous les azimuts; en sorte qu'en décomposant les mouvements vibratoires de chacun d'eux parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence, on aura en somme, vu la multitude des chances, autant de mouvement suivant une de ces directions que suivant l'autre, et si l'on prend toujours pour unité l'intensité de la lumière incidente, celle de la lumière réfléchie sera

1 tang* i ' — 1") ( 1 »in' (ï - i) S tang*(j <*-*?) a sin' [î 1 + S rj

Je n'ai encore pu vérifier cette formule que sur deux anciennes observations de M. Arago, avec lesquelles elle s'accorde d'une manière satisfaisante, comme je l ai fait voir dans la note déjà citée des Annales de chimie et de physique.

9. Mais les formules (1) el (2), dont celle-ci est déduite, se trouvent vérifiées d'une manière indirecte par quatorze observations que j'avais faites depuis longtemps sur les déviations angulaires qu'éprouve le plan de polarisation d'un faisceau de lumière primitivement polarisé dans un azimut de 45° relativement au plan d'incidence, lorsque ce faisceau est réfléchi à la surface extérieure du verre ou de l'eau. On peut voir dans la même note le tableau comparatif des résultats du calcul et de ceux de l'expérience.

Il est aisé de déduire ces déviations des formules (1) et (2), pour tous les azimuts du plan primitif de polarisation. Si a est l'angle que ce plan fait avec le plan d'incidence, sin a et cos a seront les compo-

santés des vitesses absolues parallèlement et perpendiculairement à N° XXX. celui-ci; et le système d'ondes incident pourra être considéré comme l'assemblage de deux systèmes d'ondes dont les vibrations s'exécuteraient dans l'un parallèlement au plan d'incidence avec des vitesses absolues proportionnelles à sin a, et dans l'autre perpendiculairement à ce plan avec des vitesses absolues proportionnelles à cosa. Les mêmes vitesses absolues dans les deux systèmes d'ondes réfléchis seront pour le premier :

v — sin H

et pour le second.