N° XV (A

w En regardant ces lames sous des i dences obliques, elles paraissent à la vérité légèrement colorées; mais alors les deux surfaces de la lame font l'office des deux glaces non étamées dont M. Arago se servait dans

ses belles expériences <•>, et c'est encore ici la polarisation qui développe les couleurs.

(,) Je me sers ici des mêmes lettres que M. Biol , pour faciliter la comparaison de ses formules avec les miennes.

inséré aux Transactions philosophiques pour 180a. La citation n'est probablement qu'un moyen détourné de renvoyer à ce Mémoire , et peut-être Young l'a-t-il adopté pour ne pas violer l'incognito que les Rnietoers anglais, qui ne signent jamais leurs articles, se plaisent quelquefois à conserver assez longtemps. [E. Vb«dbt.]

'*) Mémoire* de la clause de* êcience* mathématique» et phuttqtte* de l'InitiM pour I0n , i" partie, p. g3. (La pagination c»l irr^gaWre.) Œuvre* complétée, L X , p. i .

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XV (A), perpendiculaire à O'O', et l'intensité de chacun de ces deux faisceaux lumineux dépendra de leurs azimuts par rapport au plan primitif de polarisation 00. En représentant ces intensités par les formules de Malus, on a :

F„ = Fcos2i F, = Fsin2/.

F est le faisceau incident, et F0 et F, sont les faisceaux ordinaire et extraordinaire. Comme ils soitt polarisés en sens contraires, leur influence mutuelle ne produit pas d'effet sensible; mais, en leur faisant traverser un second cristal, on les divise chacun en deux autres ordinaire et extraordinaire, d'où résultent quatre faisceaux distincts, dont deux ordinaires, polarisés dans le môme sens, peuvent agir l'un sur l'autre d'une manière apparente, ainsi que les deux faisceaux extraordinaires. Les formules suivantes représentent l'intensité de ces faisceaux qui composent les deux images :

Image ordinaire.

Image extraordinaire

F^ — F cos2 i cos2 (a — i), Vt0 — F sin2 i sin2 (a — i).

FOÏ = Fcosaisinï(a-i), Fw = F sin3 i cos2 (a — i).

'20. Des deux faisceaux qui concourent à la production de l'image ordinaire, le premier F™ a éprouvé dans la lame la réfraction ordinaire, et le second F„ la réfraction extraordinaire; et comme ces deux sortes de réfractions impriment à la lumière des vitesses différentes, cette image sera colorée d'une teinte qui dépendra du nombre d'ondulations et de parties d'ondulation dont le rayon ordinaire aura devancé le rayon extraordinaire, ou aura été devancé par lui. Si cette différence, par exemple, est égale à la longueur d'une ondulation rouge, ce sera entre les vibrations de cette espèce que régnera l'accord le plus parfait, et le rouge dominera par conséquent dans l'image ordinaire. La couleur de l'image extraordinaire dépendra aussi de la différence entre les chemins parcourus au même instant par les deux faisceaux lumineux qui la

composent, dont l'un a éprouvé dans le premier cristal la réfraction N* XV (Ai. ordinaire et l'autre la réfraction extraordinaire. Or nous venons de voir que les calculs déduits de ce principe s'accordent très-bien avec les observations de M. Biot.

21. Mais ici se présente une difficulté : cette différence étant la même dans les deux images, comment se fait-il qu'elles ne sont pas de la même couleur, mais au contraire de teintes complémentaires? C'est ce qu'on ne pourra expliquer complètement, je crois, que lorsqu'on aura découvert les causes de la double réfraction et de la polarisation. En attendant on peut remarquer qu'il faut nécessairement que le mouvement ondulatoire de la lumière, qui ne fait que se partager dans les corps transparents, regagne d'un côté ce qu'il a perdu de l'autre. Si une espèce de rayons se trouvent affaiblis dans une des images par la discordance de leurs vibrations, il faut, pour que la somme totale de leur mouvement ondulatoire reste constante, que l'intensité des mêmes rayons reçoive un accroissement égal dans la seconde image, qui sera par conséquent complémentaire de la première. Mais on ne peut concevoir cette augmentation d'énergie dans les rayons lumineux sans un accord entre leurs vibrations. Ainsi, à la discordance complète des ondulations d'une certaine couleur, dans l'image ordinaire, doit répondre un accord parfait des mêmes ondulations dans l'image extraordinaire, et la teinte de l'une résultant de l'intervalle entre les deux systèmes d'ondes calculé d'après l'épaisseur de la lame cristallisée, celle de l'autre sera déterminée par le même intervalle augmenté d'une demi-ondulation. On retrouve ici cette différence d'une demi-ondulation indépendante des chemins parcourus, qu'on a déjà remarquée dans w les phénomènes de la diffraction.

