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On voit que toutes les observations s'accordent à donner pour le

XIV. minimum du premier ordre une distance plus petite que la moitié de celle du minimum du quatrième ordre, et que les différences entre les résultais de l'observation et du calcul dans ce dernier tableau sont plus sensibles que dans le précédent. Ainsi , indépendamment des considérations théoriques et des expériences qui m'ont servi à déterminer la longueur d'ondulation, il est évident que les rapports de largeur des franges sont plus fidèlement représentés par les distances répondant aux minima de l'intégrale déduite du principe d'Huyghens, que par les formules calculées d'après la première hypothèse.

67. Pour reconnaître ainsi laquelle des deux théories conduisait aux résultats les plus exacts, malgré la petitesse de leurs différences, il fallait pousser la précision des mesures presque aussi loin que le comporte ce genre d'observations ; car, en raison du vague des franges, cette limite est assez rapprochée. Je crois devoir donner ici quelques détails sur le procédé que j'ai suivi et les précautions que j'ai prises dans ces expériences.

Il n'est peut-être pas inutile de rappeler d'abord aux physiciens qui voudraient répéter ces expériences, que l'observateur doit regarder le point lumineux en tenant son œil derrière la loupe du micromètre, et à une distance telle que sa surface lui paraisse entièrement illuminée quand elle est hors de l'ombre ; c'est dans cette position réciproque de l'œil et de la loupe qu'il faut chercher et mesurer les franges : alors elles se peignent sur la rétine telles qu'elles sont réellement au foyer de la loupe, comme l'image aérienne produite par l'objectif d'une lunette est transmise fidèlement à l'œil par l'oculaire, qui en augmente seulement les dimensions apparentes.

Au lieu d'un fil de soie, je me suis ordinairement servi d'un verre fixé devant la lentille du micromètre et sur lequel était gravé un trait fin, qui ne se prolongeait pas dans tonte l'étendue du champ de la lentille, mais s'arrêtait au milieu, de sorte que je pouvais voir

l" Cette seconde partie du paragraphe 67 a été ajoutée à l'impression.

au delà de l'extrémité du trait le prolongement de la bande obscure \° XIV. devant laquelle je l'avais amené; ce qui est plus commode pour bien juger s'il est vis-à-vis l'endroit le plus sombre , surtout lorsque les franges ont peu de largeur. Pour déterminer la position du bord de l'ombre géométrique par rapport aux bandes obscures, au lieu d'un corps opaque d'une largeur connue, j'ai employé deux plaques d'acier, que je pouvais écarter ou rapprocher à volonté l'une de l'autre, et dont j'évaluais l'intervalle à moins d'un centième de millimètre près, à l'aide d'un vernier fixé au coursier de ce petit instrument. Ces deux plaques étaient terminées par un double biseau légèrement arrondi. Je mesurais avec le micromètre les distances entre les bandes obscures produites par les bords des deux plaques, et, connaissant d'ailleurs l'intervalle qui séparait ces deux bords, ainsi que leur distance au point lumineux et au micromètre, je trouvais, par un calcul très-simple, la largeur comprise entre les limites des ombres géométriques des deux écrans. 11 suffisait alors d'en retrancher l'intervalle entre deux bandes correspondantes, et de prendre la moitié du reste pour avoir la distance d'une de ces bandes au bord de l'ombre géométrique la plus voisine. Chaque mesure a été prise au moins deux fois.

Pavais soin que les plaques fussent séparées par un intervalle assez grand pour que l'une n'eût aucune influence sur les franges produites par l'autre. Dans presque toutes mes observations cet intervalle était d'un centimètre.

Je me servais, pour former le point lumineux, de lentilles d'autant plus convexes que le corps opaque en était plus rapproché. Dans les expériences 1 , 2 et 3, la lentille que j'ai employée n'avait qu'un demimillimètre de foyer, afin que les franges fussent moins vagues en raison de la finesse du point lumineux, et surtout afin de pouvoir mesurer avec une exactitude suffisante la distance de ce point au corps opaque; ce qui est plus facile quand le foyer de la lentille est plus court. Pour que la petite image du soleil qui formait le point lumineux au foyer de la lentille ne changeât pas de position par l'effet du mouvement diurne pendant la mesure des franges, les rayons solaires étaient

Ne XIV. réfléchis dans une direction constante par le miroir d'un héliostat, que M. Berthollet avait eu la bonté de me prêter, et qui m'a été du plus grand secours dans mes expériences. C'est un instrument presque indispensable pour ce genre d'observations.

