N* IV. COMPLÉMENT

AU

ADRESSÉ À M. LE SECRETAIRE DE LA PREMIÈRE CLASSE DE LIÎISTITtlT (':, LE 1 5 OCTOBRE l8l5.

1. L'explication que j'ai donnée des franges colorées des ombres et la formule que j'en ai déduite sont fondées sur l'hypothèse que les rayons partant du point lumineux, ou du moins une grande partie de ces rayons, vibrent d'accord dans des angles sensibles, et que les cercles formés dans l'étendue de ces angles, par les points correspondants des ondulations des rayons, ont pour centre le point lumineux.

Cela est évident pour une particule incandescente dont les vibrations produisent les ondulations lumineuses. Lorsque le point lumineux est un corps incandescent assez peu étendu, ou assez éloigné pour qu'il soit vu sous un angle infiniment petit, comme les étoiles par

11 ' J'ai recommencé l'expérience sur j'ai parlé à la fin de mon premier Mémoire , l'ombre d'un fil éclairé par une étoile, dont et je me suis assuré que dans ce cas, comme

w Ce mémoire était accompagné d'une lettre d'envoi ainsi conçue :

Mathieu [près Caen], le 10 novembre 181 5.

Monsieur,

Je vous prie de soumettre à la première classe de l'Institut le Mémoire ci-joint, formant le complément de celui que j'ai eu l'honneur de vous adresser le 1 5 octobre.

Ce second Mémoire contient la solution des difficultés que je m'étais faites sur la théorie des vibrations qui produisent la lumière. J'y ai joint l'explication des images colorées que réfléchissent les surfaces rayées, et de celles qu'on aperçoit en regardant un objet brillant au travers d'un tissu très-fin.

J'ai l'honneur d'être, avec la plus haute considération, Monsieur,

Votre Ires-humble el très-obéissant serviteur,

exemple, ce que je viens de dire pour une particule unique peut s'appliquer à toutes celles dont le point lumineux est composé, et l'on voit que les franges produites par ces différentes particules radieuses devant se trouver sensiblement à la même place, à cause de la petitesse du corps ou de son éloignement, le phénomène doit se passer comme si les rayons partaient du même point.

2. Les expériences au moyen desquelles j'ai découvert la loi de la diffraction ont été faites avec un point lumineux artificiel, formé d'abord par un très-petit trou sur lequel je rassemblais beaucoup de lumière, ensuite par le foyer d'une lentille très-convexe ou d'un globule transparent, et j'ai dit, dans le Mémoire précédent, que je ne pouvais pas encore expliquer d'une manière satisfaisante l'accord et la forme circulaire des ondulations lumineuses partant d'un petit trou ou du foyer d'une lentille. Je crois y être parvenu maintenant.

3. La source de la lumière est toujours un corps incandescent, dont chaque particule est le centre d'ondulations sphériques. Lorsqu'elles passent par un petit trou, une grande partie de la lumière est infléchie par ses bords dans une foule de directions différentes, et

dans les autres, l'observation confirmait la théorie. Le fil de fer dont je me suis servi avait un millimètre de diamètre, et était placé entre l'étoile et la lentille, à 8 mètres du foyer; la distance entre les endroits les plus sombres des deux franges du premier ordre devait être par conséquent de o™, 00707 au foyer de la lentille. J'avais fixé sur le petit cadre, que la lentille portait à son foyer, deux (ils parallèles, espacés de o",,oo70, distance mesurée de milieu en milieu le plus exactement possible. Ces fils étaient éclairés par une lampe. Ayant l'œil placé à l'autre foyer de la lentille, je voyais à la fois les deux fils, et l'ombre du fil de fer, qui marchait d'occident en orient par l'effet du mouvement diurne. Je tournais la lentille un peu à l'orient, et j'attendais le

moment où les parties les plus sombres des deux franges passaient derrière les fils du petit cadre. Il m'a toujours semblé qu'ils les couvraient en même temps, et j'ai répété dix fois cette expérience. Je dis i7 m'a semblé, parce que la distance a laquelle je me trouvais des fils, à cause du peu de convexité de la lentille , et les mouvements involontaires de mon œil m'empêchaient de voir bien nettement à la fois les deux fils du petit cadre et l'ombre du fil de fer. Avec une lentille un peu plus convexe, d'un pied ou dix-huit pouces de foyer, on distinguerait mieux les fils, et la lumière de l'étoile ne serait pas encore assez affaiblie pour qu'on ne pût voir nettement les deux franges du premier ordre.

forme de nouvelles ondulations sphériques dont les centres sont sur Na IV. les bords du trou; car les ondulations ont toujours la même longueur, quelle que soit la direction suivant laquelle les rayons aient été infléchis. Quelque petit que soit le trou, comme il n'est jamais un point mathématique, les rayons infléchis par ses bords n'ont pas exactement les mêmes centres d'ondulation, et l'accord de leurs vibrations ne s'étend pas à une distance indéfinie de l'axe du faisceau lumineux. Mais l'espace dans lequel elles s'accordent sensiblement est en raison inverse de la largeur du trou, et devient considérable lorsque le trou est suffisamment étroit. Ainsi une grande partie de la lumière, après avoir traversé le petit trou, formera des ondulations sphériques ayant leur centre à ce trou, et cela suffit pour la production des franges.