• Vab. des circonstances semblables entre les deux images des franges produites par le croisement des faisceaux lumineux qui avaient éprouvé une polarisation en sens contraire. (<ii) et (a,).

i. Si

N' XV (A). 22. Il s'agit maintenant de savoir pour laquelle des deux images ou doit ajouter une demi-ondulation à la différence entre les chemins parcourus, déduite de l'épaisseur de la lame.

Voici la règle qui résulte des observations de M. Biot : Lorsque a Fin. .i. est plus petit que i, comme dans la figure 3.

l'image ordinaire répond aux anneaux transmis, et l'image extraordinaire aux anneaux réfléchis, pour lesquels il faut ajouter, comme on sait, une demi-ondulation au chemin parcouru dans la lame d'air; quand au contraire % est plus grand que i , c'est T image ordinaire qui répond aux anneaux réfléchis et limage extraordinaire aux anneaux transmis

23. Cette règle équivaut à celle-ci, comme on peut le reconnaître par la simple inspection des figures a et 3 : L'image dont la teinte répond exactement à l'épaisseur de la lame cristallisée est celle dont les deux faisceaux constituants ont éprouvé chacun deux mouvements opposés dans leur plan de polarisation; tandis que dam les deux faisceaux qui produisent la teinte complémentaire, le plan de polarisation, au contraire, s'est toujours écarté dans le même sens de sa position pritnitive.

24. Quand les rayons lumineux qui traversent la lame n'ont pas été préalablement polarisés, les deux images qu'on aperçoit au travers du rhomboïde de chaux carbonatée sont parfaitement blanches. On peut s'en rendre raison en considérant la lumière ordinaire comme composée de rayons polarisés dans toutes les directions (s); alors à chacun de ces rayons en correspond toujours un autre polarisé en sens contraire, en sorte que le premier produisant dans l'image extraordi-

:>: Je suppose ici que, quand et on i surpassent 90*, ce sont leurs suppléments que l'on considère. Lorsqu'ils sont de signes contraires . il est aisé de voir quelle modification l'on doit faire a cette règle, en remarquant qu'alors la section principale du rhomboïde

joue le même rôle que le plan qui lui est perpendiculaire dans le cas des figures « et 3.

,,) Elle se comporte du moins comme si cela était, dans toute» les circonstances observées jusqu'à présent.

naire, par exemple, une couleur déterminée, le second en Tait naître N° X\ t A) en même temps une autre qui en est complémentaire et la neutralise entièrement.

25. Je ne m'arrêterai pas au cas où l'on superpose plusieurs lames de même nature; le phénomène, quoique plus compliqué alors, est tout aussi facile à concevoir. Si leurs axes sont parallèles, elles produiront évidemment le même effet qu'une lame unique, dont l'épaisseur serait égale à la somme de toutes ces épaisseurs partielles w. Quand au contraire leurs axes se croisent, chacun des deux faisceaux lumineux de la première lame éprouve dans la seconde, en partie, ou en totalité si leurs axes sont rectangulaires, l'espèce de réfraction qu'il n'avait pas subie dans la première; en sorte que l'un, réfracté ordinairement dans la première, le sera extraordinairement dans la seconde, et que l'autre, réfracté extraordinairement dans celle-là, le sera ordinairement dans celle-ci. Par conséquent, si les deux lames sont d'égale épaisseur, les deux faisceaux arriveront en même temps à la dernière surface; et si leurs épaisseurs sont inégales, la différence entre les chemins parcourus sera la même que celle qui résulterait d une lame unique ayant pour épaisseur la différence entre celles des deux plaques. Voilà comment, en croisant les axes, on parvient à développer des couleurs dans des plaques trop épaisses pour en produire isolément.