68. Nous venons de voir qu'on pouvait expliquer d'une manière satisfaisante la formation et la position des franges extérieures, en les considérant comme produites par le concours d'une infinité d'ondes élémentaires qui émanent de la partie de l'onde non interceptée par le corps opaque. Il résulte de la même théorie" que la lumière infléchie dans l'ombre ne doit produire aucune bande obscure et brillante, mais diminuer continuellement d'intensité lorsque l'écran est assez étendu pour qu'il ne vienne point de lumière sensible de l'autre côté, quoique cette lumière infléchie résulte du concours d'une infinité d'ondes élémentaires, comme celles qui donnent naissance aux franges extérieures; c'est ce que l'on reconnaît à l'inspection du tableau ci-dessous, qui représente l'intensité de la lumière répandue dans l'ombre pour différenles inclinaisons des rayons infléchis. Ces intensités ont été calculées au moyen de la table des valeurs numériques des intégrales

fdvcosqv* et (dvsinqv*, en faisant la somme des carrés des nombres correspondants diminués de Malgré les inexactitudes qui proviennent de ce que les limites des intégrations partielles n'avaient pas été assez rapprochées dans la première table, on voit que l'intensité de la lumière s'affaiblit rapidement à mesure que v augmente, sans qu'il se présente aucun de ces maxima ou minima que nous avons observés à l'extérieur de l'ombre.

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a et 6 représentant toujours les distances de l'écran au point lumineux et au plan sur lequel on reçoit son ombre, et x la distance du bord de l'ombre géométrique au point que l'on considère dans ce plan , on a

et par conséquent

X /;(fl+fc)X

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342 THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — PREMIÈRE SECTION. V XIV. 09. A l'aide de ces formules, on peut calculer les valeurs de la distance r ou de l'inclinaison t du rayon infléchi qui correspond aux différentes valeurs de v; et réciproquement, étant donné x ou l'obliquité », on peut en déduire v, et déterminer l'intensité de la lumière infléchie. Une conséquence remarquable de la formule

c'est que les valeurs de x ne sont pas proportionnelles aux valeurs de b, mais aux ordonnées d'une hyperbole dont celles-ci seraient les abscisses. Ainsi il résulte de cette théorie que les points de même intensité par rapport au bord de l'ombre géométrique ne suivent pas une ligne droite quand on fait varier b, mais une hyperbole qui a une courbure sensible, comme les trajectoires des franges extérieures.

70. Je n'ai pas encore vérifié par des expériences directes les rapports d'intensité de la lumière infléchie que j'ai déduits de la théorie des interférences appliquée au principe d'Huyghens. Ce genre d'observations présente de grandes diflicullés^, et j'ai peine à croire qu'on puisse y porter autant d'exactitude que dans la détermination des

1,1 U est très-difficile de mesurer avec précision l'intensité de la lumière, même dans les circonstances les plus favorables, lorsque les espaces éclairés qu'il s'agit de comparer sont suffisamment étendus et présentent chacun une lumière uniforme ; a plus forte raison lorsque ces espaces varient de clarté d'un point à un autre, et ne peuvent être considérés comme ayant une intensité uniforme que dans un intervalle extrêmement étroit, ou, pour ainsi dire, une seule ligne lumineuse. Je crois cependant qu'on pourrait par* venir à vérifier les formules d'intensité de lumière dans les phénomènes de dilTraction , d'une manière suffisante, quoique toujours indirecte , à l'aide d'un procédé très-simple ,

auquel j'ai songé depuis que mon Mémoire a été déposé à l'Institut : ce serait de super poser, a l'aide de la double réfraction, dis franges dilîérenles les unes sur les autres, celles de l'intérieur d'une ombre étroite . par exemple, sur celles de l'extérieur, et d'observer la position des nouveaux marima et minima résultant de ce mélange. Si , coin rot j'en suis persuadé, les formules apphqw* à ces superpositions de franges diverses s'accordaient encore avec l'observation sor la position des nouveaux vuxim* et minima.

on ne pourrait plus douter qu'elles ne représentassent effectivement les intensités relatives des différents points des franges

Note ajoutée à l'impression.

points les plus sombres et les plus brillants des franges , dont les résul- N" XIV . tats me paraissent aussi des vérifications (à la vérité indirectes) de ces mêmes rapports d'intensité; car la position des maxima el minime étant déduite de l'expression générale de l'intensité de la lumière, si l'expérience s'accorde à cet égard avec le calcul, toutes les fois du moins que les observations peuvent être faites avec précision , il devient bien probable que cette intégrale représente réellement toutes les variations d'intensité de la lumière infléchie.

71. A l'aide du tableau des maxima et minima des franges extérieures, on peut calculer aisément, comme nous l'avons vu, les positions des points les plus sombres et les plus éclairés de leurs bandes obscures et brillantes pour toutes les valeurs de a et de b. Il n'en est pas de même à l'égard des franges intérieures de l'ombre d'un corps étroit , ou de celles qui sont produites par une petite ouverture. Les deux limites de l'intégrale variant à la fois, il n'est plus possible de présenter des résultats généraux applicables à tous les cas; et l'on est obligé de déterminer les maxima et les minima dans chaque cas particulier, à l'aide de la table qui donne les valeurs numériques de

Jdv cos qv'1 et jdv sin qv\

Je vais présenter le résultat de tous les calculs de cette espèce que j'ai faits jusqu'à présent pour la vérification de la théorie. Comme ils sont très-longs je n'ai pas pu les multiplier autant que je l'aurais désiré; mais j'ai tâché de compenser ce défaut par la variété des cas auxquels je les ai appliqués, et en vérifiant la théorie de préférence sur les observations qui m'avaient présenté les dispositions de franges les plus extraordinaires.

