PAS. P,E\S
Pour avoir leur résultante, on peut se servir de la formule générale qui donne immédiatement la résultante de deux systèmes d'ondes lumineuses, et l'on trouve :
jj + sin ( 4«r>° — i) cos ( 45° — i ) cos [air [e — o)],
ou
F y/ j cos ai cos [air (e — o)].
(îette formule fait voir que plus r s'approche de 45°, plus la teinte do l'image s'affaiblit, et qu'enfin lorsque t est égal à 45°, l'image doit être absolument incolore, puisque l'expression générale de l'intensité
des rayons devenant alors F^^ et étant ainsi indépendante des valeurs particulières de r et de o, ne varie point avec la longueur des vibrations lumineuses.
Dans la formule F y/ ^-l-^cos[ai'-l- air(e — o)] du cas précédent, au contraire, quelle que soit la valeur de i, les variations de c et deo but toujours passer cos [ai -I- 2it(e — o)] par toutes les valeurs possibles, depuis + 1 jusqu'à — i . Par conséquent les intensités des rayons de différentes espèces se trouvent toujours aussi inégales, et la teinte de
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l image, tout en changeant de nature, doit conserver le même degré N° XVII. de vivacité.
li résulte au contraire de la formule F y/ ^-H^cos 21 cos [27r(e— o)} que, dans le second cas, la rotation du rhomboïde fait varier l'intensité de la couleur sans changer sa nature. En effet, les ondulations de différentes espèces s'exécutent indépendamment les unes des autres, non-seulement à cause de la différence d'origine, mais encore parce que dans leur marche leurs mouvements se contrarient aussi souvent qu'ils s'accordent : les rayons divers qui composent la lumière blanche exerçant donc sur l'organe de la vue des actions distinctes et indépendantes, la sensation de leur mélange n'est, à proprement parler, que le mélange des sensations partielles qu'ils lui font éprouver. Or il esl très-naturel de supposer que la force de la sensation est proportionnelle au carré de la vitesse des molécules lumineuses dans leurs oscillations. Ainsi, pour juger de la nature de la teinte, il faut comparer les carrés des intensités des rayons de diverses couleurs, c'est-à-dire, dans le cas dont il s'agit, les différentes valeurs de l'expression qui esl sous le radical. Or la seule quantité variable étant cos 21 cos [27r(e-o)]. les variations répondant aux différentes espèces de rayons seront toujours dans le même rapport, quelle que soit la valeur de i, et seulement plus ou moins faibles relativement au terme constant ^ . On doit donc en conclure que la teinte ne changera pas de nature, et qu'elle n'éprouvera d'autre altération que celle qui résulte du mélange d une plus ou moins grande quantité de lumière blanche.
1 1 . J'ai dit, dans le Mémoire précédentw, qu'on pouvait imiter les phénomènes que présentent les plaques de cristal de roche taillées perpendiculairement à l'axe, en plaçant une lame cristallisée parallèle a Taxe entre deux systèmes perpendiculaires de prismes accouplés, et de façon que son axe fît un angle de /Ï50 avec chacun des deux plans de réflexion; qu'alors, non-seulement la rotation d'un des rhomboïdes faisait
" S' XVI, S 11. p. 46o. note j.
V XVII. changer la nature des teintes, mais encore que ces teintes restaient constantes quand on faisait tourner les deux rhomboïdes dans le même sens et de la même quantité angulaire ; mais je n'ai pas donné ia raison de cette loi remarquable. Je terminerai ce supplément par l'application de la théorie des interférences à ce phénomène, que je considérerai dans toute sa généralité.
