N" XI
NOTE
SUR
(DéPOSÉI SOCS FORME Dl PLI CiCHITÉ \ LA «BJkICI DU 30 âTML t8l8 <k).)
1 . Lorsqu'on fait passer un faisceau lumineux par une ouverture très-étroite, on remarque qu'il éprouve une dilatation, c'est-à-dire que l'espace éclairé est plus large que la projection conique de l'ouverture. Il est aisé de reconnaître par l'abondance de la lumière qui se
' Ce mémoire était accompagné d'une lettre d'envoi ainsi conçue :
Paris, le ao avril 1818.
Monsieur le Président,
J'ai l'honneur de vous adresser un paquet cacheté, contenant des vues théoriques sur quelques phénomènes d'optique, que je me propose de soumettre à l'Académie lorsque j'aurai terminé leur vérification expérimentale.
Je vous prie d'avoir la honte de faire déposer ce paquet au secrétariat de l'Institut.
Je suis avec respect, etc. A. FRESNEL.
lb) A. Frcsnel avait posé les bnscs d'une vraie théorie mécanique de la diffraction dans le Supplément au Mémoire sur la diffraction ( 1 h juillet 1816. n° X).
Le 1 9 janvier 1 8 1 8 , il avait présenté à l' Académie des sciences le Supplément au Mémoire sur les modifications que la réflexion imprime à la lumière polarisée (n* XVII). et lui-même définissait, en ces termes, l'objet et les conséquences de ce Mémoire :
«rJe viens d'imaginer, pour calculer l'influence d'un nombre quelconque de systèmes rd'ondes lumineuses les unes sur les autres, des formules qui me paraissent bien représenter ries phénomènes, du moins dans les cas où je les ai vérifiées jusqu à présent. Je vais continuer cette vérification, et appliquer ces mômes formules à la diffraction, dont j'aurai alors
N° XI. répand au delà des arêtes du cône, et par le décroissement graduel de son intensité, depuis le centre de la partie éclairée jusqu'aux bandes obscures du 1" ordre, que ce phénomène ne doit pas être uniquement attribué au concours des rayons réfléchis et infléchis par le contact des bords du diaphragme, surtout s'ils sont tranchants; car il est évident alors que la lumière réfléchie est trop faible pour produire un effet aussi prononcé. D'après cette expérience et plusieurs autres rapportées dans le Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie, le 1 5 juillet 1816, j'ai fait voir que la dispersion de la lumière occasionnée par le voisinage d'un corps opaque ne se bornait pas aux rayons qui en avaient rasé les bords, mais s'étendait encore à une infinité d'autres rayons séparés de ces bords par des intervalles sensibles. Dans la théorie des ondulations on peut se rendre compte du phénomène, en faisant attention que la suppression d'une partie de l'onde doit détruire l'équilibre des petits mouvements dont elle se compose, et permettre aux molécules éthérées, situées vers son extrémité, de vibrer dans d'autres directions que celle de la normale. Je ne vois pas comment on pourrait l'expliquer dans le système de l'émission; car il n'est pas probable que l'attraction et la répulsion moléculaires s'étendent à des distances aussi considérables qu'un demimillimètre, par exemple, ou même un dixième de millimètre. Et d'ailleurs, si Ton adoptait cette hypothèse, on devrait en conclure nécessai-
«une théorie complète, si je ne suis pas arrêté en route par quelques difficultés d'analyse, rrce que crains fort, car un premier essai m'a déjà conduit a une différentielle qui n'est pas t intégrable , à ce qu'il paratt. . . (Lettre à Léonor Fresnel, du 38 novembre 1817, N* L1X.)