à. On se demandera maintenant comment ces franges ne sont pas détruites, ou du moins rendues très-confuses, par celles que peuvent produire les rayons directs. 11 est aisé de s'assurer que cela ne saurait avoir lieu, lorsque le trou est suffisamment étroit; car alors l'angle sous lequel s'étend chaque faisceau de rayons directs venant de la même source ne peut être assez grand pour la production des franges que lorsque le corps éclairant, ou le foyer de la lentille (ce qui revient au même, comme je le fais voir ci-après) est très-près du petit trou; mais alors les centres d'ondulation des rayons directs étant presque à la même distance que ceux des rayons infléchis, les franges que ceuxlà produisent coïncident à peu près avec les autres et ne peuvent que les renforcer. Maintenant si l'on éloigne le corps éclairant du petit trou, les cônes de rayons directs partant d'un même point deviennent presque des cylindres, à cause de l'extrême petitesse de ce trou, et ne s'étendent plus dans des angles assez grands pour faire naître des franges. L'ensemble de ces faisceaux directs peut former un cône d'un angle considérable, mais les accords et les discordances des rayons lumineux, qui viennent de différentes sources variant à chaque instant, ils ne peuvent pas produire d'effet constant, et, par conséquent,

sensible. Ainsi les rayons directs ne doivent répandre, dans ce cas,

ài THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — PREMIÈRE SECTION.

Nn IV. qu'une lumière uniforme sur les parties sombres et brillantes des franges colorées produites par les rayons infléchis (,).

5. Passons maintenant au cas où le point lumineux est produit par une lentille très-convexe. Je ne considérerai, comme dans le cas précédent, que les ondulations formées par les vibrations d'une des particules du corps éclairant, ce que l'on dit de l'une pouvant s'appliquer à toutes les autres. Je supposerai, pour simplifier les calculs, qu'elle est à une distance infinie, comme celle du soleil, et que le foyer se forme dans le verre, afin de n'avoir qu'une réfraction à considérer. On verra facilement qu'on peut appliquer les mêmes raisonnements à des hypothèses plus compliquées.

Soient donc DA et EB deux rayons lumineux parallèles vibrant d'accord : IAB la surface du verre, C son centre, et F le foyer où se réunissent les deux rayons réfractés AF et FB. Je suppose AD perpendiculaire à la surface du verre, en sorte que la réfraction ne change pas sa direction. Par le point A je mène AH perpendiculairement aux rayons incidents; A et H sont des points correspondants des mêmes vibrations. Le rayon EB a encore HB à parcourir dans l'air, lorsque le rayon DA est déjà entré dans le verre; or l'équivalent de HB dans le verre, c'est la même longueur divisée par le rapport entre le sinus d'incidence et celui de réfraction dans le passage de la lumière de l'air dans le verre. Je représente par p ce rapport, par r le rayon du cercle IAB, et par i l'angle d'incidence EBG. Ayant calculé AF, BF et HB, en ajoutant BF à l'équivalent de HB dans le verre et retranchant cette somme de AF, je trouve :

i — y/i — sin't j

-sin'i-v/i- sirT1* P 6. Cette expression donne la différence entre les vibrations des

Voir au N* V(C) la rectification de ce paragraphe.

Uigitized

rayons à leur point de concours F. En la réduisant en série, et négli- N° IV. géant tous les termes au delà de la quatrième puissance de sin i, on trouve — r (^^j sin*i.

Il est facile de voir par cette formule que la différence entre les vibrations des deux rayons au point F n est encore qu'une petite partie de la longueur d'une ondulation , lorsque r et i ont déjà des valeurs assez considérables. Si r, par exemple, était égal à un centimètre, pour que la discordance fût complète, c'estmà-dire , pour que les deux rayons différassent d'une demi-ondulation au point F, il faudrait que i fût de dix degrés environ, et, l'angle d'incidence étant de 5° 36', les rayons réfractés ne différeraient au point F que du dixième d'une demi-ondulation. On voit donc que, lorsqu'une lentille est suffisamment convexe, les rayons qu'elle a réunis à son foyer doivent vibrer d'accord sous des angles très-sensibles.