72. Je vais d'abord m 'occuper des franges produites par une petite

!,) Il est trè*-possïble qu'il y ail des pro- de l'analyse m'aura empêché d'apereecodés plu» wurtâ, que mon peu d'usage voir*".

M. Caochy a effectivement trouvé de» procédés plus courts, qu'on peut étudier dans te Mémoire de M. Qoet sur la diffraction. (AnnaUt d, ehimit •( de php. S* série, t. XLK. ) f E. Vhdit.]

.V XIV. ouverture, qui tiennent à la fois des franges extérieures et de celles qu'on observe dans l'ombre d'un corps étroit.

Soit G le poinl lumineux, AG une ouverture étroite dont les bord?

A et G sont rectilignes et parallèles, BD sa projection conique sur le plan où l'on observe les franges, et P un point pris dans ce plan, dont on veut connaître l'intensité. Four cela,

il faut intégrer

• / a + b)\ rj . / z'm + ft \

entre les limites A et G, et faire la somme des carrés de ces intégrales : ce sera l'intensité de la lumière en P. Mais il faut se rappeler que l'origine des z est sur le rayon direct CP, et qu'en conséquence les deux limites A et G répondent à

z = MG et ; = -AM.

Après avoir calculé les valeurs correspondantes de v avec la formule

dans laquelle x représente la distance du point P au bord de l'ombre géométrique, on cberchera dans la table des intégrales

f dv cos qv* et f dv sin qv*

les nombres qui approchent le plus de ces valeurs de v.

Je suppose que t soit la différence entre la valeur calculée et le nombre i de la table, on trouvera les intégrales correspondantes au moyen des formules approximatives

+ 'dv cos qv* = f dv cos qv* 4- ~ ( sin qi '{ i + 2 / ) — sin qi*) ,

£+ 'dv sin qv*=£dv sin qv*-{-^(— cos qi(i -h at) + cos qi*).

Après avoir fait le même calcul pour les deux valeurs de v qui répondent aux limites A et G de l'ouverture, on ajoutera ensemble les intégrales homologues, si le point M est en dedans; on les retranchera au contraire l'une de l'autre s'il est en dehors, et l'on fera enfin la somme des carrés des deux nombres trouvés. On aura de même les intensités

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de lumière pour tous les autres points dont la position sera donnée, et N" XIV. en comparant ces différents résultats, on reconnaîtra entre lesquels sont placés les maxima et les minima. Étant données les intensités lumineuses de trois points assez rapprochés entre lesquels se trouve un maximum ou un minimum, on peut aisément déterminer sa position avec une exactitude suffisante parla méthode des interpolations, en supposant que, dans ce petit espace, la courbe qui aurait pour ordonnées les intensités de ces points, et pour abscisses leurs distances à une origine commune, coïncide sensiblement avec une courbe du second degré. Cette hypothèse conduit à la formule

dans laquelle z' et z" représentent les distances d'un des points extrêmes aux deux autres, p' et p' les différences de leurs intensités, et enfin z la distance du même point au maximum ou au minimum. J'ai essayé cette formule sur les maxima et les minima des franges extérieures, déjà calculés par un autre procédé; et, sans employer des nombres plus rapprochés que ceux de la table, j'ai obtenu des résultats d'une exactitude suffisante, même pour le minimum du 7e ordre, quoique la différence de deux valeurs consécutives de v dans la table soit une partie considérable de l'intervalle qui sépare le minimum et le maximum du 7e ordre.

73. Pour appliquer cette méthode de calcul aux observations, j'ai d'abord déterminé la valeur tabulaire de c , c est-à-dire de la largeur

de l'ouverture, au moyen de la formule

qui m'a donné ainsi l'intervalle tabulaire des deux limites. Par des tâtonnements faciles, j'ai cherché entre quels nombres de la table se trouvaient les maxima ou les minima; j'ai ensuite déterminé leur position d'une manière plus exacte par le procédé que je viens d'indiquer. Ayant ainsi calculé les valeurs de v répondant aux maxima ou aux minima, je les ai retranchées de la moitié de la valeur tabulaire de c, pour les rapporter au milieu de l'ouverture. Enfin la formule

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N" XIV. m'a donné la dislance des mêmes mmima ou maxùna au milieu de la projection lumineuse de l'ouverture, origine que j'avais adoptée dans mes observations.

TABLEAU COMPARATIF

DBS RESULTATS DE Là THEORIE ET DE L'EXPÉRIENCE SUR LA PO«ITIO!f DES MAXIM* ET DES MIS/MA

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