* J'ai maintenant l'espoir asseï bien fondé de lever toutes les difficultés qui restaient
«sur la diffraction, et d'en donner une théorie complète, débarrassée de celte hypothèse «d'une différence d'une demi-ondulation, que je n'avais pas encore pu expliquer.» (Lettre à Léonor Fresnel du 1 o avril 1818, N' LIX. )
Or la question de la diffraction avait été mise au concours par l'Académie des sciences. Le paquet cacheté, déposé à la séance du ao avril 1818, était donc nécessaire pour assurer à l'auteur des Mémoires du 1 4 juillet 1816, et du 19 janvier 1818, la propriété des applications qu'on pouvait faire aux phénomènes de la diffraction des principes qui y sont établis.
remenl que la masse des bords du corps opaque et la forme de leur N" XI. surface doivent influer sur la manière dont ils attirent ou repoussent la lumière. Or toutes les expériences que j'ai faites jusqu'à présent sur la diffraction m'ont démontré que la position des franges et la dilatation de la lumière, par son passage au travers d'une petite ouverture, sont indépendantes de la masse des bords du corps opaque, comme de sa nature et de sa densité. C'est ainsi que le fil et le dos d'un rasoir présentent les mêmes franges, que la lumière est autant dilatée en passant par une petite ouverture pratiquée dans une légère couche d'encre de Chine étendue sur une glace, que par le rapprochement de deux cylindres métalliques d'un diamètre considérable. Mais je me bornerai ici à rapporter une expérience faite avec toute la précision nécessaire pour ne laisser aucun doute sur ce principe.
2. J'ai fait passer un faisceau lumineux entre deux plaques d'acier très-rapprochées, dont les bords verticaux, bien dressés sur toute leur longueur, étaient tranchants dans une partie et arrondis dans une autre, et disposés de telle sorte que le bord arrondi d'une des plaques répondait au tranchant de l'autre, et réciproquement. Il en résultait que le tranchant se trouvant à droite, par exemple, dans la partie supérieure de l'ouverture, était à gauche dans sa partie inférieure. Par conséquent, pour peu que la différence de masse ou de surface des deux bords eût porté les rayons un peu plus d'un côté que de l'autre, ces effets étant opposés dans les deux moitiés de l'ouverture, les franges devaient se briser au point de séparation. Mais en les observant attentivement j'ai reconnu, au contraire, qu'elles étaient parfaitement droites sur toute leur longueur, comme lorsque les deux lames étaient disposées de façon que les bords de même forme fussent opposés l'un à l'autre.
Il résulte de cette expérience que les phénomènes de la diffraction sont tout à fait inexplicables dans le système de l'émission, lors même qu'il emprunterait à la théorie des ondulations le principe des interférences.
3. La théorie des ondulations conduit au contraire, ce me semble,
à une explication complète de ces phénomènes, au moyen du principe d'Huyghens, qu'on peut énoncer ainsi : les vibrations dune onde lumineuse dans chacun de ses points sont égales à la somme de tous les mouvements élémentaires quy enverrait au même instant, en agissant isolément, chaque petite partie de cette onde considérée dans une quelconque de ses positions antérieures.
li. L'intensité de l'onde primitive étant uniforme, il résulte de cette considération théorique, comme de toutes les autres, que cette uniformité se conservera pendant sa marche, si aucune partie de l'onde n'est interceptée ou retardée relativement aux parties contiguès, parce que la somme des mouvements élémentaires dont je viens de parler sera la même pour tous les points. Mais si une portion de l'onde est arrêtée par l'interposition d'un corps opaque, alors l'intensité de chaque point variera avec sa distance au bord de l'ombre géométrique, et ces variations seront surtout sensibles dans le voisinage de l'ombre. Soit C le point lumineux, AG le corps opaque. Je considère l'onde
dans le moment où, arrivée en À, elle est interceptée en partie par ce corps, c'est-àdire à l'origine du dérangement de son équilibre transversal W. Je la suppose divisée en une infinité de petits arcs égaux Am', mm, wM, M/j, nri, rin etc. et pour avoir son intensité au point P, dans une de ses positions postérieures BPD, je cherche la résultante des ondes élémentaires, que chacune des portions de l'onde primitive y enverrait en agissant isolément.