26. Il me reste à expliquer maintenant les variations d'intensité qu'on observe dans la coloration des images, lorsqu'on fait tourner la

"-' Le manuscrit («,) porte la note :

Ce principe, que l'expérience confirme et qui est une conséquence nécessaire de la théorie des ondulations, présente de grandes difficultés dans celle de M. Riot. et l'oblige à admettre encore dans les molécules lumineuses de nouvelles modifications qu'elles transportent avec elles. Si l'on récapitule toutes celles qui résultent du système de l'émission, on conviendra qu'il est bien difficile de concevoir a \u fois, dans chaque molécule, un si grand nombre de propriétés et de modifications différentes.

àOà THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION.

V XV (A), lame cristallisée dans son plan, ou qu'on change l'azimut de la section principale du rhomboïde. Pour cela, reprenons les formules qui représentent l'intensité des quatre faisceaux lumineux, dans lesquels se divise la lumière incidente par l'action des deux cristaux.

F00 = FcossiW(a-i).

Image ordinaire.

Image extraordinaire

FM — F sin i sin (a — i).

Fw = Foosaisina(a-i).

F^Fsin'iWfa-i).

La teinte qui colore chaque image résultant de l'influence mutuelle qu'exercent l'un sur l'autre les deux faisceaux qui concourent à sa production, celte coloration disparaîtra lorsqu'un des deux sera nul, ce qui arrivera toutes les fois qu'un des quatre facteurs sini, cosi, sin (a — i), cos (a — i) sera égal à zéro; alors les deux images deviendront blanches à la fois, puisque les formules qui représentent l'intensité de leurs faisceaux constituants sont composées des mêmes facteurs. Or il y a huit manières de satisfaire aux quatre équations.

sini = o, cosi ==o, sin (a— i) = o, cos (a — i') = o, savoir :

i — o° i= (jo° a — i = o° a — i = 900

Ainsi, en faisant tourner la lame dans son plan, on doit trouver en général huit positions dans lesquelles les deux images deviennent blanches. Lorsque la section principale du rhomboïde coïncide avec le plan primitif de polarisation, ou lui est perpendiculaire, ces huit manières de produire des images blanches se réduisent à quatre indiqué» par les équations 1= o, i = 90°, 1 = 180° et i= 970°; et quand elle* sont satisfaites, c'est-à-dire lorsque l'axe de la lame se trouve dans le plan de la polarisation primitive, ou lui est perpendiculaire, les deux images sont toujours blanches, quelle que soit la direction de la section principale du second cristal.

27. Reprenons le cas où elle coïncide avec le plan primitif de po- N" XV (Ai. larisation : alors a = o, et les formules deviennent :

Image ordinaire.

Image extraordinaire

F00 = Fco84i.

F„=:FsinV.

F0f ■= F coss i sinu i , Ff, = Fcosai sin2».

L'image ordinaire est blanche et l'image extraordinaire est nulle pour 1 = 0, 1 = 90°, 1= i8o°ct i = 2700. Mais, dans toute autre position de la lame, on aperçoit deux images colorées, et l'image ordinaire l'est d'autant plus que celui de ses deux faisceaux constituants qui s'était évanoui d'abord se fortifie davantage, et approche plus do l'intensité du second; ainsi, le maximum de coloration de cette image répond à F cos*i* = F sin'i', ou sin 1= cosi; équation d'où l'on tire / — A 5°, i = i35°, i = 2-j5° eti'=:3i50. Ces mômes valeurs de i répondent au maximum d'intensité de l'image extraordinaire; car sin' i cos* 1 est le plus grand possible lorsque sin 1 = cos 1. Ainsi les deux images ont acquis leur maximum de coloration lorsque l'axe de la lame fait un angle de 65° avec le plan primitif de polarisation.