7. L'explication que j'ai donnée de la loi de la réflexion, dans mon premier Mémoire, par les ondulations de la lumière et l'influence des rayons les uns sur les autres, n'est applicable qu'au cas où la surface réfléchissante est continue et parfaitement polie, parce qu'alors, dans toute autre direction que celle qui fait un angle égal à celui d'incidence, les rayons réfléchis sont nécessairement détruits, ou du moins rendus insensibles par d'autres rayons dont les vibrations diffèrent d'une demi-ondulation. Il n'en est pas de même quand la surface est discontinue, quand elle est rayée, par exemple ; alors on peut considérer à part les rayons lumineux qui partent des raies, parce que les points qui les réfléchissent ne sont plus dans le même plan que le reste de la surface. Soient A et les points où le plan d'incidence rencontre deux i. raies très-voisines faites dans une sur-

face polie. Ils réfléchiront les rayons incidents FA et GB dans une infinité de directions différentes^. Soient AD et BE deux de ces rayons réfléchis qui arrivent à l'œil, et qui sont ainsi

01 Les points A et B sont supposes pris surface polie, de manière que ABlui soit loudans chaque raie à la même distance de la jours parallèle. — (,) Ces raies ne sont pas

N* IV. sensiblement parallèles. Je mène AH et BC perpendiculairement aux rayons incidents et aux rayons réfléchis. Les rayons incidents vibrant d'accord, A et H sont des points correspondants des mêmes vibrations. Maintenant, pour que les rayons réfléchis vibrent d'accord aussi, il n'est pas nécessaire que AC soit égal à HB, mais seulement que leur différence soit un nombre entier d'ondulations.

Beprésentant par d la longueur d'une ondulation de la lumière dans l'air, par a la distance AB entre les deux raies, par i l'angle d'incidence GBL, et par r l'angle de réflexion LBE, il faudra donc, pour que les vibrations des rayons réfléchis soient en harmonie, qu'on ait l'équation,

a sin i — a sin r= nd (n étant un nombre entier.) D'où l'on tire,

nd

sin r = sin i

8. La longueur d'ondulation d variant avec la nature des rayons lumineux, l'angle de réflexion sera différent pour les rayons de différentes couleurs. L'angle de réflexion des rayons violets, dont les ondulations sont les plus courtes, sera celui qui différera le moins de l'angle d'incidence. L'angle de réflexion des rayons rouges, au contraire, sera celui qui en différera le plus. On voit donc que, si l'on grave sur une surface polie des raies parallèles à égales distances les unes des autres, afin que a soit constant, elle devra réfléchir, avec l'image ordinaire de l'objet lumineux, une autre image colorée, et même plusieurs, si la surface rayée a une étendue suffisante. Les couleurs seront rangées dans le même ordre que dans le spectre solaire ou les anneaux colorés ; le violet sera le plus rapproché de l'image incolore, et le rouge le plus éloigné.

9. On peut supposer à n toutes les valeurs que donne la suite des nombres naturels, i, 2,3, 6, 5, etc. et à chacune de ces valeurs de

des lignes mathématiques; mais les plans qui peuvent réfléchir des rayons sensibles suicomposent leurs surfaces sont si étroits qu'ils vant une infinité de directions différentes.

n répond une image différente. Mais pour que ces images colorées ne N° IV. se confondent pas entre elles et avec l'image incolore, il faut que les valeurs de sin r, qui répondent à n = i,n = a,B = 3, etc. diffèrent sensiblement, ce qui ne peut avoir lieu que lorsque a est très-petit, ou les raies très-rapprochées , comme il est facile de le voir par la seule inspection de la formule sinr = sim'-™. Plus a sera petit, plus les images seront fortement colorées, et plus elles s'éloigneront les unes des autres et de l'image incolore, parce que les variations dans les valeurs de d et de n en produiront de plus sensibles dans celles de sin r.

Si l'on représente par ci' la longueur des ondulations rouges, et par d" celle des ondulations violettes, on aura pour les rayons rouges,

• ; • nu

sinr =sini

et pour les rayons violets,

it • nd'

sinr =smi

d'où l'on tire,

sinr"-sinr' = ;;(d'-<r)

Tant que n n'est pas assez grand, ou que les raies ne sont pas assez rapprochées, pour que ~ (d! — d") cesse d'être une petite fraction, la différence entre les angles r et r' est à peu près égale à la différence entre leurs sinus multipliée par le cosinus d'un angle moyen. Représentant par r cet angle moyen de réflexion, on aura donc,

r"-r'^^(c/'-(f)cosr

et si on le suppose constant, r" — r sera en raison inverse de a; c'estù-dire que la dispersion des couleurs sera en raison inverse de l'intervalle entre les raies. Si l'on suppose, au contraire, que ce soit l'angle d'incidence qui reste constant, la même loi n'est plus sensiblement exacte que pour la première image colorée.

N° IV. 10. La longueur de d étant connue pour toutes les espèces de rayons, on peut facilement vérifier par l'observation la formule générale

• ïid

sinr = sini — — a

C'est ce que je me propose de faire aussitôt que j'aurai une plaque rayée à ma disposition.