5. L'impulsion qui a été communiquée à toutes les parties de l'onde primitive étant dirigée suivant la normale, il est clair que les mouvements qu'elles tendent à faire naître dans l'éther doivent
"' Si I on considérait l'onde dans une po- modifications qu'apporterait le corps opaque sition antérieure, il faudrait avoir égard aur dans les petites ondes élémentaires émanée»
être plus intenses dans cette direction que dans toute autre, et que les i\ XI. rayons qui en émaneraient, si elles, agissaient isolément, seraient d'autant plus faibles qu'ils s'écarteraient davantage de cette direction. Mais les effets produits par les rayons qui émanent de l'onde primitive se détruisant presque complètement dès qu'ils s'inclinent sensiblement sur la normale, les rayons qui influent d'une manière appréciable sur la quantité de lumière que reçoit chaque point P peuvent être regardés comme d'égale intensité. En étendant l'intégration jusqu'à l'infini, je suppose, pour la commodité du calcul, qu'il en est de même des autres rayons, vu que l'inexactitude de cette hypothèse ne doit pas apporter d'erreur sensible dans les résultats. On peut aussi, par la même raison, supposer toutes les vibrations de ces ondes élémentaires parallèles à la normale, de manière à ramener la question au problème des interférences, dont j'ai donné la solution dans le Supplément au Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie, le ai novembre 1817.
6. Supposons d'abord le corps opaque AG assez étendu pour que la lumière qui vient du coté G soit sensiblement nulle, en sorte que l'on n'ait à considérer que la partie de Tonde située à gauche du point A. Pour déterminer l'intensité de la lumière en P, il faut chercher la résultante de toutes les ondes élémentaires que tendent à y faire naître les petits arcs Am', mm, mM, Mn, nri, n'n, etc. considérés comme autant de points lumineux dont les vibrations s'exécutent en même temps. Pour déterminer les positions relatives de toutes ces ondes arrivées au point P, de ce point comme centre et d'un rayon égal à la perpendiculaire PM abaissée sur l'onde AME, je décris un cercle /Mr. Les parties ns\ n's, ns, mr, m'r, etc. des rayons, comprises entre l'onde AME et ce cercle, sont précisément les différences des chemins parcourus par les ondes élémentaires qui arrivent en P, et par conséquent les
de chacun de ses points. Si l'on prenait, au différentes parties, ce qui rendrait le calcul
contraire, pour point de départ une des très-diflicile et peut-être impraticable dans
positions postérieures de Tonde, il faudrait l'un et l'autre cas. avoir égard aux variations d'intensité de ses
N° XL intervalles qui séparent leurs points correspondants. Pour calculer leur résultante, je les rapporte toutes à l'onde émanée du point M et à une autre onde distante de celle-ci d'un quart d'ondulation. Si l'on représente par dz une quelconque des petites parties n'n* de l'onde primitive, et par z sa distance au point M, l'intervalle n's' étant proportionnel au carré de l'arc z\ on aura pour la composante rapportée à l'onde émanée de M, dz cos (as8), et pour l'autre dz sin (az*); en faisant la somme des composantes semblables de toutes les autres ondes élémentaires, on a donc,
/ dz cos ( az1 ) et fdz sin ( az s) ,
et par conséquent la résultante générale de tous ces petits mouvements, ou l'intensité des vibrations lumineuses au point P, est égale à
y/[/(fzcos(azs)]' + [/dzsin(azs)],;
ces intégrales étant prises depuis A jusqu'à l'infini W.
7. Elles se divisent naturellement en deux parties, l'une comprise entre A et M, et l'autre entre M et l'infini. Celle-ci reste constante, tandis que la première varie avec la position du point P : ce sont ces variations qui déterminent la largeur et l'intensité des bandes obscures et brillantes.