28. Dans le cas que nous considérons ici, l'image ordinaire, après avoir passé par le blanc, reprend la couleur qu'elle avait auparavant, dont l'intensité seule varie et la nature reste constante; car a étant égal à zéro, 1 est toujours plus grand que a tant qu'il n'est pas nul, et par conséquent, d'après la règle que j'ai donnée plus haut, l'image ordinaire répond toujours aux anneaux transmis et l'image extraordinaire aux anneaux réfléchis.

C'est l'inverse quand a est égal à 900, c'est-à-dire lorsque la section principale du second cristal est perpendiculaire au plan primitif de polarisation. Dans cette nouvelle position du rhomboïde, l'image extraordinaire en effet joue le même rôle que l'image ordinaire dans le cas précédent. Ainsi l'image extraordinaire répond toujours alors

V M (l). aux anneaux transmis, et l'image ordinaire aux anneaux réfléchis, quel que soit l'azimut de Taxe du premier cristal.

29. Supposons maintenant que a = 65°; alors les formules deviennent :

j F„ = FcqsW(45--i).

Image ordinaire j

/ F,0 = Fsin i sin (45° — i).

( F0, = Fcos2tsin2(45°-,).

Image extraordinaire {

b j F„ = FSin2fcos2(/i5»-i).

Si Ton fixe le rhomboïde de spath calcaire dans cette position, et qu'on fasse tourner la lame dans son plan, on trouvera pour son axe huit azimuts différents, dans lesquels les deux images deviendront blanches, savoir :

/=o, 1-900, 1- i35°, 1= 1800, 1-2200, i-2-jo° et 1 = 3 1 5°;

car chacune de ces valeurs de 1 anéantit un des deux faisceaux constituants de chaque image. La coloration de ces images au contraire atteindra son maximum dans toutes les positions de la lame où son axe divisera ces angles en deux parties égales; car c'est alors que le plus faible des deux faisceaux, dans chaque image, le sera le moins possible, comme on peut s'en assurer par l'inspection des formules cidessus, qui expriment leurs intensités. Il est aisé de voir aussi, d'après la régie que j'ai donnée plus haut, qu'après chaque passage au blanc les deux images doivent avoir échangé leurs teintes.

30. Les huit positions de l'axe du premier cristal, qui font disparaître les couleurs, divisent la circonférence en parties égales dans le ras que nous considérons ici, parce que, a étant égal à «5°, l'équation de condition a — 1 = 0 est alors satisfaite par 1 — 45°. Mais il n'en est plus ainsi lorsque a est plus grand ou plus petit que 65°, et les huit positions de l'axe, qui satisfont aux mêmes conditions, ne font plus entre elles des angles égaux; en sorte que telle apparition des images colorées dure plus longtemps que celle qui la suit; ce qui fait aussi que la coloration dans la première acquiert beaucoup plus de viva-

cité que dans la seconde, parce que le plus faible des faisceaux consti- N° XV ï.\) tuants dans celle-ci ne peut pas parvenir au même degré d'intensité. Ces différentes périodes de coloration sont d'autant plus inégales que a approche plus de zéro, ou de 900; et enfin, quand il a atteint une de ces limites, quatre périodes sont nulles, et il ne reste plus que h-s quatre autres : c'est le premier cas que nous avons considéré.

31. Toutes les conséquences que je viens de tirer de ces formules sont confirmées par l'expérience; et il me semble que cet accord prouve suffisamment qu'elles représentent aussi fidèlement les faits dans la théorie des ondulations, que celles de M. Biot dans le système de Newton. A la vérité, les siennes ont sur celles que j'ai employées t'avantage d'indiquer dans chaque cas laquelle des deux images doit répondre aux anneaux transmis ou aux anneaux réfléchis. Mais l'explication déduite de la théorie des ondulations est bien plus conforme que celle de M. Biot aux principes généraux de la polarisation de la lumière dans les substances cristallisées.