11. Un tissu très-fin au travers duquel on regarde un objet brillant, comme une étoile ou la flamme d'une bougie, présente des phénomènes semblables à ceux dont je viens de parler. Outre le point lumineux qu'on voit directement, on remarque de chaque côté, dans le sens perpendiculaire aux fils, des images colorées, qui sont d'autant plus éloignées les unes des autres que les fils sont plus rapprochés. Dans toutes ces images le violet se trouve en dedans du côté du point lumineux, et le rouge en dehors.

Soient A et B les intersections de deux fils avec le plan mené par

les rayons incidents CA et DB. Ces rayons incidents seront infléchis par les fils dans toutes les directions possibles; mais il n'y aura de sensibles pour l'œil que ceux dont les vibrations seront encore en harmonie après l'inflexion. Soient AE et BF deux de ces rayons. Du point B j'abaisse sur AC et AE les perpendiculaires BG etBH. H faudra, pour que l'accord subsiste entre les vibrations des deux rayons infléchis, que AG + AH forme un nombre entier d'ondulations. Appelant i l'angle d'incidence, et r celui que les rayons infléchis font avec la perpendiculaire à AB, et représentant par a la distance AB, qui sépare les deux fils, on aura l'équation,

a sin i-ha sin r = nd

d'où l'on tire,

nd

sinr- —

sin/

12. Lorsque les rayons incidents sont perpendiculaires à A 8, la N° IV. formule se simplifie, et Ion a,

nd

sinr= — a

Je suppose qu'ayant l'œil près des deux fils, on regarde un point lumineux : les directions suivant lesquelles on voit le point lumineux et la n*"* image colorée feront entre elles un angle dont le sinus sera égal à — . Si l'on représente par 6 la distance des fils au point

lumineux, sera égal à l'intervalle entre le point lumineux et celui où la nim' image paraît placée. Représentant cet intervalle par /, on aura ,

d'où l'on tire,

j iidb

ndb

Ainsi , étant données b et on peut calculer a, c'est-à-dire la distance entre les fils W,

13. Pour vérifier cette formule, j'ai fixé, sur un cadre de o'",3a/i de longueur, deux fils de soie écrue, partant du même poiut à une des extrémités du cadre et éloignés de deux millimètres à l'autre extrémité. J'ai vérifié avec soin l'ouverture de compas qui me donnait cette distance de deux millimètres, et j'ai placé les fils à la loupe, en sorte que j'étais sur qu'il ne pouvait y avoir un vingtième d'erreur sur la mesure de l'intervalle qui les séparait. Un carton mobile, percé d'un

w Les formules établies par Fresnel dans ces deux paragraphes expriment précisément les lois des couleurs des réseaux, que Fraunhofer a découvertes par l'observation plusieurs années après. Une seule chose manque à la théorie de Fresnel pour être complète. EUe ne considère que la lumière infléchie par les bords des fils, au lieu de tenir compte de la lumière envoyée par la totalité des portions non interceptées de l'onde incidente. De la résulte qu'elle conduit à admettre , entre les phénomènes d'un tissu à mailles très-nombreuses et ceux d'un simple couple de fils, une identité qui n'existe pas. M. Airy a montré plus tard que, conformément aux observations de Fraunhofer, les lois simples représentées par la formule

sin r = ^ ne conviennent qu'au cas où le nombre des fils parallèles est très-grand. Deux (ils parallèles donnent naissance à des phénomènes un peu moins simples, mais où les minima de lumière ont les mêmes positions. Ce sont précisément ces dispositions que Fresnel a déterminées dans les expériences décrites au paragraphe suivant. (E. Verdit.) >• 7

N° IV. petit trou, au travers duquel je regardais le point lumineux, me

vait à juger, par la distance à l'extrémité du cadre, la largeur entre les fils, à l'endroit où ils infléchissaient les rayons arrivant à mon œil, et me faisaient apercevoir des images colorées du point lumineux. Une personne, qui m'aidait dans cette expérience, promenait sur le carton noir, au milieu duquel était le point lumineux, un petit carton blanc quelle en approchait ou en éloignait, jusqu'à ce que le bord de ce carton blanc me parût au milieu d'un des intervalles entre les images colorées, et elle en mesurait la distance au point lumineux. Au moyen de la formule a = je calculais l'intervalle entre les fils, que je connaissais déjà directement par la dislance à leur point de concours, et je pouvais ainsi comparer les résultats de la théorie avec ceux de l'observation. Je les ai réunis dans le tableau suivant.

•ISTlSCtS

du

BtlTAICU

point lumineux ■aoiifii

des fila

l'iotertalle obscur

au point

qui sépare la premier* et

lumineux.

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VUTUCI

du

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