L'analyse donne l'expression finie des intégrales
/dz cos (azs) et fdz sin (azs),
prises depuis z = o jusqu'à z = oo; mais on ne peut avoir ces intégrales entre d'autres limites que par le moyen des séries ou des intégrations partielles. C'est par ce dernier procédé, qui m'a paru le plus commode, que j'ai calculé la table suivante, en rapprochant assez les limites de chaque intégrale partielle pour pouvoir négliger le carré de la moitié
Voy. n* XIV. Fresnel, dans le paragraphe qu'on vient de lire, suppose implicilemenl la connaissance des règles de calcul qu'il avait exposées dans son Mémoire du 1 9 janvier 1818 (n* XVII de la présente édition).
de l'arc qu'elles comprennent. Cet arc est ici un dixième de quadrant; N° XI. ainsi en supposant
la variation de z qui lui correspond est 0,10, et le carré de sa moitié 0,0026; par conséquent, le plus grand arc qu'on néglige dans les différentielles n'est que les o,ooq5 d'un quadrant, ce qui donne une exactitude suffisante, car elle surpasse beaucoup celle à laquelle peuvent atteindre les observations.
uni»
à* inUgralM.
/irCO.(i«»)
LOOTO lM
fdx cos
fdz sin
«le t—O
de r = o
àr = 0,lO
3,oo
t\ rtfift A U|OU4 1
o,jo 1 0
4,oo
o,65og
s,oo
o,5oo3
5,oo
5,io
o,5ooo
N° XI- fdz cos (^*2) et fdz sin (^*2) depuis zéro jusqu'à l'infini sont égales l'une et l'autre à -, Ainsi, pour avoir à l'aide de cette table
l'intensité de lumière qui répond à une position donnée du point P, ou, ce qui revient au même, à une valeur déterminée de z, considéré comme une des limites de l'intégration poussée de l'autre part jusqu'à — oo, il faut chercher dans cette tahle les valeurs de fdz cos (^^2)
et fdz sin (j7^2) <VÙ répondent à cette valeur de z, les augmenter de ll'une et l'autre, faire la somme de leurs carrés, et en extraire la racine carrée, si c'est la vitesse des molécules éthérées qu'on veut déterminer; quant à l'intensité de la sensation, elle est donnée immédiatement par la somme des carrés.
8. La seule inspection de cette table indique des variations périodiques d'intensité dans la lumière, à mesure qu'elle s'éloigne du bord de l'ombre géométrique. Pour avoir les valeurs de z qui répondent aux maxima et minima, c'est-à-dire aux points les plus éclairés et les plus sombres des bandes obscures et brillantes, il faut d'abord chercher dans la table les nombres qui en approchent le plus, et calculer les intensités de lumière correspondantes; au moyen de ces données, et à l'aide d'une formule très-simple, on peut déterminer avec une exactitude suffisante les valeurs de z qui répondent aux maxima et aux minima.
Si l'on représente par a la valeur approchée de z que donne immédiatement la table, par A et B celles de £ + fdz cos Q trz*^ et ^ -(- f dz sin ( ^ 7rz2 ^ qui lui correspondent, et par t enfin le
petit arc qu'il faut ajouter à a pour arriver au maximum ou au minimum de lumière, en négligeant dans le calcul le carré de /, on trouve :
. r i . ■ .-i tt/ïA - sin {{ TTfl'}
sin n[a -f- aaO — . —
La /J VϙA - sin [\ wfl1) j ' -f [Trali + cos \ nu*]}1'
En substituant dans cette formule les nombres tirés de la table, on obtient les résultats suivants :
Maximum du i" i Minimum du i" ordre.
Maximum du a* ordre .
Minimum du a* ordre.
Maximum du 3* ordre.
Minimum du 3* ordre .
Maximum du W ordre. .
4* ordre..
«1LICU
1,7'iAo
II est à remarquer qu'aucun minimum n'est égal à zéro, comme dans les anneaux colores, ou dans les franges produites par le concours de deux faisceaux lumineux régulièrement réfléchis, et que la différence entre les maxima et les minima diminue a mesure qu'on s'éloigne de la tangente: ce qui explique très-bien pourquoi les franges qui bordent les ombres des corps sont beaucoup moins vives et moins nombreuses que les anneaux colorés, ou celles qu'on obtient par la réflexion d'un point lumineux sur deux miroirs légèrement inclinés entre eux.