Pour expliquer ces phénomènes, M. Biot suppose que les molécules lumineuses, en traversant une lame cristallisée, ne se polarisent pas suivant sa section principale et en sens contraire, comme dans les cristaux d'une épaisseur plus considérable, mais suivant deux plans, dont l'un est celui de la polarisation primitive, et l'autre fait un angle égal avec l'axe du cristal; en sorte que les pôles des molécules lumineuses oscillent de part et d'autre de cet axe, et ne s'y arrêtent qu'après un très-grand nombre d'oscillations. Car cet habile physicien, en croisant des plaques de cristal de roche de près de quatre centimètres d'épaisseur, y a développé des couleurs semblables a celles que donnent les lames minces, et en a conclu que les mêmes oscillations doivent avoir lieu dans toute l'étendue de ces cristaux. Or il semble que des oscillations dont l'amplitude n'a éprouvé aucune altération pendant un trajet aussi considérable, devraient se prolonger indéfiniment, ou du moins assez loin pour se faire sentir encore dans des plaques beaucoup plus épaisses, et qui, taillées obliquement par rapport à l'axe, diviseraient la lumière en deux faisceaux distincts. Mais il y a plus. M. Biot a re-

XV (A), connu les mêmes oscillations dans des prismes de cristal de roche superposés, et qui cependant, pris à part, produisaient chacun la douhle réfraction sensible, et polarisaient la lumière parallèlement et perpendiculairement à l'axe; d'où il faudrait conclure que les faisceaux qui les traversaient ne recevaient la polarisation fixe qu'au moment de leur émergence, et dans des directions très-différentes de celles où ils étaient polarisée immédiatement auparavant; ce qui est bien difficile à admettre, car, d'après toutes les expériences faites jusqu'à présent, il ne paraît pas que les surfaces des cristaux aient sur la lumière une action polarisante différente de celle des autres corps transparents.

32. Quelque surprenantes que fussent les conséquences de sa théorie, M. Biot a dû les regarder comme résultant nécessairement des faits, puisqu'elles étaient déduites d'une hypothèse qui les représentait fidèlement, et pouvait seule en rendre raison dans le système de New ton [hors lequel il est persuadé qu'on chercherait en vain l'explication des phénomènes Ml, C'est pour faire sentir les inconvénients de ce système, que j'ai cru devoir présenter, ou plutôt rappeler ici ces objections, que j'ai tirées de l'ouvrage même de M. Biot.

33. Toutes ces dillicultés disparaissent dans la théorie des ondulations, qui n'oblige pas, comme celle-ci, à supposer que les cristaux d'une petite épaisseur polarisent la lumière autrement que ceux qui la divisent en deux faisceaux distincts. Elle indique la relation qui existe entre les anneaux colorés et ces beaux phénomènes, dont la découverte est due à M. Arago; elle fait voir que les couleurs développées par la polarisation dans les lames cristallisées dépendent uniquement de la différence entre les chemins parcourus au môme instant par les deux systèmes d'ondes lumineuses qui sortent du cristal, de même que la teinte de la lame d'air, dans les anneaux colorés, résulte de In différence entre les chemins parcourus par les rayons réfléchis à sa

' Membre de phrase supprimé; («,) el («J.

première et à sa seconde surface. Ce n'est pas ici une simple analogie .N* XV (A), entre les deux phénomènes; les mêmes couleurs y sont produites par les mêmes différences entre les chemins parcourus, en sorte qu'il suffit de connaître les deux pouvoirs réfringents d'un cristal, et la longueur des ondulations lumineuses déduites des anneaux colorés, pour déterminer, d'après son épaisseur, l'espèce de teinte que la polarisation doit y montrer.

30. Si l'on fait attention aux nombreuses applications de ce principe des accords et des discordances des vibrations lumineuses; si l'on se rappelle qu'il a conduit a la découverte des lois de la diffraction, et des rapports jusqu'alors inconnus entre la largeur des franges et l'épaisseur des lames d'air qui produisent les anneaux colorés, on doit être frappé de sa fécondité, et convenir que, lors même que la théorie des ondulations n'aurait pas sur le système de Newton l'avantage d'expliquer plusieurs faits absolument inconcevables dans l'hypothèse de l'émission, elle mériterait déjà la préférence par les moyens qu'elle donne de rattacher entre eux tous les phénomènes de l'optique, en les embrassant dans des formules générales.

A Paris, le 3o août 1816.

A. FRESNEL

Ingénieur de» pool* el chausswx.

N- XV (B). x ______ , -