Soient PP' le plan de la polarisation primitive ; RR' le premier plan dans lequel la lumière polarisée éprouve deux réflexions complètes; 00' l'axe de la lame cristallisée; R,R', le second plan de réflexion, et SS' la section principale du second rhomboïde. Je représente l'angle PCS par i, l'angle PCR par r, l'angle PCR, par r, et l'angle PGO par a. L'image ordinaire sera formée par le concours
des huit faisceaux suivants :
H- cos r cos (a —
r) cos (r'
— a) cos (r
-+■ cos r cos (a —
r) sin (r
— a) sin (r
— cosrsin(a -
r) sin (r
— a) cos (r
+ cos rsin (a —
r) cos (r
— a) sin (r
— sinrsin (a —
r) cos [r
— a) cos (r
— sin rsin (a —
r) sin [r
— a) sin (r
sin r cos (a —
r) sin (r
— a) cos [r1
H- sin r cos (a —
r) cos [r
— a) sin (r
Ajoutant les expressions dans lesquelles F a la même caractëristique, en observant que ^ à la caractéristique équivaut au signe moins, les huit faisceaux se réduisent à quatre :
1 et b\ —[sin rsin [a — r) sin (r -a) sin (r — i) + cos r cos (a — r) cos(r' — a)cos(r ' -», l
2 et 5. + [— sinrsin (a — r)cos(r — fl)cos(r'— i)-|-cosrcos(a — r) sin(r— a) sin {r -i K .i et 8 . -f- [cos r sin (a — r) sin (r — a) cos — i ) 4- sin r cos (a — r) cos (r — a) sin (r - 1) 1 4 et 7. -H [cos rsin (a - r) cos (r — a) sin (/ — 1) — sin r cos (a — r) sin (r' — a) cos (r r F. •
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Si l'on suppose le second plan de réflexion perpendiculaire au pre- N« XVII. mier, r =r-»-Qo0, et ces expressions deviennent :
— [sin r cos (r - i) — cos r sin (r - j)] F0= ... ± sin / Ffl , + ^[sinrsin(r--i)4-cosrcos(r - i)] Fo l = + £ cos i F0 + ^ ,
+ x-[- cos r sin (r i)-f-sinrcos(r — i)] F, = + ^ sin i F, , + i [ cos r cos (r - r) + sin r sin (r — i) ] F , ,= + ~ cos i F , .
Ainsi, dans ce cas, les intensités des faisceaux constituants de l image ne sont plus fonction que de 1 angle i; par conséquent, i restant constant, la teinte de l image ne variera point. Si donc on lait tourner le système de la lame cristallisée et des prismes accouplés entre les deux rhomboïdes de spath calcaire, ou, ce qui revient au même, si Ton tait varier de la même quantité angulaire les azimuts de leurs sections principales, la couleur de l'image n'éprouvera aucune altération, ni dans sa nature ni dans sa vivacité.
Il est à remarquer que, si Ton change o en e et e en o dans les expressions des intensités des faisceaux constituants, on retrouve, précisément avec les mêmes signes, celles du cas ou la lumière n'éprouvait qu'une fois la double réflexion complète. Or le calcul nous avait donné pour la valeur de la résultante
F\Ji+ îcos[2,'-»-27r(e-0)] ;
dans le cas dont nous nous occupons actuellement, elle sera donc
F\J ï + ;cos[aï+air(o-e)] .
V\/ ^ + îcos[2,'-27r(e-°)]-
Ces deux expressions indiquent la même teinte lorsque i est égal à zéro, 900, 1800, 2700, 36o°; et des teintes complémentaires quand ii est égal à 45°, i35°, 2 2 5°, 3i5°.
J'ai supposé que le plan suivant lequel la lumière éprouvait pour la
N° XVII. seconde fois la double réflexion complète était perpendiculaire au premier. Supposons maintenant qu'il lui soit parallèle. Alors les expressions générales de l'intensité des faisceaux lumineux deviendront :
4- l- [sin r sin (r — i) — cos r cos (r — î)] Fn — — l- cos (ar — i) F„ . 4- j [— sin r cos (r — i) — cos rsin(r - i)] F„ + , = — jj sin (ar — r)FB+1 , + 7 [—cos r cos (r — i) + sin r sin(r — i)] F, — — - cos (ar — l) F, , 4- - [ cos r sin (r — i) 4- sin r cos(r — i)] F, + , = -4- l- sin (ar — i) F, + , .
D'où il résulte que, dans ce cas, toutes les variations d'azimuts qui ne changent pas ar— i ne doivent pas faire varier la teinte de l'image. C'est ce que l'expérience confirme, comme je m'en suis assuré avec un appareil gradué.
J'ai commencé à appliquer aux anneaux colorés la formule générale qui donne la résultante de deux systèmes d'ondes, et j'ai déjà calculé la couleur des lames minces pour quelques-uns des cas de la table île Newton. Mais ce travail est encore trop incomplet pour pouvoir être présenté à l'Académie. Je dirai seulement que les résultats que j'ai obtenus jusqu'à présent s'accordent aussi bien avec la table de Newton que ceux auxquels M. Biot a été conduit par une formule toute différente.
\ Paris, le i5 janvier 1818.
A. FRESNEL