9. Dans mon premier Mémoire sur la diffraction, j'avais supposé que les franges extérieures étaient produites par la rencontre des ondes directes avec d'autres ondes ayant leur centre au bord du corps qui porte ombre; mais comme il résulterait de cette hypothèse seule que les bandes obscures et brillantes devraient suivre dans leur position un ordre presque exactement inverse de celui que présente l'observation, j'avais supposé en outre que ces deux faisceaux lumineux, indépendamment de la différence des chemins parcourus, différaient encore d'une demi-ondulation. Dans ce système, la bande obscure du icr ordre répond à une différence d une ondulation entre les chemins parcourus, ou à 27r pour la valeur de la parenthèse ^7r^JV et par conséquent à La véritable théorie, comme on le voit par le tableau ci-
dessus, donne 1,809, résultat plus petit d'un vingtième seulement.
N° XI. 1 0. Ce tableau sert à déterminer la largeur des francs extérieures, quelles que soient les distances respectives du point lumineux, du corps opaque et du carton sur lequel on reçoit l'ombre, ou du foyer de la loupe avec laquelle on les observe. Il suffit, dans chaque cas particulier, de chercher la constante par laquelle on doit multiplier les nombres donnés, c'est-à-dire la largeur qui répond à une différence d'un quart d'ondulation entre la ligne droite et la ligne brisée passant par le bord du corps opaque.
1 1 . On ne peut pas présenter de résultats généraux relativement aux franges intérieures d'une ombre étroite, ou à celles qui sont produites par une très-petite ouverture. Il faut chercher les maxima ou minima de lumière, pour chaque cas particulier, avec la première table et la formule dont j'ai déjà parlé. Lorsqu'on veut les déterminer dans l'ombre d'un corps étroit, les intégrales doivent être prises depuis l'infini négatif jusqu'à l'infini positif, moins l'intervalle occupé par le corps. Lorsqu'on cherche les maxima et minima de lumière produits par une petite ouverture, les limites de l'intégration sont les deux bords de cette ouverture.
1*2. Cette théorie rend compte de toutes les différences qu'on remarque entre la position des bandes obscures et brillantes, dans les diverses circonstances, et celle que l'on déduit de la première hypothèse que j'avais adoptée.
Je ne parlerai ici que d'un cas remarquable par la simplicité de la loi du phénomène. Dans le second Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie sur la diffraction, j'ai observé que lorsqu'on produit des franges par l'interposition d'un diaphragme percé d'une ouverture très-étroite, l'intervalle compris entre les milieux des bandes obscures du i* ordre varie depuis une jusqu'à deux largeurs de franges. On ne peut pas approcher beaucoup de la première limite, que j'ai indiquée par induction, et non d'après des observations directes. On approche davantage de la seconde, en diminuant l'ouverture du diaphragme et l'éloignant suffisamment du point lumineux. Mais on l'atteint complètement avec une ouverture bien moins étroite en plaçant
une lentille contre le diaphragme et en observant les franges à son N° XI. foyer. Alors l'intervalle compris entre les deux bandes obscures du 1er ordre est toujours le double des autres intervalles compris entre deux bandes consécutives, quelle que soit la distance du diaphragme au point lumineux. Cette expérience, qui m'avait été indiquée par la théorie, m'en paraît une confirmation frappante.
13. Je terminerai cette note en faisant observer qu'il résulte aussi de la théorie que je viens d'exposer que la lumière qui se répand dans l'ombre des corps doit décroître rapidement à mesure que les rayons s'éloignent de la tangente, et d'une manière graduelle, sans ces maxima et minima d'intensité qui forment des franges, toutes les fois du moins que le corps opaque est assez large pour qu'un point quelconque, pris dans l'intérieur de son ombre, ne puisse pas recevoir de lumière sensible des deux côtés à la fois. On peut s'en convaincre aisément avec la table ci-dessus, en retranchant ^ do chacun des
nombres correspondants des intégrales fdz cos ( l- irr ) et Çdz sin Q wz2) , et faisant la somme de leurs carrés, ce qui donne l'intensité de la lumière répandue dans l'ombre aux points qui correspondent à chaque valeur de z.
Paris, le 19 avril 1818.
A. FRESNEL
NOTES DIVERSES SUR LA DIFFRACTION. 183 Na XII (A).
